Vibraciones y ondas

Sustituyendo los valores del enunciado ($m = 2 \text{ kg}$ y $T = 2 \text{ s}$):

Calculamos primero la frecuencia angular $\omega$:

Dado que en $t = 0 \text{ s}$ la masa se suelta desde su máxima elongación ($x(0) = A = 0,05 \text{ m}$), determinamos la fase inicial $\phi_0$:

Por tanto, la expresión de la posición en unidades del S.I. es:

Sustituyendo los valores de $\omega$ y $A$:

Cuando una onda electromagnética cambia de medio, su frecuencia $f$ permanece invariable, ya que esta depende exclusivamente del foco emisor. La velocidad de propagación $v$ y la longitud de onda $\lambda$ están relacionadas mediante la ecuación:

Dada la condición del enunciado, donde la longitud de onda se triplica al pasar al medio 2 ($\lambda_2 = 3\lambda_1$), calculamos la relación de velocidades:

El índice de refracción $n$ se define como la relación entre la velocidad de la luz en el vacío $c$ y la velocidad en el medio $v$ ($n = c/v$). Aplicando esto a ambos medios:

Para que se produzca la reflexión total, deben cumplirse dos condiciones: que el rayo pase de un medio con mayor índice de refracción a uno con menor índice ($n_{incidente} > n_{refractado}$) y que el ángulo de incidencia sea superior al ángulo límite o crítico $\theta_c$.En este caso, como $n_1 = 3n_2$, es evidente que $n_1 > n_2$. Por tanto, sí puede darse el fenómeno de reflexión total cuando la luz incide desde el medio 1 hacia el medio 2.El ángulo crítico $\theta_c$ se define como aquel ángulo de incidencia para el cual el ángulo de refracción es de $90^\circ$:

Una onda estacionaria se describe como la superposición de dos ondas armónicas idénticas que viajan en sentidos opuestos. La ecuación general para una onda estacionaria con un antinodo en el origen para su parte espacial es:

Comparando con la ecuación proporcionada $y(x,t) = 0,5 \cos(0,5\pi x) \sin(4\pi t)$, identificamos los parámetros de las ondas armónicas componentes:

A partir del número de onda ($k$) y la frecuencia angular ($\omega$), calculamos la longitud de onda ($\lambda$) y la velocidad de propagación ($v$):

Los nodos son los puntos del medio donde la amplitud de la onda estacionaria es siempre cero. Esto ocurre cuando el factor espacial de la ecuación se anula:

La función coseno es nula para múltiplos impares de $\pi/2$:

Para $n = 0$, obtenemos la posición del primer nodo en el eje positivo:

Dada la ecuación de la onda en el Sistema Internacional, $y(x,t) = 10 \sin(25t - 15x)$, podemos identificar sus parámetros fundamentales comparándola con la expresión general de una onda armónica que se propaga hacia la derecha: $y(x,t) = A \sin(\omega t - kx)$.

Para el punto $x = 0 \text{ m}$ en el instante $t = 5 \text{ s}$:

Calculando el valor numérico (con el argumento en radianes):

Para una separación de $\Delta x = 2 \text{ m}$:

La energía mecánica total $E$ de un oscilador armónico simple es la suma de su energía cinética y potencial. En los extremos de la oscilación ($x = A$), toda la energía es potencial elástica, por lo que la energía total del sistema depende directamente del cuadrado de la amplitud $A$ según la fórmula:

Si la amplitud se duplica, el nuevo valor de la amplitud es $A' = 2A$. Calculamos la nueva energía $E'$:

Por lo tanto, al duplicar la amplitud, la energía total del sistema se cuadruplica.

La velocidad máxima $v_{\text{máx}}$ de un objeto en movimiento armónico simple ocurre cuando pasa por la posición de equilibrio ($x = 0$) y se relaciona con la amplitud $A$ y la frecuencia angular $\omega$ de la siguiente manera:

La frecuencia angular $\omega$ depende únicamente de la constante elástica $k$ y de la masa $m$ ($\omega = \sqrt{k/m}$), por lo que permanece constante aunque cambie la amplitud. Si la nueva amplitud es $A' = 2A$, la nueva velocidad máxima $v'_{\text{máx}}$ será:

En consecuencia, al duplicar la amplitud, la velocidad máxima del objeto también se duplica.

