T2: Interacción electromagnética

Inducción electromagnética

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

B-b1

Una bobina formada por $1000$ espiras circulares de $2,5 \text{ cm}$ de radio se encuentra dentro de un campo magnético variable con el tiempo de módulo: $B(t) = 1 + 0,5t - 0,2t^2 \text{ (SI)}$ . La dirección del campo forma un ángulo de $60^\circ$ con el plano de las espiras. Calcule razonadamente:

i) El flujo magnético para

t = 2 \text{ s}

.ii) La fuerza electromotriz inducida, en valor absoluto, para

t = 2 \text{ s}

Ley de FaradayFlujo magnéticoFuerza electromotriz

i) El flujo magnético para

t = 2 \text{ s}

Primero, identificamos los datos proporcionados:Número de espiras, $N = 1000$ Radio de las espiras, $r = 2,5 \text{ cm} = 0,025 \text{ m}$ Campo magnético en función del tiempo, $B(t) = 1 + 0,5t - 0,2t^2 \text{ (SI)}$ Ángulo entre la dirección del campo y el plano de las espiras, $\alpha = 60^\circ$ . El ángulo $\theta$ entre el vector campo magnético $\vec{B}$ y el vector normal a la superficie $\vec{A}$ es complementario a $\alpha$ : $\theta = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ .Calculamos el área de una espira:

A = \pi r^2 = \pi (0,025 \text{ m})^2 = 1,963 \times 10^{-3} \text{ m}^2

Calculamos el módulo del campo magnético en el instante $t = 2 \text{ s}$ :

B(2) = 1 + 0,5(2) - 0,2(2)^2 = 1 + 1 - 0,2(4) = 2 - 0,8 = 1,2 \text{ T}

La expresión general para el flujo magnético a través de $N$ espiras es:

\Phi = N B A \cos\theta

Sustituimos los valores para $t = 2 \text{ s}$ :

\Phi = 1000 \cdot (1,2 \text{ T}) \cdot (1,963 \times 10^{-3} \text{ m}^2) \cdot \cos(30^\circ)

\Phi = 1000 \cdot 1,2 \cdot 1,963 \times 10^{-3} \cdot 0,866 = 2,037 \text{ Wb}

ii) La fuerza electromotriz inducida, en valor absoluto, para

t = 2 \text{ s}

Según la Ley de Faraday-Lenz, la fuerza electromotriz inducida (FEM) se calcula como la derivada temporal negativa del flujo magnético:

\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt}

Primero, escribimos la expresión del flujo magnético en función del tiempo:

\Phi(t) = N A \cos\theta \cdot B(t)

\Phi(t) = (1000 \cdot 1,963 \times 10^{-3} \text{ m}^2 \cdot \cos(30^\circ)) \cdot (1 + 0,5t - 0,2t^2)

\Phi(t) = (1000 \cdot 1,963 \times 10^{-3} \cdot 0,866) \cdot (1 + 0,5t - 0,2t^2)

\Phi(t) = 1,700 \cdot (1 + 0,5t - 0,2t^2) \text{ Wb}

Ahora derivamos $\Phi(t)$ con respecto al tiempo:

\frac{d\Phi}{dt} = 1,700 \cdot \frac{d}{dt}(1 + 0,5t - 0,2t^2)

\frac{d\Phi}{dt} = 1,700 \cdot (0,5 - 0,4t) \text{ Wb/s}

Evaluamos esta derivada en $t = 2 \text{ s}$ :

\frac{d\Phi}{dt}\Big|_{t=2} = 1,700 \cdot (0,5 - 0,4(2))

\frac{d\Phi}{dt}\Big|_{t=2} = 1,700 \cdot (0,5 - 0,8) = 1,700 \cdot (-0,3) = -0,510 \text{ Wb/s}

Finalmente, calculamos la fuerza electromotriz inducida:

\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -(-0,510 \text{ V}) = 0,510 \text{ V}

El valor absoluto de la fuerza electromotriz inducida es:

|\varepsilon| = 0,510 \text{ V}