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T3: Vibraciones y ondas
Ondas viajeras
Problema
2025 · Extraordinaria · Titular
C-b2
Examen

La ecuación de una onda viajera que se propaga por una cuerda tensa es:

y(x,t)=10⋅sin⁡(25t−15x) (SI)y(x,t) = 10 \cdot \sin(25 t - 15 x) \text{ (SI)}

Calcule razonadamente:

i) la velocidad de propagación de la onda.ii) la velocidad de oscilación de la cuerda en el punto x=0 mx = 0 \text{ m} en t=5 st = 5 \text{ s}.iii) la diferencia de fase entre dos puntos que, en el mismo instante, están separados 2 m2 \text{ m}.
Ondas mecánicasVelocidad de propagaciónFase de onda
Resolución de la onda viajera

Dada la ecuación de la onda en el Sistema Internacional, y(x,t)=10sin⁡(25t−15x)y(x,t) = 10 \sin(25t - 15x), podemos identificar sus parámetros fundamentales comparándola con la expresión general de una onda armónica que se propaga hacia la derecha: y(x,t)=Asin⁡(ωt−kx)y(x,t) = A \sin(\omega t - kx).

A=10 m;ω=25 rad⋅s−1;k=15 m−1A = 10 \text{ m}; \quad \omega = 25 \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}; \quad k = 15 \text{ m}^{-1}
i) La velocidad de propagación de la onda (vv) es la rapidez con la que se desplaza el perfil de la onda a través del medio. Se calcula mediante la relación entre la frecuencia angular (ω\omega) y el número de onda (kk):
v=ωkv = \frac{\omega}{k}
v=25 rad⋅s−115 m−1=53 m⋅s−1≈1,67 m⋅s−1v = \frac{25 \text{ rad} \cdot \text{s}^{-1}}{15 \text{ m}^{-1}} = \frac{5}{3} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \approx 1,67 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}
ii) La velocidad de oscilación de la cuerda (vyv_y) representa la velocidad transversal de un punto de la misma. Se obtiene derivando la elongación respecto al tiempo:
vy(x,t)=∂y(x,t)∂t=Aωcos⁡(ωt−kx)v_y(x,t) = \frac{\partial y(x,t)}{\partial t} = A \omega \cos(\omega t - kx)

Para el punto x=0 mx = 0 \text{ m} en el instante t=5 st = 5 \text{ s}:

vy(0,5)=10⋅25⋅cos⁡(25⋅5−15⋅0)=250⋅cos⁡(125) m⋅s−1v_y(0, 5) = 10 \cdot 25 \cdot \cos(25 \cdot 5 - 15 \cdot 0) = 250 \cdot \cos(125) \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Calculando el valor numérico (con el argumento en radianes):

vy(0,5)≈250⋅0,6669 m⋅s−1≈166,73 m⋅s−1v_y(0, 5) \approx 250 \cdot 0,6669 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} \approx 166,73 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}
iii) La diferencia de fase (Δϕ\Delta \phi) entre dos puntos x1x_1 y x2x_2 en un mismo instante de tiempo se determina por la diferencia de sus posiciones multiplicada por el número de onda:
Δϕ=∣(ωt−kx2)−(ωt−kx1)∣=k⋅∣x1−x2∣=k⋅Δx\Delta \phi = |( \omega t - k x_2 ) - ( \omega t - k x_1 )| = k \cdot |x_1 - x_2| = k \cdot \Delta x

Para una separación de Δx=2 m\Delta x = 2 \text{ m}:

Δϕ=15 m−1⋅2 m=30 rad\Delta \phi = 15 \text{ m}^{-1} \cdot 2 \text{ m} = 30 \text{ rad}