A partir del enunciado, establecemos las relaciones entre las magnitudes de la primera onda ($y_1$) y la segunda onda ($y_2$):

La longitud de onda $\lambda$ se define como el cociente entre la velocidad de propagación $v$ y la frecuencia $f$ de la onda:

Para encontrar la relación, calculamos el cociente entre $\lambda_1$ y $\lambda_2$:

Sustituimos las relaciones iniciales ($v_1 = 2v_2$ y $f_2 = 2f_1$):

Por lo tanto, la longitud de onda de la primera onda es cuatro veces mayor que la de la segunda:

La velocidad de oscilación de un punto de la cuerda se obtiene derivando la ecuación de la onda respecto al tiempo. Su valor máximo es proporcional a la amplitud y a la frecuencia angular $\omega$:

Calculamos el cociente entre las velocidades máximas de ambas ondas considerando que las amplitudes son iguales:

Sustituimos la relación de frecuencias ($f_1 = \frac{1}{2}f_2$):

De este modo, la velocidad máxima de oscilación de la primera onda es la mitad que la de la segunda:

Para determinar la ecuación de la onda armónica que se propaga en el sentido negativo del eje OX, utilizamos la expresión general de la elongación en función de la posición y el tiempo:

A partir de los datos proporcionados, identificamos la amplitud y calculamos la frecuencia angular y el número de onda. La amplitud es:

La frecuencia angular se obtiene a partir de la frecuencia dada:

El número de onda se calcula utilizando la velocidad de propagación:

Para hallar la fase inicial, aplicamos la condición de que en el instante inicial y en el origen la onda se encuentra en su punto máximo:

Sustituyendo todos los valores, la ecuación de la onda es:

ii) La diferencia de fase entre dos puntos en un mismo instante de tiempo depende únicamente de la distancia entre ellos y del número de onda:

Convertimos la distancia a unidades del Sistema Internacional y calculamos:

iii) Dos puntos se encuentran en oposición de fase cuando su diferencia de fase es un múltiplo impar de pi. La distancia mínima ocurre para una diferencia de fase de pi radianes:

Despejamos la distancia mínima:

Este valor también equivale a la mitad de la longitud de onda. El resultado final es:

Las magnitudes involucradas en esta expresión y sus unidades en el Sistema Internacional (S.I.) son las siguientes:$y(x, t)$: Elongación o desplazamiento del punto situado en la posición $x$ en el instante $t$. Se mide en metros ($\text{m}$).$A$: Amplitud de las ondas individuales que interfieren. La amplitud máxima de la onda estacionaria es $2A$. Se mide en metros ($\text{m}$).$k$: Número de onda, relacionado con la longitud de onda $\lambda$ mediante $k = rac{2\pi}{\lambda}$. Se mide en radianes por metro ($\text{rad} \cdot \text{m}^{-1}$).$\omega$: Frecuencia angular o pulsación, relacionada con el periodo $T$ mediante $\omega = rac{2\pi}{T}$. Se mide en radianes por segundo ($\text{rad} \cdot \text{s}^{-1}$).$x$: Distancia del punto al origen de coordenadas, medida en metros ($\text{m}$).$t$: Tiempo transcurrido, medido en segundos ($\text{s}$).

Nodos: Son los puntos del medio donde la amplitud de oscilación es permanentemente nula ($A(x) = 0$). Esto ocurre cuando $\sin(kx) = 0$, lo que implica que la distancia entre nodos consecutivos es media longitud de onda ($\lambda/2$).

Vientres (o antinodos): Son los puntos del medio donde la amplitud de oscilación es máxima ($A_{max} = 2A$). Esto ocurre cuando $|\sin(kx)| = 1$. Se sitúan en el punto medio entre dos nodos consecutivos.

Puesto que la onda se propaga en la dirección negativa del eje $OX$, el signo que acompaña a $x$ y $t$ en la fase debe ser el mismo. La ecuación general es $y(x,t) = A \sin(\omega t + kx + \phi_0)$. Aplicamos la condición inicial en el origen $y(0,0) = 1 \cdot 10^{-3} \text{ m}$ para calcular la fase inicial $\phi_0$:

Sustituyendo los parámetros obtenidos, la expresión matemática de la onda en el Sistema Internacional es:

En las ondas transversales, la perturbación o el movimiento de las partículas del medio ocurre en una dirección perpendicular a la dirección en la que se propaga la onda. Si definimos la dirección de propagación sobre el eje $x$, la oscilación se produce en el plano $yz$.

Un ejemplo representativo es una onda en una cuerda tensa. Al mover un extremo de la cuerda de arriba hacia abajo (eje $y$), la onda se desplaza horizontalmente a lo largo de la cuerda (eje $x$). Otro ejemplo fundamental son las ondas electromagnéticas (como la luz), donde los vectores de campo eléctrico $\vec{E}$ y campo magnético $\vec{B}$ oscilan perpendicularmente a la dirección de avance.

