Interacción gravitatoria — Física PEvAU Andalucía

Leyes de Kepler y gravitación universal

Teoría

2025 · Extraordinaria · Reserva

A-a

a) El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es

12

veces mayor que el periodo de rotación de la Tierra alrededor del Sol. Considerando sus órbitas circulares, conteste razonadamente la veracidad de la siguiente afirmación: la distancia de Júpiter al Sol es

3,2

veces mayor que la distancia entre la Tierra y el Sol.

Órbitas circularesLeyes de KeplerPeríodo orbital

a) El periodo de rotación de Júpiter alrededor del Sol es

12

veces mayor que el periodo de rotación de la Tierra alrededor del Sol. Considerando sus órbitas circulares, conteste razonadamente la veracidad de la siguiente afirmación: la distancia de Júpiter al Sol es

3,2

veces mayor que la distancia entre la Tierra y el Sol.

Para analizar la veracidad de la afirmación, utilizaremos la Tercera Ley de Kepler, que relaciona el periodo orbital $T$ de un planeta con su distancia media al Sol $r$ . Esta ley establece que el cuadrado del periodo es proporcional al cubo del radio de la órbita:

\frac{T^2}{r^3} = C

Donde $C$ es una constante que depende de la masa del astro central (el Sol). Para dos planetas que orbitan el mismo astro, podemos establecer la siguiente relación:

\frac{T_J^2}{r_J^3} = \frac{T_T^2}{r_T^3}

Siendo $T_J$ y $r_J$ el periodo y el radio orbital de Júpiter, y $T_T$ y $r_T$ los correspondientes a la Tierra. El enunciado establece que el periodo de Júpiter es 12 veces el de la Tierra, es decir, $T_J = 12 T_T$ . Sustituimos esta relación en la igualdad:

\frac{(12 T_T)^2}{r_J^3} = \frac{T_T^2}{r_T^3}

Operando en la ecuación para despejar la relación entre las distancias:

\frac{144 T_T^2}{r_J^3} = \frac{T_T^2}{r_T^3} \implies 144 = \frac{r_J^3}{r_T^3}

Para hallar el factor de proporción entre las distancias, aplicamos la raíz cúbica a ambos lados de la igualdad:

\frac{r_J}{r_T} = \sqrt[3]{144}

Calculando el valor numérico obtenemos:

\frac{r_J}{r_T} \approx 5,24

Por lo tanto, la distancia de Júpiter al Sol es aproximadamente $5,24$ veces la distancia de la Tierra al Sol. La afirmación del enunciado, que indicaba un factor de $3,2$ , es FALSA.

T1: Interacción gravitatoria

Potencial gravitatorio y trabajo

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

A-b1

Dos masas puntuales de $300 \text{ kg}$ y $400 \text{ kg}$ están situadas en los puntos $A(0,4) \text{ m}$ y $B(3,0) \text{ m}$ , respectivamente. Calcule razonadamente:

i) El potencial gravitatorio en el punto

C(3,4) \text{ m}

, apoyándose de un esquema.ii) El trabajo que realiza la fuerza gravitatoria para desplazar una tercera masa de

1,2 \text{ kg}

desde el origen de coordenadas al punto

C

.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

Masas puntualesPotencial gravitatorioTrabajo gravitatorio

i) El potencial gravitatorio en un punto creado por un sistema de masas puntuales es una magnitud escalar que se calcula como la suma de los potenciales individuales creados por cada masa en dicho punto. La expresión general es

V = -G \sum \frac{M_i}{r_i}

.

Calculamos primero las distancias desde las masas $m_1$ (en $A$ ) y $m_2$ (en $B$ ) hasta el punto $C(3,4)$ :

r_{AC} = \sqrt{(3-0)^2 + (4-4)^2} = 3 \text{ m}

r_{BC} = \sqrt{(3-3)^2 + (4-0)^2} = 4 \text{ m}

Sustituimos en la fórmula del potencial gravitatorio en $C$ :

V_C = -G \left( \frac{m_1}{r_{AC}} + \frac{m_2}{r_{BC}} \right) = -6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \cdot \left( \frac{300 \text{ kg}}{3 \text{ m}} + \frac{400 \text{ kg}}{4 \text{ m}} \right)

V_C = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot (100 + 100) = -1,334 \cdot 10^{-8} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

ii) El trabajo realizado por la fuerza gravitatoria (fuerza conservativa) para desplazar una masa

m

desde un punto inicial hasta un punto final es igual a la diferencia de energía potencial entre dichos puntos, o bien, el producto de la masa por la diferencia de potencial:

W = -\Delta E_p = m(V_{inicial} - V_{final})

.

Calculamos el potencial en el origen $O(0,0)$ , donde las distancias son $r_{AO} = 4 \text{ m}$ y $r_{BO} = 3 \text{ m}$ :

V_O = -G \left( \frac{m_1}{r_{AO}} + \frac{m_2}{r_{BO}} \right) = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \left( \frac{300}{4} + \frac{400}{3} \right) \approx -1,3896 \cdot 10^{-8} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

Calculamos el trabajo para desplazar la masa $m_3 = 1,2 \text{ kg}$ desde $O$ hasta $C$ :

W_{O \to C} = m_3 (V_O - V_C) = 1,2 \text{ kg} \cdot (-1,3896 \cdot 10^{-8} - (-1,334 \cdot 10^{-8})) \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

W_{O \to C} = 1,2 \cdot (-5,56 \cdot 10^{-10}) = -6,67 \cdot 10^{-10} \text{ J}

El signo negativo indica que el trabajo es realizado en contra del campo gravitatorio, ya que el potencial en $C$ es mayor (menos negativo) que en $O$ .

T1: Interacción gravitatoria

Energía mecánica y fuerzas en planos inclinados

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

A-b2

Un bloque de $5 \text{ kg}$ asciende con velocidad inicial de $8 \text{ m/s}$ por un plano inclinado $35^\circ$ respecto a la horizontal y con rozamiento. El bloque se detiene después de recorrer $2,5 \text{ m}$ a lo largo del plano.

i) Realice un esquema de las fuerzas que intervienen durante el ascenso.ii) Determine el aumento de energía potencial.iii) Calcule, por razonamientos energéticos, el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano.

Dato: $g = 9,8 \text{ m/s}^2$

Plano inclinadoEnergía potencialTrabajo de rozamiento+1

Bloque ascendiendo por plano inclinado con rozamiento

i) Esquema de fuerzas durante el ascenso

Durante el ascenso actúan: el peso $P = mg$ (vertical hacia abajo), la normal $N$ (perpendicular al plano), la componente del peso paralela al plano $P_x = mg\sin 35^\circ$ (cuesta abajo) y la fuerza de rozamiento $f_r = \mu N$ (cuesta abajo, opuesta al movimiento de subida).

ii) Aumento de energía potencial

La altura ganada por el bloque al recorrer $d = 2{,}5\text{ m}$ a lo largo del plano:

h = d \cdot \sin 35^\circ = 2{,}5 \cdot \sin 35^\circ = 2{,}5 \times 0{,}5736 = 1{,}434\text{ m}

El aumento de energía potencial gravitatoria es:

\Delta E_p = mgh = 5 \times 9{,}8 \times 1{,}434 = 70{,}26\text{ J}

iii) Coeficiente de rozamiento (razonamiento energético)

Aplicamos el teorema trabajo-energía. La energía cinética inicial es:

E_{c,i} = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 8^2 = 160\text{ J}

La energía cinética final es $E_{c,f} = 0$ (el bloque se detiene). Por el principio de conservación de la energía con rozamiento:

E_{c,i} = \Delta E_p + W_{rozamiento}

donde $W_{rozamiento}$ es el trabajo disipado por rozamiento (calor generado, siempre positivo en energía disipada):

W_{rozamiento} = E_{c,i} - \Delta E_p = 160 - 70{,}26 = 89{,}74\text{ J}

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento es:

W_{rozamiento} = f_r \cdot d = \mu N \cdot d = \mu \cdot mg\cos 35^\circ \cdot d

Despejando $\mu$ :

\mu = \frac{W_{rozamiento}}{mg\cos 35^\circ \cdot d} = \frac{89{,}74}{5 \times 9{,}8 \times \cos 35^\circ \times 2{,}5}

\mu = \frac{89{,}74}{5 \times 9{,}8 \times 0{,}8192 \times 2{,}5} = \frac{89{,}74}{100{,}35} \approx 0{,}894

El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es $\mu \approx 0{,}89$ .

