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T1: Interacción gravitatoria
Satélites
Problema
2025 · Ordinaria · Titular
A-b2
Examen

Un satélite solía orbitar a 1,6⋅104 km1,6 \cdot 10^{4} \text{ km} sobre la superficie de la Tierra. Calcule razonadamente: i) la energía potencial de un satélite de 1000 kg en esta órbita; ii) la velocidad que lleva el satélite en esa órbita; iii) la energía que tiene el satélite en dicha órbita. Datos: G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^{2} \text{ kg}^{-2}; MT=5,98⋅1024 kgM_{T} = 5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}; RT=6370 kmR_{T} = 6370 \text{ km}

Energía potencialVelocidad orbitalEnergía mecánica

Primero, se calcula el radio de la órbita del satélite (rr), sumando el radio de la Tierra (RTR_T) y la altura sobre la superficie (hh). Es fundamental expresar todas las distancias en metros (Sistema Internacional).

RT=6370 km=6,37⋅106 mR_T = 6370 \text{ km} = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m}
h=1,6⋅104 km=1,6⋅107 mh = 1,6 \cdot 10^4 \text{ km} = 1,6 \cdot 10^7 \text{ m}
r=RT+h=6,37⋅106 m+1,6⋅107 m=2,237⋅107 mr = R_T + h = 6,37 \cdot 10^6 \text{ m} + 1,6 \cdot 10^7 \text{ m} = 2,237 \cdot 10^7 \text{ m}
i) la energía potencial de un satélite de 1000 kg en esta órbita;

La energía potencial gravitatoria (EpE_p) para un satélite en órbita se calcula con la siguiente fórmula, donde GG es la constante de gravitación universal, MTM_T es la masa de la Tierra, mm es la masa del satélite y rr es el radio de la órbita.

Ep=−GMTmrE_p = -\frac{G M_T m}{r}
Ep=−(6,67⋅10−11 N m2 kg−2)(5,98⋅1024 kg)(1000 kg)2,237⋅107 mE_p = -\frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}) (5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg}) (1000 \text{ kg})}{2,237 \cdot 10^7 \text{ m}}
Ep≈−1,78⋅1010 JE_p \approx -1,78 \cdot 10^{10} \text{ J}
ii) la velocidad que lleva el satélite en esa órbita;

Para un satélite en una órbita circular estable, la fuerza gravitatoria actúa como la fuerza centrípeta. Igualando ambas fuerzas podemos despejar la velocidad orbital (vv).

GMTmr2=mv2r\frac{G M_T m}{r^2} = \frac{m v^2}{r}
v=GMTrv = \sqrt{\frac{G M_T}{r}}
v=(6,67⋅10−11 N m2 kg−2)(5,98⋅1024 kg)2,237⋅107 mv = \sqrt{\frac{(6,67 \cdot 10^{-11} \text{ N m}^2 \text{ kg}^{-2}) (5,98 \cdot 10^{24} \text{ kg})}{2,237 \cdot 10^7 \text{ m}}}
v≈4220 m/sv \approx 4220 \text{ m/s}
iii) la energía que tiene el satélite en dicha órbita.

La energía total (EE) de un satélite en órbita es la suma de su energía cinética (EkE_k) y su energía potencial (EpE_p). La energía cinética se calcula como Ek=12mv2E_k = \frac{1}{2} m v^2. Sustituyendo v2=GMTrv^2 = \frac{G M_T}{r} (obtenida de la condición de órbita estable) en la expresión de la energía cinética, obtenemos Ek=GMTm2rE_k = \frac{G M_T m}{2r}.

E=Ek+EpE = E_k + E_p
E=GMTm2r−GMTmrE = \frac{G M_T m}{2r} - \frac{G M_T m}{r}
E=−GMTm2rE = -\frac{G M_T m}{2r}

También se puede calcular sumando directamente la energía cinética con la energía potencial ya calculada en el apartado i).

Ek=12mv2=12(1000 kg)(4220 m/s)2E_k = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} (1000 \text{ kg}) (4220 \text{ m/s})^2
Ek≈8,90⋅109 JE_k \approx 8,90 \cdot 10^9 \text{ J}
E=Ek+Ep=8,90⋅109 J+(−1,78⋅1010 J)E = E_k + E_p = 8,90 \cdot 10^9 \text{ J} + (-1,78 \cdot 10^{10} \text{ J})
E≈−8,90⋅109 JE \approx -8,90 \cdot 10^9 \text{ J}