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T2: Interacción electromagnética
Magnetismo
Problema
2025 · Extraordinaria · Suplente
B-b2
Examen
b2) i) Un conductor rectilíneo muy largo está situado en el eje OXOX y está recorrido por una corriente I=3 AI = 3 \text{ A} en sentido negativo del mismo. Determine, apoyándose en un esquema, el vector fuerza que actúa sobre una carga q=4⋅10−6 Cq = 4 \cdot 10^{-6} \text{ C}, que se encuentra en el eje OYOY en el punto y=0,04 my = 0,04 \text{ m} y tiene una velocidad de módulo 4⋅105 m⋅s−14 \cdot 10^5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} en sentido positivo del eje OYOY. ii) Un segundo conductor, igual que el anterior, se coloca paralelamente al primero y corta el eje OYOY en y=0,2 my = 0,2 \text{ m}. Calcule, apoyándose en un esquema, la intensidad que debe circular por el segundo conductor, indicando su sentido, para que la fuerza resultante sobre la carga sea nula.

Dato: μ0=4π⋅10−7 T⋅m⋅A−1\mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}

Fuerza de LorentzCampo magnético de un hilo conductorSuperposición de campos
i) Un conductor rectilíneo muy largo situado en el eje OXOX crea un campo magnético en el espacio circundante. Para un punto en el eje OYOY (y=0,04 my = 0,04 \text{ m}), el vector campo magnético B⃗1\vec{B}_1 se calcula mediante la ley de Ampere. Dado que la corriente I1=3 AI_1 = 3 \text{ A} circula en sentido negativo del eje OXOX (dirección −i⃗-\vec{i}), aplicamos la regla de la mano derecha para determinar que el campo en el punto (0,0,04,0)(0, 0,04, 0) tiene dirección entrante al plano (sentido −k⃗-\vec{k}).
B1=μ0I12πr1=4π⋅10−7 T⋅m⋅A−1⋅3 A2π⋅0,04 m=1,5⋅10−5 TB_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r_1} = \frac{4 \pi \cdot 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1} \cdot 3 \text{ A}}{2 \pi \cdot 0,04 \text{ m}} = 1,5 \cdot 10^{-5} \text{ T}

Por tanto, el vector campo magnético es B⃗1=−1,5⋅10−5k⃗ T\vec{B}_1 = -1,5 \cdot 10^{-5} \vec{k} \text{ T}. La fuerza de Lorentz sobre la carga qq que se mueve con velocidad v⃗=4⋅105j⃗ m⋅s−1\vec{v} = 4 \cdot 10^5 \vec{j} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} es:

F⃗=q(v⃗×B⃗1)=(4⋅10−6 C)[(4⋅105j⃗ m⋅s−1)×(−1,5⋅10−5k⃗ T)]\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B}_1) = (4 \cdot 10^{-6} \text{ C}) [ (4 \cdot 10^5 \vec{j} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}) \times (-1,5 \cdot 10^{-5} \vec{k} \text{ T}) ]
F⃗=4⋅10−6⋅(−6i⃗)=−2,4⋅10−5i⃗ N\vec{F} = 4 \cdot 10^{-6} \cdot (-6 \vec{i}) = -2,4 \cdot 10^{-5} \vec{i} \text{ N}
B (entrante)⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+vF
ii) Para que la fuerza resultante sobre la carga sea nula, la fuerza magnética total debe ser cero. Dado que F⃗=q(v⃗×B⃗total)\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B}_{total}), esto ocurre si el campo magnético neto en el punto es nulo: B⃗total=B⃗1+B⃗2=0\vec{B}_{total} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 = 0. Esto implica que el segundo conductor debe generar un campo B⃗2=−B⃗1=1,5⋅10−5k⃗ T\vec{B}_2 = -\vec{B}_1 = 1,5 \cdot 10^{-5} \vec{k} \text{ T}.

El segundo conductor está en y=0,2 my = 0,2 \text{ m}, por lo que la distancia al punto y=0,04 my = 0,04 \text{ m} es r2=0,2−0,04=0,16 mr_2 = 0,2 - 0,04 = 0,16 \text{ m}. Despejamos la intensidad I2I_2:

B2=μ0I22πr2  ⟹  1,5⋅10−5 T=2⋅10−7⋅I20,16 mB_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi r_2} \implies 1,5 \cdot 10^{-5} \text{ T} = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot I_2}{0,16 \text{ m}}
I2=1,5⋅10−5⋅0,162⋅10−7=12 AI_2 = \frac{1,5 \cdot 10^{-5} \cdot 0,16}{2 \cdot 10^{-7}} = 12 \text{ A}

Para que el campo B⃗2\vec{B}_2 sea saliente (+k⃗+\vec{k}) en un punto situado por debajo del conductor (y=0,04<0,2y = 0,04 < 0,2), según la regla de la mano derecha, la corriente I2I_2 debe circular en el sentido positivo del eje OXOX (dirección +i⃗+\vec{i}).