T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio

Teoría

2025 · Extraordinaria · Suplente

A-a

CAMPO GRAVITATORIO

a) La intensidad gravitatoria en la superficie de la Luna es

0,163

veces la de la Tierra y el radio de la Luna es

0,27

veces el de la Tierra. Razone la veracidad de la siguiente afirmación: la velocidad de escape de la Luna es la mitad que la velocidad de escape de la Tierra.

Velocidad de escapeIntensidad de campo gravitatorio

a) La intensidad gravitatoria en la superficie de la Luna es

0,163

veces la de la Tierra y el radio de la Luna es

0,27

veces el de la Tierra. Razone la veracidad de la siguiente afirmación: la velocidad de escape de la Luna es la mitad que la velocidad de escape de la Tierra.

Para determinar la veracidad de la afirmación, partimos de la expresión general de la velocidad de escape ( $v_e$ ) de un objeto desde la superficie de un cuerpo celeste de masa $M$ y radio $R$ :

v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}

Considerando que la intensidad de la gravedad en la superficie ( $g$ ) viene dada por la expresión $g = \frac{GM}{R^2}$ , podemos despejar el producto gravitatorio como $GM = g R^2$ . Sustituyendo esta relación en la fórmula de la velocidad de escape, obtenemos:

v_e = \sqrt{\frac{2(g R^2)}{R}} = \sqrt{2gR}

A continuación, establecemos la relación entre la velocidad de escape de la Luna ( $v_{e,L}$ ) y la de la Tierra ( $v_{e,T}$ ) utilizando los datos proporcionados: $g_L = 0,163 \cdot g_T$ y $R_L = 0,27 \cdot R_T$ .

\frac{v_{e,L}}{v_{e,T}} = \frac{\sqrt{2 g_L R_L}}{\sqrt{2 g_T R_T}} = \sqrt{\frac{g_L}{g_T} \cdot \frac{R_L}{R_T}}

Sustituyendo los valores numéricos de las proporciones:

\frac{v_{e,L}}{v_{e,T}} = \sqrt{0,163 \cdot 0,27} = \sqrt{0,04401} \approx 0,21

El resultado indica que la velocidad de escape de la Luna es aproximadamente $0,21$ veces la de la Tierra (es decir, un $21 \%$ ), y no la mitad ( $0,5$ o $50 \%$ ). Por tanto, la afirmación propuesta es falsa.

T1: Interacción gravitatoria

Campo y fuerza gravitatoria

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

A-b1

b1) Dos masas puntuales, de masas

2 \text{ kg}

y

3 \text{ kg}

, están colocadas en los puntos

A(2,0) \text{ m}

y

B(0,2) \text{ m}

, respectivamente. i) Realice un esquema del campo gravitatorio en el punto

C(3,1) \text{ m}

. ii) Calcule el vector campo gravitatorio en dicho punto. iii) Calcule el vector fuerza que experimenta la masa de

3 \text{ kg}

.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

Masas puntualesVector campo gravitatorioLey de gravitación universal

i) Realice un esquema del campo gravitatorio en el punto

C(3,1) \text{ m}

.

El campo gravitatorio en un punto es la suma vectorial de los campos creados por cada masa. Dado que las masas son atractivas, los vectores campo $\vec{g}_A$ y $\vec{g}_B$ apuntarán desde el punto $C$ hacia las masas $m_A$ y $m_B$ respectivamente.

ii) Calcule el vector campo gravitatorio en dicho punto.

Aplicamos el principio de superposición, donde el campo total es $\vec{g}_C = \vec{g}_A + \vec{g}_B$ . La expresión general del campo es:

\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \vec{u}_r = -G \frac{M}{r^3} \vec{r}

Para la masa $m_A = 2 \text{ kg}$ en $A(2,0)$ respecto a $C(3,1)$ : $\vec{r}_{AC} = \vec{r}_C - \vec{r}_A = (3-2) \vec{i} + (1-0) \vec{j} = (1 \vec{i} + 1 \vec{j}) \text{ m}$ $r_{AC} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ m}$

\vec{g}_A = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{2}{(\sqrt{2})^3} (1 \vec{i} + 1 \vec{j}) = -4,72 \cdot 10^{-11} \vec{i} - 4,72 \cdot 10^{-11} \vec{j} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

Para la masa $m_B = 3 \text{ kg}$ en $B(0,2)$ respecto a $C(3,1)$ : $\vec{r}_{BC} = \vec{r}_C - \vec{r}_B = (3-0) \vec{i} + (1-2) \vec{j} = (3 \vec{i} - 1 \vec{j}) \text{ m}$ $r_{BC} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10} \text{ m}$

\vec{g}_B = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{3}{(\sqrt{10})^3} (3 \vec{i} - 1 \vec{j}) = -1,90 \cdot 10^{-11} \vec{i} + 0,63 \cdot 10^{-11} \vec{j} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

Sumando ambas contribuciones vectoriales:

\vec{g}_C = (-4,72 - 1,90) \cdot 10^{-11} \vec{i} + (-4,72 + 0,63) \cdot 10^{-11} \vec{j} = -6,62 \cdot 10^{-11} \vec{i} - 4,09 \cdot 10^{-11} \vec{j} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

iii) Calcule el vector fuerza que experimenta la masa de

3 \text{ kg}

.

La fuerza sobre la masa $m_B$ es debida exclusivamente a la interacción con $m_A$ . Utilizamos la ley de gravitación universal:

\vec{F}_B = -G \frac{m_A m_B}{r_{AB}^3} \vec{r}_{AB}

Siendo $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (0-2) \vec{i} + (2-0) \vec{j} = (-2 \vec{i} + 2 \vec{j}) \text{ m}$ y la distancia $r_{AB} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} \text{ m}$ :

\vec{F}_B = -6,67 \cdot 10^{-11} \frac{2 \cdot 3}{(\sqrt{8})^3} (-2 \vec{i} + 2 \vec{j}) = -1,77 \cdot 10^{-11} (-2 \vec{i} + 2 \vec{j})

\vec{F}_B = 3,54 \cdot 10^{-11} \vec{i} - 3,54 \cdot 10^{-11} \vec{j} \text{ N}

T1: Interacción gravitatoria

Trabajo y energía

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

A-b2

b2) Un bloque de

3 \text{ kg}

se halla en reposo en la parte superior de un plano rugoso de

4 \text{ m}

de altura que está inclinado

37^\circ

respecto a la horizontal. Al liberar el bloque, desliza por el plano y llega al final con una velocidad de

5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

. Determine mediante razonamientos energéticos: i) El trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre el bloque. ii) El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano.