En las ondas longitudinales, las partículas del medio oscilan en la misma dirección en la que se propaga la onda. Esto genera una sucesión de regiones de compresión (donde las partículas están más próximas) y regiones de rarefacción o expansión (donde están más separadas).

El ejemplo más característico es el sonido en un fluido (como el aire o el agua). Cuando una fuente sonora vibra, empuja las moléculas de aire circundantes hacia adelante y hacia atrás en la misma línea en la que viaja el frente de onda sonora.

Sustituyendo los datos del enunciado, $v = 0,5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ y $T = 2 \text{ s}$:

Determinamos la fase inicial $\phi_0$ utilizando la condición de contorno proporcionada: en $t = 0 \text{ s}$ y $x = 10 \text{ m}$, la boya se encuentra en su altura máxima ($y = A = 0,4 \text{ m}$):

Combinando todos los parámetros, la ecuación de la onda es (en unidades del S.I.):

La velocidad máxima de oscilación corresponde al valor de la amplitud de esta función de velocidad, es decir, el producto de la amplitud de la onda por la frecuencia angular:

Consideramos la ecuación de una onda armónica unidimensional que se propaga en el sentido positivo del eje $x$:

Donde $A$ es la amplitud y $\omega$ es la frecuencia angular ($2\pi f$ o $2\pi/T$). La velocidad de oscilación de un punto del medio se obtiene mediante la derivada parcial de la elongación respecto al tiempo:

El valor máximo de la velocidad de oscilación ($v_{\text{max}}$) se alcanza cuando el término del coseno es igual a $\pm 1$:

La aceleración de oscilación se obtiene derivando la velocidad respecto al tiempo:

El valor máximo de la aceleración de oscilación ($a_{\text{max}}$) se produce cuando el término del seno es $\pm 1$:

Dado que el periodo no varía, la frecuencia angular $\omega = \frac{2\pi}{T}$ permanece constante ($\omega' = \omega$). Analizamos los nuevos valores máximos:

En esta situación, tanto la velocidad máxima como la aceleración máxima se duplican.

Al duplicarse la frecuencia, la frecuencia angular también se duplica, ya que $\omega = 2\pi f$:

Calculamos las variaciones en los valores máximos:

En esta situación, la velocidad máxima se duplica y la aceleración máxima se cuadruplica.

Para resolver el ejercicio, comparamos la ecuación dada con la expresión general de una onda armónica que se propaga en una cuerda:

De la ecuación proporcionada $y(x,t) = 0,2 \cdot \cos(0,2\pi x + 0,25\pi t + \pi)$, identificamos los siguientes parámetros en unidades del S.I.:

La longitud de onda ($\lambda$) se relaciona con el número de onda ($k$) mediante la expresión:

La frecuencia ($f$) se obtiene a partir de la frecuencia angular ($\omega$):

La velocidad de propagación ($v$) es el cociente entre la frecuencia angular y el número de onda:

Dirección y sentido: Al ser una función de $x$, la onda se propaga a lo largo del eje X. Dado que los términos $kx$ y $\omega t$ tienen el mismo signo dentro del argumento del coseno, la onda se propaga en el sentido negativo del eje X (hacia la izquierda).

La velocidad de oscilación transversal ($v_y$) se obtiene derivando la posición respecto al tiempo:

El valor máximo de esta velocidad se alcanza cuando el seno vale $\pm 1$, por lo tanto:

Las magnitudes que aparecen en la expresión anterior son:$y(x, t)$: elongación o desplazamiento transversal de un punto de la cuerda respecto a su posición de equilibrio, medido en metros ($\text{m}$). $A$: amplitud de la onda, representa el máximo desplazamiento alcanzado por las partículas del medio ($\text{m}$). $k$: número de onda, definido como $k = 2\pi / \lambda$, donde $\lambda$ es la longitud de onda ($\text{rad} \cdot \text{m}^{-1}$). $x$: posición del punto en el eje de propagación ($\text{m}$). $\omega$: frecuencia angular o pulsación, definida como $\omega = 2\pi / T$, donde $T$ es el periodo ($\text{rad} \cdot \text{s}^{-1}$). $t$: tiempo transcurrido ($\text{s}$). $\phi_0$: fase inicial, que indica el estado de vibración del punto en $x = 0$ para el instante $t = 0$ ($\text{rad}$).

