Óptica

Criterio de signos utilizado (convención de la óptica de lentes delgadas): las distancias se miden desde la lente. La distancia objeto $u$ es negativa si el objeto está a la izquierda de la lente (objeto real). La distancia imagen $v$ es positiva si la imagen se forma a la derecha de la lente (imagen real).

Altura del objeto: $h_o = 0{,}2 \ \text{mm}$ Distancia objeto–pantalla: $28 \ \text{cm}$ La lente se coloca a $3{,}8 \ \text{cm}$ del objeto, por lo que:Distancia objeto–lente: $|u| = 3{,}8 \ \text{cm}$ → con el criterio de signos: $u = -3{,}8 \ \text{cm}$ Distancia lente–pantalla: $v = 28 - 3{,}8 = 24{,}2 \ \text{cm}$ → $v = +24{,}2 \ \text{cm}$ (imagen real a la derecha)

Se aplica la ecuación de la lente delgada (ecuación de Gauss):

Sustituyendo los valores $u = -3{,}8 \ \text{cm}$ y $v = +24{,}2 \ \text{cm}$:

La distancia focal necesaria es $f \approx 3{,}28 \ \text{cm}$. El valor positivo confirma que se trata de una lente convergente, tal como se indica en el enunciado.

El aumento lateral (o amplificación transversal) viene dado por:

El signo negativo indica que la imagen es real e invertida (proyectada sobre la pantalla), lo cual es coherente con el funcionamiento de un proyector.El tamaño de la imagen es:

La imagen formada sobre la pantalla tiene una altura de aproximadamente $1{,}27 \ \text{mm}$, es real, invertida y amplificada (unas 6,37 veces respecto al objeto original).

Para resolver este ejercicio, utilizaremos el criterio de signos DIN (ISO), en el cual el vértice del espejo se sitúa en el origen de coordenadas $(0,0)$. La luz incide desde la izquierda (sentido positivo del eje X). Bajo este criterio:1. La distancia del objeto al espejo es $s = -2 \text{ m}$ (negativa por estar a la izquierda). 2. El espejo es convexo, por lo que su foco es virtual y se encuentra a la derecha del vértice: $f = +6 \text{ m}$. 3. La altura del objeto es $y = 20 \text{ cm} = 0,2 \text{ m}$.

Aplicamos la ecuación fundamental de los espejos esféricos:

Sustituimos los valores conocidos para despejar $s'$:

Dado que el valor de $s'$ es positivo ($s' = 1,5 \text{ m}$), la imagen se forma a la derecha del vértice del espejo. Esto implica que la imagen es virtual, ya que se forma por la intersección de las prolongaciones de los rayos reflejados y no por los rayos mismos.

Para hallar la altura de la imagen ($y'$), utilizamos la fórmula del aumento lateral ($m$):

Despejamos $y'$ y sustituimos los valores:

La altura de la imagen es de $15 \text{ cm}$. Al ser un valor positivo, la imagen es derecha (misma orientación que el objeto) y de menor tamaño que el original.

La relación entre velocidad, frecuencia y longitud de onda es:

La frecuencia de la luz no cambia al pasar de un medio a otro, por lo que $f = 5{,}09 \cdot 10^{14}$ Hz en cualquier medio.

El índice de refracción relaciona la velocidad en el vacío con la velocidad en el medio:

La longitud de onda en el cuarzo se calcula usando la frecuencia (que no varía) y la nueva velocidad:

Alternativamente: $\lambda_{\text{cuarzo}} = \dfrac{\lambda_0}{n_{\text{cuarzo}}} = \dfrac{5{,}89 \cdot 10^{-7}}{1{,}458} = 4{,}04 \cdot 10^{-7}$ m

El ángulo límite (o ángulo crítico) se produce cuando el rayo viaja del medio más denso (cuarzo) al menos denso (aire) y el ángulo de refracción es $90^\circ$. Aplicando la Ley de Snell:

Para ángulos de incidencia mayores que $43{,}3^\circ$, se produce reflexión total interna, principio en el que se basa el funcionamiento de las fibras ópticas.

Datos del problema: altura del objeto $y = 4 \text{ cm}$, distancia objeto $u = 75 \text{ cm}$, distancia imagen $v = 37{,}5 \text{ cm}$ (imagen invertida y real).