Datos: $g = 9,8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}$

Plano inclinadoFuerzas de rozamientoTeorema del trabajo y la energía+1

Bloque deslizando por un plano inclinado rugoso

Datos del problema: masa $m = 3$ kg, altura $h = 4$ m, ángulo $\theta = 37^\circ$ , velocidad final $v = 5$ m/s, velocidad inicial $v_0 = 0$ (parte del reposo), $g = 9{,}8$ m/s².La longitud del plano inclinado se obtiene a partir de la altura:

L = \frac{h}{\sin\theta} = \frac{4}{\sin 37^\circ} = \frac{4}{0{,}6} \approx 6{,}67 \text{ m}

i) Trabajo realizado por cada fuerza

Las fuerzas que actúan sobre el bloque son: el peso ( $\vec{P}$ ), la normal ( $\vec{N}$ ) y la fuerza de rozamiento cinético ( $\vec{f_r}$ ).Trabajo del peso: el peso realiza un trabajo positivo igual a la variación de energía potencial gravitatoria (con signo cambiado), ya que el bloque desciende una altura $h = 4$ m.

W_P = mgh = 3 \times 9{,}8 \times 4 = 117{,}6 \text{ J}

Trabajo de la normal: la fuerza normal es perpendicular al desplazamiento en todo momento, por lo que su trabajo es nulo.

W_N = 0 \text{ J}

Trabajo de la fuerza de rozamiento: aplicando el teorema trabajo-energía (teorema de las fuerzas vivas), la suma del trabajo de todas las fuerzas es igual a la variación de energía cinética del bloque.

W_{total} = \Delta E_c = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 5^2 - 0 = 37{,}5 \text{ J}

W_P + W_N + W_{f_r} = \Delta E_c

117{,}6 + 0 + W_{f_r} = 37{,}5

W_{f_r} = 37{,}5 - 117{,}6 = -80{,}1 \text{ J}

El trabajo de la fuerza de rozamiento es negativo (se opone al movimiento), como era de esperar.

ii) Coeficiente de rozamiento cinético

El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento también puede expresarse como:

W_{f_r} = -f_r \cdot L = -\mu_c \cdot N \cdot L

Como el bloque no tiene aceleración en la dirección perpendicular al plano, la normal es:

N = mg\cos\theta = 3 \times 9{,}8 \times \cos 37^\circ = 3 \times 9{,}8 \times 0{,}8 = 23{,}52 \text{ N}

Sustituyendo en la expresión del trabajo de rozamiento:

-80{,}1 = -\mu_c \times 23{,}52 \times 6{,}67

\mu_c = \frac{80{,}1}{23{,}52 \times 6{,}67} = \frac{80{,}1}{156{,}88} \approx 0{,}51

El coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el plano es $\mu_c \approx 0{,}51$ .

T1: Interacción gravitatoria

Energía y trabajo en campos gravitatorios

Teoría

2025 · Extraordinaria · Titular

A-a

Discuta razonadamente si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos:

i) si se realiza trabajo sobre una partícula, su energía cinética aumenta.ii) las fuerzas conservativas siempre realizan trabajo nulo.

TrabajoEnergía cinéticaFuerzas conservativas

Análisis Teórico de Trabajo y Energía

i) si se realiza trabajo sobre una partícula, su energía cinética aumenta.

Este enunciado es FALSO. La relación entre el trabajo y la energía cinética de una partícula viene dada por el teorema de las fuerzas vivas (o teorema del trabajo-energía cinética), el cual establece que el trabajo neto realizado sobre una partícula es igual a la variación de su energía cinética:

W_{neto} = \Delta E_c = E_{c,f} - E_{c,i}

La variación de la energía cinética depende directamente del signo del trabajo realizado. Si el trabajo neto es positivo ( $W > 0$ ), la energía cinética aumenta. Sin embargo, si el trabajo neto es negativo ( $W < 0$ ), lo cual ocurre cuando las fuerzas actúan en sentido contrario al desplazamiento (como el rozamiento), la energía cinética de la partícula disminuye.

ii) las fuerzas conservativas siempre realizan trabajo nulo.

Este enunciado es FALSO. El trabajo realizado por una fuerza conservativa se define como la diferencia negativa de la energía potencial asociada a dicha fuerza entre el punto final y el inicial:

W_{cons} = -\Delta E_p = E_{p,i} - E_{p,f}

El trabajo realizado por una fuerza conservativa es nulo únicamente cuando la trayectoria es cerrada (el punto inicial y el final coinciden, $\oint \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0$ ) o cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento en todo momento. En cualquier otro caso donde exista un cambio en la configuración del sistema que varíe su energía potencial, el trabajo será distinto de cero. Por ejemplo, el peso realiza un trabajo positivo cuando un objeto desciende una altura $h$ .

T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio de masas puntuales

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

A-b1

Dos masas puntuales de $200 \text{ kg}$ están situadas en los puntos $A(0,-3) \text{ m}$ y $B(0,3) \text{ m}$ . Calcule razonadamente:

i) el campo gravitatorio en el punto

C(4,0) \text{ m}

, apoyándose en un esquema.ii) la fuerza sobre una masa puntual de

3 \text{ kg}

situada en el origen.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

Masas puntualesIntensidad de campo gravitatorioFuerza gravitatoria

i) el campo gravitatorio en el punto

C(4,0) \text{ m}

, apoyándose en un esquema.

El campo gravitatorio resultante en el punto $C$ es la suma vectorial de los campos creados por cada una de las masas individuales, de acuerdo con el principio de superposición. La expresión general del campo gravitatorio es $\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \hat{u}_r$ .Calculamos primero la distancia de las masas al punto $C$ y los vectores unitarios correspondientes:

r_1 = r_2 = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5 \text{ m}

\vec{u}_{1C} = \frac{4 \vec{i} + 3 \vec{j}}{5} ; \quad \vec{u}_{2C} = \frac{4 \vec{i} - 3 \vec{j}}{5}

Debido a la simetría del problema, las componentes en el eje $y$ de los campos se anulan ( $g_{1y} + g_{2y} = 0$ ), sumándose únicamente las componentes en el eje $x$ :

\vec{g}_C = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = -2 \cdot G \frac{M}{r^2} \cos \alpha \vec{i} = -2 \cdot G \frac{200}{5^2} \cdot \frac{4}{5} \vec{i}

\vec{g}_C = -12,8 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \vec{i} = -8,54 \cdot 10^{-10} \vec{i} \text{ m} \cdot \text{s}^{-2}

ii) la fuerza sobre una masa puntual de

3 \text{ kg}

situada en el origen.

En el origen de coordenadas $O(0,0)$ , la masa $m = 3 \text{ kg}$ se encuentra a una distancia $r = 3 \text{ m}$ de ambas masas. La fuerza gravitatoria es atractiva y se dirige hacia cada una de las masas.La fuerza ejercida por $M_1$ (situada en el eje negativo) y la ejercida por $M_2$ (situada en el eje positivo) tienen el mismo módulo pero sentidos opuestos sobre el eje $y$ :

\vec{F}_1 = G \frac{M_1 m}{r^2} (-\vec{j}) = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{200 \cdot 3}{3^2} (-\vec{j}) = -4,45 \cdot 10^{-9} \vec{j} \text{ N}

\vec{F}_2 = G \frac{M_2 m}{r^2} (\vec{j}) = 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot \frac{200 \cdot 3}{3^2} (\vec{j}) = 4,45 \cdot 10^{-9} \vec{j} \text{ N}

La fuerza neta es la suma vectorial de ambas:

\vec{F}_{total} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \vec{0} \text{ N}

T1: Interacción gravitatoria

Satélites en órbita circular

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

A-b2

Un satélite de $1400 \text{ kg}$ en una órbita circular tarda un día y medio en dar la vuelta a la Tierra. Calcule razonadamente:

i) el radio de la órbita.ii) la velocidad mínima que hay que suministrarle para que abandone el campo gravitatorio terrestre desde la órbita en la que se encuentra.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ ; $M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}$ ; $R_T = 6370 \text{ km}$ ; $1 \text{ día} = 24 \text{ h}$

Órbita circularPeriodo orbitalVelocidad de escape

i) el radio de la órbita.

Para un satélite en órbita circular, la fuerza gravitatoria actúa como fuerza centrípeta. Primero, convertimos el periodo $T$ al Sistema Internacional (segundos):

T = 1,5 \text{ días} \cdot \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 129600 \text{ s}

Igualamos la fuerza gravitatoria a la fuerza centrípeta, donde $v = \frac{2\pi r}{T}$ :

G \frac{M_T \cdot m}{r^2} = m \frac{v^2}{r} \implies G \frac{M_T}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}

Despejamos el radio de la órbita $r$ (Ley de Kepler):

r = \sqrt[3]{\frac{G \cdot M_T \cdot T^2}{4\pi^2}}

Sustituimos los valores numéricos:

r = \sqrt[3]{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg} \cdot (129600 \text{ s})^2}{4\pi^2}}

r \approx 5,536 \cdot 10^7 \text{ m}

ii) la velocidad mínima que hay que suministrarle para que abandone el campo gravitatorio terrestre desde la órbita en la que se encuentra.

Para que el satélite abandone el campo gravitatorio (llegue al infinito con velocidad nula), su energía mecánica total final debe ser cero. La velocidad necesaria en ese punto del espacio se denomina velocidad de escape $v_e$ :

E_c + E_p = 0 \implies \frac{1}{2}m v_e^2 - G \frac{M_T m}{r} = 0

Despejamos la velocidad de escape $v_e$ :

v_e = \sqrt{\frac{2 G M_T}{r}}

Sustituimos el radio de la órbita obtenido en el apartado anterior:

v_e = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}}{5,536 \cdot 10^7 \text{ m}}}

v_e \approx 3796,5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Esta es la velocidad total que debe alcanzar el satélite en su posición orbital para escapar de la atracción terrestre.

T1: Interacción gravitatoria

Energía potencial y trabajo

Teoría

2025 · Ordinaria · Reserva

A-a

a) Se deja caer un objeto de masa

m

desde una altura

h

sobre la superficie de la Tierra y llega al suelo sin que actúe ninguna fuerza de rozamiento. Considerando que la altura es mucho menor que el radio terrestre, y mediante razonamientos energéticos, calcule: i) el trabajo que realiza la fuerza peso en ese trayecto; ii) la velocidad con que el cuerpo llega al suelo.

Campo gravitatorioTrabajoEnergía+1

a) Se deja caer un objeto de masa

m

desde una altura

h

sobre la superficie de la Tierra y llega al suelo sin que actúe ninguna fuerza de rozamiento. Considerando que la altura es mucho menor que el radio terrestre (

h \ll R_T

), y mediante razonamientos energéticos, calcule: i) el trabajo que realiza la fuerza peso en ese trayecto; ii) la velocidad con que el cuerpo llega al suelo.

Dado que la altura $h$ es mucho menor que el radio de la Tierra, podemos considerar que el campo gravitatorio es uniforme en la proximidad de la superficie. En estas condiciones, la aceleración de la gravedad $g$ es constante y la fuerza peso se define como $\vec{P} = m \cdot \vec{g}$ .

i) el trabajo que realiza la fuerza peso en ese trayecto;

El trabajo $W$ realizado por una fuerza constante se calcula como el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento $\Delta \vec{r}$ . En una caída libre vertical, el peso $\vec{P}$ y el desplazamiento tienen la misma dirección y el mismo sentido, por lo que el ángulo entre ambos es $0^\circ$ .

W_P = \vec{P} \cdot \Delta\vec{r} = P \cdot \Delta r \cdot \cos(0^\circ)

W_P = m \cdot g \cdot h

También se puede obtener a partir de la relación entre el trabajo de una fuerza conservativa y la energía potencial gravitatoria ( $E_p = m \cdot g \cdot h$ ):

W_P = -\Delta E_p = -(E_{p,final} - E_{p,inicial}) = -(0 - m \cdot g \cdot h) = m \cdot g \cdot h

ii) la velocidad con que el cuerpo llega al suelo.

Al no existir fuerzas no conservativas como el rozamiento, la energía mecánica del sistema se conserva durante todo el trayecto. Por tanto, la energía mecánica en el punto inicial (altura $h$ ) es igual a la energía mecánica en el punto final (suelo).

E_{m,inicial} = E_{m,final}

E_{c,i} + E_{p,i} = E_{c,f} + E_{p,f}

Considerando que el objeto se deja caer desde el reposo ( $v_0 = 0$ ) y que en el suelo la energía potencial es nula ( $h = 0$ ):

0 + m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 + 0

Simplificando la masa $m$ y despejando la velocidad final $v$ :

g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot v^2

v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}

T1: Interacción gravitatoria

Potencial y Trabajo

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

A-b1

b1) Dos masas puntuales de

400 \text{ kg}

están situadas en los puntos

A(2, 2) \text{ m}

y

B(2, -2) \text{ m}

. Calcule razonadamente: i) el potencial gravitatorio en el punto

C(2, 0) \text{ m}

; ii) el trabajo que hay que realizar para desplazar una masa de

3 \text{ kg}

, inicialmente en reposo en

C

, hasta dejarla en reposo en el origen de coordenadas.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

Potencial gravitatorioTrabajoMasas puntuales

i) El potencial gravitatorio en un punto debido a una distribución de masas puntuales se calcula como la suma escalar de los potenciales individuales:

V = \sum V_i = -G \sum \frac{M_i}{r_i}

. Primero, calculamos las distancias desde las masas situadas en

A(2, 2)

y

B(2, -2)

hasta el punto

C(2, 0)

:

r_{AC} = \sqrt{(2-2)^2 + (0-2)^2} = 2 \text{ m}; \quad r_{BC} = \sqrt{(2-2)^2 + (0-(-2))^2} = 2 \text{ m}

V_C = -G \left( \frac{M_A}{r_{AC}} + \frac{M_B}{r_{BC}} \right) = -6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \left( \frac{400 \text{ kg}}{2 \text{ m}} + \frac{400 \text{ kg}}{2 \text{ m}} \right)

V_C = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 400 = -2,668 \cdot 10^{-8} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

ii) El trabajo realizado por una fuerza externa para desplazar la masa

m = 3 \text{ kg}

desde el punto

C

hasta el origen

O(0, 0)

, manteniendo la masa en reposo en ambos puntos (es decir,

\Delta E_k = 0

), es igual a la variación de su energía potencial:

W = \Delta E_p = m(V_O - V_C)

. Calculamos primero el potencial en el origen

O(0, 0)

determinando las nuevas distancias:

r_{AO} = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{8} \text{ m}; \quad r_{BO} = \sqrt{(2-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{8} \text{ m}

V_O = -G \left( \frac{400}{\sqrt{8}} + \frac{400}{\sqrt{8}} \right) = -G \frac{800}{\sqrt{8}} = -6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 282,84 \approx -1,887 \cdot 10^{-8} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

Finalmente, sustituimos los valores de los potenciales para hallar el trabajo realizado por la fuerza externa:

W = m(V_O - V_C) = 3 \text{ kg} \cdot (-1,887 \cdot 10^{-8} - (-2,668 \cdot 10^{-8})) \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

W = 3 \cdot 0,781 \cdot 10^{-8} = 2,343 \cdot 10^{-8} \text{ J}

T1: Interacción gravitatoria

Velocidad de escape

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

A-b2

b2) Para salir de la Luna, los astronautas del Apolo tuvieron que despegar de su superficie en su módulo lunar de

15000 \text{ kg}

. Calcule razonadamente: i) la velocidad de escape de la Luna; ii) la energía cinética mínima necesaria para que el vehículo escape de la Luna; iii) la velocidad con que llegaría a la Tierra una nave, inicialmente en reposo, desde una altura de

2,5 \cdot 10^4 \text{ km}

sobre la superficie terrestre. Considere despreciable el rozamiento con el aire y el efecto de la Luna.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}; M_L = 7,35 \cdot 10^{22} \text{ kg}; R_L = 1740 \text{ km}; M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}; R_T = 6370 \text{ km}$

Velocidad de escapeEnergía cinéticaGravedad

i) La velocidad de escape de un cuerpo celeste es la velocidad mínima que debe comunicarse a un objeto para que este escape de la atracción gravitatoria del mismo, alcanzando el infinito con velocidad nula. Según el principio de conservación de la energía mecánica, la energía total en la superficie debe ser igual a la energía total en el infinito (

E_{\infty} = 0

).

E_{m(sup)} = E_{m(\infty)} \Rightarrow \frac{1}{2} m v_e^2 - G \frac{M_L m}{R_L} = 0

Despejando la velocidad de escape $v_e$ , obtenemos la expresión general:

v_e = \sqrt{\frac{2 G M_L}{R_L}}

Sustituimos los valores de la Luna en unidades del S.I. ( $R_L = 1,74 \cdot 10^6 \text{ m}$ ):

v_e = \sqrt{\frac{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2 \cdot 7,35 \cdot 10^{22} \text{ kg}}{1,74 \cdot 10^6 \text{ m}}} = 2373,81 \text{ m/s}

ii) La energía cinética mínima necesaria para que el vehículo escape corresponde a la energía que permite al módulo lunar alcanzar el infinito con velocidad nula. Esta energía cinética coincide con el valor absoluto de su energía potencial en la superficie de la Luna.

E_c = \frac{1}{2} m v_e^2 = G \frac{M_L m}{R_L}

Utilizando la masa del módulo $m = 15000 \text{ kg}$ :

E_c = \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 7,35 \cdot 10^{22} \cdot 15000}{1,74 \cdot 10^6} = 4,226 \cdot 10^{10} \text{ J}

iii) Para calcular la velocidad de llegada a la Tierra, aplicamos de nuevo el principio de conservación de la energía mecánica entre el punto inicial (altura

h

) y el punto final (superficie terrestre). La distancia inicial al centro de la Tierra es

r_1 = R_T + h

y la final es

r_2 = R_T

.

E_{m1} = E_{m2} \Rightarrow -G \frac{M_T m}{R_T + h} + 0 = -G \frac{M_T m}{R_T} + \frac{1}{2} m v^2

Simplificando la masa de la nave $m$ y despejando la velocidad final $v$ :

v = \sqrt{2 G M_T \left( \frac{1}{R_T} - \frac{1}{R_T + h} \right)}

Sustituimos los datos de la Tierra ( $R_T = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}$ y $h = 2,5 \cdot 10^7 \text{ m}$ ):

v = \sqrt{2 \cdot 6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \left( \frac{1}{6,37 \cdot 10^6} - \frac{1}{3,137 \cdot 10^7} \right)}

v = \sqrt{7,977 \cdot 10^{14} \cdot (1,5698 \cdot 10^{-7} - 3,1878 \cdot 10^{-8})} = 9989,61 \text{ m/s}

T1: Interacción gravitatoria

Intensidad de campo gravitatorio

Teoría

2025 · Ordinaria · Suplente

A-a

Una masa puntual está situada en un punto $A(0,d)$ y otra masa en el punto $B(0,-4d)$ . Deduzca razonadamente la relación entre los valores de las masas para que el campo gravitatorio se anule en el origen.

Campo gravitatorioPrincipio de superposición

Determinación de la relación de masas para campo nulo

Para que el campo gravitatorio resultante en el origen $O(0,0)$ sea nulo, la suma vectorial de los campos creados por cada una de las masas puntuales debe ser igual al vector nulo. Aplicamos el principio de superposición:

\vec{g}_T = \vec{g}_A + \vec{g}_B = \vec{0}

La intensidad del campo gravitatorio creado por una masa puntual $m$ en un punto del espacio viene dada por la expresión:

\vec{g} = -G \frac{m}{r^2} \vec{u}_r

Donde $\vec{u}_r$ es el vector unitario que apunta desde la masa hacia el punto de estudio. En el origen de coordenadas:

a) Campo creado por la masa

m_A

situada en

A(0,d)

: La distancia al origen es

d

. El campo apunta hacia la masa (sentido positivo del eje

y

):

\vec{g}_A = G \frac{m_A}{d^2} \vec{j}

b) Campo creado por la masa

m_B

situada en

B(0,-4d)

: La distancia al origen es

|-4d| = 4d

. El campo apunta hacia la masa (sentido negativo del eje

y

):

\vec{g}_B = -G \frac{m_B}{(4d)^2} \vec{j} = -G \frac{m_B}{16d^2} \vec{j}

Sustituimos ambos vectores en la condición de equilibrio en el origen:

G \frac{m_A}{d^2} \vec{j} - G \frac{m_B}{16d^2} \vec{j} = \vec{0}

Igualamos los módulos de ambas expresiones para que la suma sea nula:

G \frac{m_A}{d^2} = G \frac{m_B}{16d^2}

Cancelamos la constante de gravitación universal $G$ y el factor de distancia $d^2$ en ambos miembros de la ecuación:

m_A = \frac{m_B}{16}

Despejando, obtenemos la relación final entre las masas:

m_B = 16 m_A

T1: Interacción gravitatoria

Trabajo y energía

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

A-b1

Un bloque de $3,5 \text{ kg}$ desciende, partiendo del reposo, por una rampa rugosa que forma un ángulo de $37^{\circ}$ con la horizontal desde una altura de $4 \text{ m}$ . Cuando llega al final del plano inclinado, recorre $10 \text{ m}$ sobre una superficie horizontal, con igual coeficiente de rozamiento, hasta que se para. Calcule mediante razonamientos energéticos:

i) el coeficiente de rozamiento entre el bloque y las superficies;ii) la velocidad del bloque cuando llega al final del plano inclinado.

Dato: $g = 9,8 \text{ m/s}^2$

Energía mecánicaFuerza de rozamientoPlano inclinado

i) El coeficiente de rozamiento entre el bloque y las superficies.