La velocidad de propagación ($v$) es la velocidad con la que la perturbación (la fase de la onda) se desplaza a través del medio. Es una constante que depende exclusivamente de las propiedades del medio físico (en una cuerda, de su tensión y su densidad lineal). Su ecuación es:

La velocidad de vibración ($v_y$) es la velocidad con la que oscila cada una de las partículas del medio alrededor de su posición de equilibrio. Se trata de una magnitud variable en el tiempo que sigue un movimiento armónico simple. Se obtiene derivando la ecuación de la onda respecto al tiempo para una posición $x$ fija:

La ecuación dada, $y(x,t) = 0.2 \cdot \sin(3\pi x) \cdot \cos(6\pi t)$, corresponde a una onda estacionaria resultante de la interferencia de dos ondas armónicas que viajan en sentidos opuestos. La expresión general para una onda estacionaria con extremos fijos es $y(x,t) = 2A \sin(kx) \cos(\omega t)$.Al comparar ambas expresiones, identificamos los valores del número de onda ($k$) y de la frecuencia angular ($\omega$):

Calculamos la longitud de onda ($\lambda$) a partir de la definición del número de onda:

La velocidad de propagación ($v$) de las ondas armónicas individuales que generan el patrón estacionario se define como:

En una onda estacionaria, los nodos son los puntos de amplitud nula. La condición de nodo se cumple cuando el término espacial $\sin(kx) = 0$, lo que implica que $kx = n\pi$. La distancia entre dos nodos consecutivos es igual a media longitud de onda:

Los vientres o antinodos son los puntos de máxima amplitud ($\|\sin(kx)\| = 1$). La distancia entre un vientre y el nodo inmediatamente posterior es la cuarta parte de la longitud de onda:

De acuerdo con el enunciado, la velocidad de propagación permanece constante ($v' = v$) y el periodo se duplica ($T' = 2T$). Sustituyendo estos valores en la expresión de la nueva longitud de onda $\lambda'$:

Al ser la longitud de onda directamente proporcional al periodo para una velocidad dada, si el periodo se duplica, la longitud de onda también se duplica.

Si analizamos el cambio al duplicar el periodo ($T' = 2T$), la nueva frecuencia angular $\omega'$ será:

Como la frecuencia angular es inversamente proporcional al periodo, al duplicar este último, la frecuencia angular se reduce a la mitad.

La ecuación de la onda armónica es $y(x,t) = 3 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2} t - \pi x\right)$. Al compararla con la expresión general $y(x,t) = A \sin(\omega t - kx + \phi_0)$, se identifican los siguientes parámetros característicos en el Sistema Internacional:

La velocidad de propagación de la onda representa el avance de la fase en el espacio y se calcula mediante la relación entre la frecuencia angular y el número de onda:

La velocidad de vibración de cualquier punto de la cuerda es la derivada parcial de la elongación respecto al tiempo, $v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t}$:

El valor máximo de esta velocidad se alcanza cuando el término del coseno es igual a la unidad:

La diferencia de fase entre dos puntos de una onda en un mismo instante de tiempo está relacionada con la distancia que los separa a través del número de onda $k$:

Sustituyendo el valor de la diferencia de fase dada y el valor de $k$ extraído de la ecuación:

Consideramos dos ondas armónicas transversales que se propagan a lo largo de una cuerda tensa situada en el eje $x$. La ecuación de la primera onda, que se propaga en el sentido positivo del eje $x$, es:

La ecuación de la segunda onda, idéntica a la anterior pero propagándose en el sentido negativo del eje $x$, es:

De acuerdo con el principio de superposición, la elongación resultante $y(x, t)$ en cualquier punto de la cuerda es la suma algebraica de las elongaciones de las ondas individuales:

Aplicando la identidad trigonométrica de la suma de senos, $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin(\frac{\alpha + \beta}{2}) \cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$, donde $\alpha = kx + \omega t$ y $\beta = kx - \omega t$, obtenemos la ecuación de la onda estacionaria:

En esta expresión, el término $A(x) = 2A \sin(kx)$ representa la amplitud de la oscilación armónica de cada punto de la cuerda, la cual depende exclusivamente de su posición $x$. Los puntos con amplitud nula se denominan nodos y los puntos con amplitud máxima se denominan vientres.

La longitud de onda $\lambda$ se calcula a partir del número de onda mediante la relación $\lambda = \frac{2\pi}{k}$:

Los nodos son los puntos donde la amplitud de la oscilación es nula, lo que ocurre cuando $\sin(kx) = 0$. Esto sucede para valores de $x$ tales que: