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T2: Interacción electromagnética
Campo eléctrico uniforme
Problema
2025 · Ordinaria · Reserva
B-b2
Examen
b2) Un electrón, inicialmente en reposo, que está situado en el seno de un campo eléctrico uniforme adquiere una aceleración de 1012 m⋅s−210^{12} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}, en sentido positivo del eje OXOX, por acción del campo. Obtenga razonadamente: i) el vector campo eléctrico; ii) el módulo de la velocidad y la energía cinética, a partir de consideraciones energéticas, cuando ha recorrido 0,5 m0,5 \text{ m}.

Datos: e=1,6⋅10−19 C;me=9,1⋅10−31 kge = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}; m_e = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}

Campo eléctricoAceleración de cargaEnergía cinética
Movimiento de un electrón en un campo eléctrico uniforme
XY-e^-vE1
i) El vector campo eléctrico.

Para calcular el vector campo eléctrico E⃗\vec{E}, aplicamos la segunda ley de Newton y la definición de fuerza eléctrica sobre una carga puntual. Puesto que la única fuerza actuando es la eléctrica:

F⃗e=me⋅a⃗\vec{F}_e = m_e \cdot \vec{a}

Sustituyendo la expresión de la fuerza eléctrica F⃗e=q⋅E⃗\vec{F}_e = q \cdot \vec{E}, donde para un electrón q=−eq = -e:

q⋅E⃗=me⋅a⃗  ⟹  E⃗=me⋅a⃗qq \cdot \vec{E} = m_e \cdot \vec{a} \implies \vec{E} = \frac{m_e \cdot \vec{a}}{q}

Sustituyendo los valores numéricos con la aceleración en el eje positivo OXOX, a⃗=1012i⃗ m⋅s−2\vec{a} = 10^{12} \vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}:

E⃗=9,1⋅10−31 kg⋅1012i⃗ m⋅s−2−1,6⋅10−19 C\vec{E} = \frac{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 10^{12} \vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}}{-1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}}
E⃗=−5,69i⃗ N⋅C−1\vec{E} = -5,69 \vec{i} \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}
ii) El módulo de la velocidad y la energía cinética tras recorrer 0,5 m0,5 \text{ m}.

Utilizando el teorema de la energía cinética (o teorema de las fuerzas vivas), el trabajo realizado por el campo eléctrico sobre el electrón es igual a la variación de su energía cinética. Como parte del reposo (Ec,0=0E_{c,0} = 0):

W=ΔEc=Ec,f−0W = \Delta E_c = E_{c,f} - 0

El trabajo realizado por una fuerza constante es W=F⋅dW = F \cdot d, donde F=me⋅aF = m_e \cdot a:

Ec=me⋅a⋅dE_c = m_e \cdot a \cdot d
Ec=9,1⋅10−31 kg⋅1012 m⋅s−2⋅0,5 m=4,55⋅10−19 JE_c = 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 10^{12} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2} \cdot 0,5 \text{ m} = 4,55 \cdot 10^{-19} \text{ J}

A partir de la energía cinética, despejamos el módulo de la velocidad final:

Ec=12mev2  ⟹  v=2⋅EcmeE_c = \frac{1}{2} m_e v^2 \implies v = \sqrt{\frac{2 \cdot E_c}{m_e}}
v=2⋅4,55⋅10−19 J9,1⋅10−31 kg=1012 m⋅s−1=106 m⋅s−1v = \sqrt{\frac{2 \cdot 4,55 \cdot 10^{-19} \text{ J}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}}} = \sqrt{10^{12}} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} = 10^6 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}