Para resolver el problema mediante razonamientos energéticos, empleamos el principio de conservación de la energía mecánica considerando el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas (rozamiento). El trabajo total realizado por el rozamiento ( $W_{fr}$ ) es igual a la variación de la energía mecánica ( $\Delta E_m$ ) entre el punto inicial en la cima del plano ( $A$ ) y el punto final donde el bloque se detiene ( $C$ ):

W_{fr, \text{total}} = \Delta E_m = E_{m,C} - E_{m,A}

En el punto $A$ , el bloque está en reposo ( $v_A = 0$ ) a una altura $h = 4 \text{ m}$ . En el punto $C$ , el bloque vuelve a estar en reposo ( $v_C = 0$ ) a nivel del suelo ( $h_C = 0$ ). Por tanto:

E_{m,A} = mgh; \quad E_{m,C} = 0 \implies W_{fr, \text{total}} = -mgh

El trabajo de rozamiento se divide en dos tramos: el plano inclinado de longitud $d_1 = h / \sin(37^\circ)$ y el tramo horizontal de longitud $d_2 = 10 \text{ m}$ . La fuerza de rozamiento en el plano es $f_{r1} = \mu mg \cos(37^\circ)$ y en el plano horizontal es $f_{r2} = \mu mg$ .

W_{fr1} = -f_{r1} \cdot d_1 = -\mu mg \cos(37^\circ) \cdot \frac{h}{\sin(37^\circ)} = -\mu mgh \cot(37^\circ)

W_{fr2} = -f_{r2} \cdot d_2 = -\mu mg d_2

Igualamos el trabajo total a la variación de energía y despejamos el coeficiente de rozamiento $\mu$ :

-mgh = -\mu mg (h \cot(37^\circ) + d_2) \implies \mu = \frac{h}{h \cot(37^\circ) + d_2}

\mu = \frac{4}{4 \cdot 1,327 + 10} = \frac{4}{5,308 + 10} = \frac{4}{15,308} \approx 0,261

ii) La velocidad del bloque cuando llega al final del plano inclinado.

Para hallar la velocidad al final del plano ( $v_B$ ), analizamos el balance energético en el tramo horizontal, desde que entra en él con velocidad $v_B$ hasta que se detiene por efecto del rozamiento en $C$ :

E_{m,C} - E_{m,B} = W_{fr2}

0 - \frac{1}{2}mv_B^2 = -\mu mg d_2

Despejamos la velocidad $v_B$ y sustituimos los valores conocidos:

v_B = \sqrt{2 \mu g d_2}

v_B = \sqrt{2 \cdot 0,261 \cdot 9,8 \text{ m/s}^2 \cdot 10 \text{ m}} = \sqrt{51,156} \approx 7,15 \text{ m/s}

T1: Interacción gravitatoria

Órbitas satelitales

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

A-b2

Se quiere poner en órbita un satélite de $200 \text{ kg}$ para que dé dos vueltas a la Tierra cada día. Suponiendo que la órbita sea circular, calcule razonadamente:

i) el radio de la órbita a la que hay que colocar el satélite;ii) la velocidad orbital;iii) el módulo del momento angular del satélite.

Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$ ; $M_T = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}$ ; $R_T = 6370 \text{ km}$ ; $1 \text{ día} = 24 \text{ h}$

Velocidad orbitalMomento angularLeyes de Kepler

i) Para que el satélite se encuentre en una órbita circular estable, la fuerza gravitatoria debe actuar como fuerza centrípeta. Partimos de la igualdad de sus módulos:

G \frac{M_T m}{r^2} = m \frac{v^2}{r}

Sabiendo que la velocidad orbital en una trayectoria circular es $v = \frac{2\pi r}{T}$ , sustituimos en la expresión anterior para obtener la tercera ley de Kepler:

G \frac{M_T}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2} \implies r^3 = \frac{G M_T T^2}{4\pi^2}

Primero convertimos el periodo $T$ al Sistema Internacional. Si el satélite da dos vueltas al día, el periodo para una sola vuelta es de 12 horas:

T = 12 \text{ h} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 43200 \text{ s}

Calculamos el radio de la órbita $r$ :

r = \sqrt[3]{\frac{6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2} \cdot 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg} \cdot (43200 \text{ s})^2}{4\pi^2}}

r \approx 2,66 \cdot 10^7 \text{ m}

ii) La velocidad orbital se puede obtener a partir de la relación entre la longitud de la circunferencia y el periodo orbital:

v = \frac{2\pi r}{T}

v = \frac{2\pi \cdot 2,66 \cdot 10^7 \text{ m}}{43200 \text{ s}} \approx 3869,06 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

iii) El módulo del momento angular

\vec{L}

de un satélite en órbita circular, respecto al centro de la Tierra, se define como el producto vectorial del vector posición y el vector cantidad de movimiento. Al ser perpendiculares en una órbita circular (

\sin 90^\circ = 1

), su módulo es:

L = m \cdot v \cdot r

Sustituyendo los valores obtenidos anteriormente:

L = 200 \text{ kg} \cdot 3869,06 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \cdot 2,66 \cdot 10^7 \text{ m}

L \approx 2,06 \cdot 10^{13} \text{ kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{s}^{-1}

T1: Interacción gravitatoria

Campo y potencial gravitatorio

Teoría

2025 · Ordinaria · Titular

A-a

Considere dos masas puntuales iguales separadas una cierta distancia. Razone la veracidad de las siguientes afirmaciones: i) el campo gravitatorio es nulo solamente en el punto medio entre las dos masas; ii) el potencial gravitatorio solo se anula a distancia infinita.

Punto medioNulidad de campoPotencial infinito

Análisis del campo y potencial gravitatorio de dos masas puntuales

i) El campo gravitatorio es nulo solamente en el punto medio entre las dos masas.

La afirmación es verdadera. El campo gravitatorio creado por una masa puntual es una magnitud vectorial que viene dada por la expresión:

\vec{g} = -G \frac{M}{r^2} \hat{u}_r

En un sistema de dos masas iguales $M_1 = M_2 = M$ , el campo total en cualquier punto es la suma vectorial de los campos creados por cada masa según el principio de superposición $\vec{g}_{total} = \vec{g}_1 + \vec{g}_2$ . En el punto medio de la línea que las une, las distancias a ambas masas son iguales ( $r_1 = r_2$ ), por lo que los módulos de los campos son idénticos:

|\vec{g}_1| = G \frac{M}{(d/2)^2} = |\vec{g}_2|

Sin embargo, los vectores tienen sentidos opuestos (cada uno apunta hacia su respectiva masa), por lo que se anulan mutuamente. En cualquier otro punto fuera del punto medio, o bien las distancias no son iguales (y por tanto los módulos difieren) o bien los vectores no son colineales y opuestos, por lo que la suma vectorial no puede ser cero. Aunque el campo también tiende a cero a distancia infinita, en el espacio finito, el punto medio es el único donde se anula.

ii) El potencial gravitatorio solo se anula a distancia infinita.

La afirmación es verdadera. El potencial gravitatorio $V$ creado por una masa puntual es una magnitud escalar que, por convenio (situando el origen de potenciales en el infinito), es siempre negativa:

V = -G \frac{M}{r}

Para un sistema de dos masas, el potencial total es la suma algebraica de los potenciales individuales:

V_{total} = V_1 + V_2 = -G \frac{M}{r_1} - G \frac{M}{r_2} = -GM \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)

Dado que $G$ , $M$ , $r_1$ y $r_2$ son siempre magnitudes positivas, la expresión entre paréntesis siempre será positiva y distinta de cero para cualquier distancia finita. El potencial total es una suma de términos negativos, por lo que nunca podrá ser cero a menos que ambos términos tiendan a cero, lo cual solo ocurre cuando las distancias $r_1$ y $r_2$ tienden a infinito.

T1: Interacción gravitatoria

Dinámica y Trabajo

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

A-b1

Un asistente de vuelo arrastra con velocidad constante una maleta sin ruedas de 7 kg, por una superficie horizontal. Tira de la maleta con una correa que forma un ángulo de 63º con el suelo. El coeficiente de rozamiento entre la maleta y el suelo es 0,25. i) Realice un esquema de las fuerzas que actúan sobre la maleta. ii) Calcule razonadamente el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre la maleta en un recorrido de 3,5 m. Datos: $g = 9,8 \text{ m s}^{-2}$

FuerzasTrabajoRozamiento

i) Realice un esquema de las fuerzas que actúan sobre la maleta.

Sobre la maleta actúan las siguientes fuerzas:- El peso ( $P$ ), debido a la gravedad, dirigido verticalmente hacia abajo.- La fuerza normal ( $N$ ), ejercida por el suelo, perpendicular a la superficie y dirigida hacia arriba.- La fuerza de tensión ( $T$ ) ejercida por la correa, que forma un ángulo de $63^\circ$ con la horizontal.- La fuerza de rozamiento cinético ( $fr$ ), paralela a la superficie y opuesta al sentido del movimiento.

ii) Calcule razonadamente el trabajo realizado por cada una de las fuerzas que actúan sobre la maleta en un recorrido de 3,5 m.

Dado que la maleta se arrastra con velocidad constante, la aceleración es nula. Esto implica que la fuerza neta sobre la maleta es cero, tanto en la dirección horizontal como en la vertical. Establecemos un sistema de coordenadas donde el eje x es horizontal (sentido del movimiento) y el eje y es vertical.Descomponemos la fuerza de tensión ( $T$ ) en sus componentes horizontal ( $T_x$ ) y vertical ( $T_y$ ):

T_x = T \cos(63^\circ)

T_y = T \sin(63^\circ)

Aplicamos la segunda ley de Newton en cada eje:En el eje y (vertical): $\sum F_y = 0$

N + T_y - P = 0

N + T \sin(63^\circ) - mg = 0 \quad (1)

En el eje x (horizontal): $\sum F_x = 0$

T_x - fr = 0

T \cos(63^\circ) - \mu N = 0 \quad (2)

De la ecuación (1) despejamos $N$ :

N = mg - T \sin(63^\circ)

Sustituimos $N$ en la ecuación (2):

T \cos(63^\circ) - \mu (mg - T \sin(63^\circ)) = 0

T \cos(63^\circ) - \mu mg + \mu T \sin(63^\circ) = 0

T (\cos(63^\circ) + \mu \sin(63^\circ)) = \mu mg

Despejamos $T$ y sustituimos los valores numéricos ( $m = 7 \text{ kg}$ , $g = 9.8 \text{ m s}^{-2}$ , $\mu = 0.25$ , $\alpha = 63^\circ$ ):

T = \frac{\mu mg}{\cos(63^\circ) + \mu \sin(63^\circ)}

T = \frac{0.25 \cdot 7 \text{ kg} \cdot 9.8 \text{ m s}^{-2}}{\cos(63^\circ) + 0.25 \cdot \sin(63^\circ)}

T = \frac{17.15 \text{ N}}{0.45399 + 0.25 \cdot 0.89101} = \frac{17.15 \text{ N}}{0.45399 + 0.22275} = \frac{17.15 \text{ N}}{0.67674} \approx 25.34 \text{ N}

Ahora calculamos la fuerza normal $N$ :

N = mg - T \sin(63^\circ)

N = (7 \text{ kg} \cdot 9.8 \text{ m s}^{-2}) - (25.34 \text{ N} \cdot \sin(63^\circ))

N = 68.6 \text{ N} - (25.34 \text{ N} \cdot 0.89101) = 68.6 \text{ N} - 22.58 \text{ N} \approx 46.02 \text{ N}

Y la fuerza de rozamiento $fr$ :

fr = \mu N = 0.25 \cdot 46.02 \text{ N} \approx 11.51 \text{ N}

El trabajo realizado por una fuerza constante $F$ sobre un desplazamiento $d$ viene dado por la expresión $W = F \cdot d \cdot \cos(\theta)$ , donde $\theta$ es el ángulo entre la dirección de la fuerza y la dirección del desplazamiento ( $d = 3.5 \text{ m}$ ). El desplazamiento es horizontal.1. Trabajo realizado por el peso ( $W_P$ ): El peso ( $P = mg = 68.6 \text{ N}$ ) es vertical hacia abajo, formando un ángulo de $90^\circ$ con el desplazamiento horizontal.

W_P = P \cdot d \cdot \cos(90^\circ) = 68.6 \text{ N} \cdot 3.5 \text{ m} \cdot 0 = 0 \text{ J}

2. Trabajo realizado por la fuerza normal ( $W_N$ ): La fuerza normal ( $N \approx 46.02 \text{ N}$ ) es vertical hacia arriba, formando un ángulo de $90^\circ$ con el desplazamiento horizontal.

W_N = N \cdot d \cdot \cos(90^\circ) = 46.02 \text{ N} \cdot 3.5 \text{ m} \cdot 0 = 0 \text{ J}

3. Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento ( $W_{fr}$ ): La fuerza de rozamiento ( $fr \approx 11.51 \text{ N}$ ) es horizontal y opuesta al sentido del movimiento, formando un ángulo de $180^\circ$ con el desplazamiento.

W_{fr} = fr \cdot d \cdot \cos(180^\circ) = 11.51 \text{ N} \cdot 3.5 \text{ m} \cdot (-1) \approx -40.29 \text{ J}

4. Trabajo realizado por la fuerza de tensión ( $W_T$ ): La fuerza de tensión ( $T \approx 25.34 \text{ N}$ ) forma un ángulo de $63^\circ$ con el desplazamiento.

W_T = T \cdot d \cdot \cos(63^\circ) = 25.34 \text{ N} \cdot 3.5 \text{ m} \cdot \cos(63^\circ)

W_T = 25.34 \text{ N} \cdot 3.5 \text{ m} \cdot 0.45399 \approx 40.28 \text{ J}

El trabajo neto realizado es $W_{net} = W_P + W_N + W_{fr} + W_T = 0 + 0 - 40.29 \text{ J} + 40.28 \text{ J} \approx -0.01 \text{ J}$ . La pequeña diferencia es debido al redondeo en las cifras intermedias. El trabajo neto debe ser cero, ya que la energía cinética no cambia (velocidad constante).

T1: Interacción gravitatoria

Satélites

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

A-b2

Un satélite solía orbitar a $1,6 \cdot 10^{4} \text{ km}$ sobre la superficie de la Tierra. Calcule razonadamente: i) la energía potencial de un satélite de 1000 kg en esta órbita; ii) la velocidad que lleva el satélite en esa órbita; iii) la energía que tiene el satélite en dicha órbita. Datos: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^{2} \text{ kg}^{-2}$ ; $M_{T} = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}$ ; $R_{T} = 6370 \text{ km}$

Energía potencialVelocidad orbitalEnergía mecánica

Primero, se calcula el radio de la órbita del satélite ( $r$ ), sumando el radio de la Tierra ( $R_T$ ) y la altura sobre la superficie ( $h$ ). Es fundamental expresar todas las distancias en metros (Sistema Internacional).

R_T = 6370 \text{ km} = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}

h = 1,6 \cdot 10^4 \text{ km} = 1,6 \cdot 10^7 \text{ m}

r = R_T + h = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} + 1,6 \cdot 10^7 \text{ m} = 2,237 \cdot 10^7 \text{ m}

i) la energía potencial de un satélite de 1000 kg en esta órbita;

La energía potencial gravitatoria ( $E_p$ ) para un satélite en órbita se calcula con la siguiente fórmula, donde $G$ es la constante de gravitación universal, $M_T$ es la masa de la Tierra, $m$ es la masa del satélite y $r$ es el radio de la órbita.

E_p = -\frac{G M_T m}{r}

E_p = -\frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}) (5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}) (1000 \text{ kg})}{2,237 \cdot 10^7 \text{ m}}

E_p \approx -1,78 \cdot 10^{10} \text{ J}

ii) la velocidad que lleva el satélite en esa órbita;

Para un satélite en una órbita circular estable, la fuerza gravitatoria actúa como la fuerza centrípeta. Igualando ambas fuerzas podemos despejar la velocidad orbital ( $v$ ).

\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}

v = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}

v = \sqrt{\frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}) (5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg})}{2,237 \cdot 10^7 \text{ m}}}

v \approx 4220 \text{ m/s}

iii) la energía que tiene el satélite en dicha órbita.

La energía total ( $E$ ) de un satélite en órbita es la suma de su energía cinética ( $E_k$ ) y su energía potencial ( $E_p$ ). La energía cinética se calcula como $E_k = \frac{1}{2} m v^2$ . Sustituyendo $v^2 = \frac{G M_T}{r}$ (obtenida de la condición de órbita estable) en la expresión de la energía cinética, obtenemos $E_k = \frac{G M_T m}{2r}$ .

E = E_k + E_p

E = \frac{G M_T m}{2r} - \frac{G M_T m}{r}

E = -\frac{G M_T m}{2r}

También se puede calcular sumando directamente la energía cinética con la energía potencial ya calculada en el apartado i).

E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} (1000 \text{ kg}) (4220 \text{ m/s})^2

E_k \approx 8,90 \cdot 10^9 \text{ J}

E = E_k + E_p = 8,90 \cdot 10^9 \text{ J} + (-1,78 \cdot 10^{10} \text{ J})

E \approx -8,90 \cdot 10^9 \text{ J}

T1: Interacción gravitatoria

Campo gravitatorio

Teoría

2024 · Extraordinaria · Reserva

A1-a

a) Una partícula puntual de masa

m

está situada en el punto

A(d,0)

y otra de masa

2m

está situada en el punto

B(-d,0)

. Deduzca razonadamente la expresión del campo gravitatorio en el origen de coordenadas y represéntelo.

Campo gravitatorioSuperposiciónPartículas puntuales

a) Para determinar el campo gravitatorio en el origen de coordenadas

O(0,0)

, debemos aplicar el Principio de Superposición. El campo gravitatorio total será la suma vectorial de los campos creados individualmente por la masa

m

(situada en

A

) y la masa

2m

(situada en

B

).

\vec{g} = \sum \vec{g}_i = -G \sum \frac{M_i}{r_i^2} \vec{u}_{r,i}

El campo gravitatorio $\vec{g}_A$ creado por la masa $m$ situada en $A(d,0)$ en el origen apunta hacia la propia masa (sentido positivo del eje X). La distancia es $d$ y el vector unitario que apunta desde el origen hacia la masa es $\vec{u}_A = \vec{i}$ .

\vec{g}_A = G \frac{m}{d^2} \vec{i}

El campo gravitatorio $\vec{g}_B$ creado por la masa $2m$ situada en $B(-d,0)$ en el origen apunta hacia el punto $B$ (sentido negativo del eje X). El vector unitario desde el origen hacia dicha masa es $\vec{u}_B = -\vec{i}$ .

\vec{g}_B = G \frac{2m}{d^2} (-\vec{i}) = -G \frac{2m}{d^2} \vec{i}

Sumamos ambos vectores para obtener el campo resultante en el origen:

\vec{g}_{O} = \vec{g}_A + \vec{g}_B = G \frac{m}{d^2} \vec{i} - G \frac{2m}{d^2} \vec{i} = -G \frac{m}{d^2} \vec{i} \text{ (N/kg)}

El campo resultante tiene módulo $G \frac{m}{d^2}$ , dirección horizontal y sentido hacia la izquierda (hacia la masa de mayor valor, $2m$ ).

T1: Interacción gravitatoria

Potencial y trabajo gravitatorio

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

A1-b

b) Un triángulo equilátero de lado

6 \text{ m}

se sitúa con su base sobre el eje

OX

. En los dos vértices de dicha base se sitúan dos partículas puntuales de masa

3 \text{ kg}

. Calcule razonadamente: i) el campo gravitatorio creado por las dos masas en el tercer vértice, ayudándose de un esquema; ii) el potencial gravitatorio en ese tercer vértice, asumiendo que en el infinito el potencial es nulo; iii) el trabajo realizado por el campo gravitatorio para traer una masa de

1 \text{ kg}

desde el infinito hasta ese punto. Justifique el signo del trabajo.

Dato: $G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N} \cdot \text{m}^2 \cdot \text{kg}^{-2}$

Triángulo equiláteroPotencial gravitatorioTrabajo

i) Para calcular el campo gravitatorio en el tercer vértice, situamos las masas

m_1 = m_2 = 3 \text{ kg}

en los puntos

(-3, 0)

y

(3, 0)

del plano

XY

. El tercer vértice se encuentra en el eje de simetría (eje

Y

). Debido a la simetría del problema, las componentes horizontales del campo gravitatorio se anulan, sumándose únicamente las componentes verticales.

La distancia de cada masa al tercer vértice es el lado del triángulo, $r = 6 \text{ m}$ . El ángulo que forma cada vector campo con el eje vertical es de $30^\circ$ (ya que el ángulo interno del triángulo equilátero es $60^\circ$ ). El módulo del campo creado por una sola masa es:

g_1 = g_2 = G \frac{m}{r^2} = 6,67 \cdot 10^{-11} \frac{3}{6^2} = 5,56 \cdot 10^{-12} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

Calculamos el campo total sumando las componentes vectoriales:

\vec{g} = \vec{g}_1 + \vec{g}_2 = (g_{1x} + g_{2x}) \vec{i} + (g_{1y} + g_{2y}) \vec{j} = 0 \vec{i} + 2 \cdot g_1 \cdot \cos(180^\circ - 30^\circ) \vec{j}

\vec{g} = -2 \cdot 5,56 \cdot 10^{-12} \cdot \cos(30^\circ) \vec{j} = -9,63 \cdot 10^{-12} \vec{j} \text{ N} \cdot \text{kg}^{-1}

ii) El potencial gravitatorio es una magnitud escalar que se calcula como la suma de los potenciales creados por cada masa individualmente:

V = \sum -G \frac{m_i}{r_i} = -G \frac{m_1}{r} - G \frac{m_2}{r} = -2 \frac{G m}{r}

V = -2 \cdot \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 3}{6} = -6,67 \cdot 10^{-11} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}

iii) El trabajo realizado por el campo gravitatorio para traer una masa

m = 1 \text{ kg}

desde el infinito hasta el punto

P

se define como la diferencia negativa de la energía potencial:

W_{\text{campo}} = -\Delta E_p = -(E_{p,f} - E_{p,i}) = E_{p,i} - E_{p,f}

Sabiendo que el potencial en el infinito es nulo ( $E_{p,i} = 0$ ):

W_{\text{campo}} = 0 - (m \cdot V_P) = -1 \text{ kg} \cdot (-6,67 \cdot 10^{-11} \text{ J} \cdot \text{kg}^{-1}) = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ J}

El signo del trabajo es positivo porque el campo gravitatorio es atractivo. Esto indica que el propio campo realiza el trabajo para acercar la masa, ya que la fuerza gravitatoria y el desplazamiento tienen el mismo sentido, resultando en un proceso espontáneo que disminuye la energía potencial del sistema.