Criterio de signos utilizado (cartesiano con origen en el vértice del espejo): las distancias se miden desde el vértice del espejo. Las distancias de objetos e imágenes reales (situados delante del espejo, en el mismo lado que el objeto) son positivas. Las distancias de imágenes virtuales (detrás del espejo) son negativas. Con este criterio: $u = +75 \text{ cm}$, $v = +37{,}5 \text{ cm}$ (imagen real, delante del espejo).La ecuación de los espejos esféricos (fórmula del espejo) es:

Sustituyendo los valores:

La relación entre la distancia focal y el radio de curvatura es $f = R/2$, por tanto:

El radio del espejo cóncavo es $R = 50 \text{ cm}$.

El aumento lateral (o magnificación transversal) se define como:

Sustituyendo los valores:

El signo negativo confirma que la imagen está invertida respecto al objeto, en concordancia con el enunciado. La altura de la imagen es:

La imagen tiene una altura de $2 \text{ cm}$ (el signo negativo indica que está invertida).

Justificación de la construcción: el objeto se encuentra más allá del centro de curvatura C ($u = 75 \text{ cm} > R = 50 \text{ cm}$). Se trazan los dos rayos principales siguientes:

La intersección de los rayos reflejados determina la posición de la imagen. Como el objeto está más allá de C, la imagen es real (se forma delante del espejo, donde se cruzan los rayos reflejados), invertida y más pequeña que el objeto, a $37{,}5 \text{ cm}$ del vértice (entre F y C). Esto es coherente con el aumento $|m| = 0{,}5 < 1$.

El rayo incide en la cara superior con $\theta_1 = 45^\circ$, se refracta en el interior de la lámina con un ángulo $\theta_2$ menor, recorre el espesor de la lámina y emerge por la cara inferior con el mismo ángulo $45^\circ$ de la incidencia (ya que las caras son paralelas). El rayo emergente es paralelo al incidente pero desplazado lateralmente.

Aplicamos la Ley de Snell en la cara superior (aire → vidrio):

El ángulo de refracción en el interior de la lámina es $\theta_2 \approx 26{,}2^\circ$.Aplicamos la Ley de Snell en la cara inferior (vidrio → aire). Como las caras son paralelas, el rayo incide en la cara inferior con el mismo ángulo $\theta_2 = 26{,}2^\circ$ respecto a la normal:

El rayo emerge con un ángulo de $45^\circ$ respecto a la normal, igual al ángulo de incidencia original. El rayo emergente es paralelo al rayo incidente.

La velocidad de la luz en el interior del vidrio viene dada por el índice de refracción:

El rayo no recorre verticalmente el espesor $e = 8 \text{ cm} = 0{,}08 \text{ m}$, sino que viaja en diagonal con ángulo $\theta_2 = 26{,}2^\circ$ respecto a la normal. La distancia real recorrida dentro de la lámina es:

El tiempo que tarda en atravesar la lámina es:

El rayo tarda aproximadamente $t \approx 4{,}75 \cdot 10^{-10} \text{ s}$ (unos $0{,}475 \text{ ns}$) en atravesar la lámina de vidrio.

Para obtener una imagen virtual y de mayor tamaño que el objeto, debemos analizar las posibilidades que ofrecen los dos tipos de lentes delgadas.

La lente que debe usarse es una lente CONVERGENTE (convexo-convexa o biconvexa). La razón es la siguiente:

El objeto debe colocarse entre el foco objeto $F$ y la lente convergente, es decir, a una distancia $s$ tal que $0 < s < f$, donde $f$ es la distancia focal de la lente.

El trazado se construye con los siguientes rayos principales desde el extremo superior del objeto (situado entre F y la lente):

Los rayos refractados divergen (no se cortan en el lado de la imagen real). Prolongando estos rayos hacia atrás (hacia el lado del objeto), sus prolongaciones se cortan en un punto situado en el mismo lado que el objeto. Ese punto de corte de las prolongaciones es la imagen.

Usando la ecuación de lentes con la convención de signos (distancias positivas a la derecha del centro óptico):

Con $0 < s < f$ (objeto entre foco y lente, $s$ positivo en la convención usual de objeto real), se obtiene $s' < 0$, lo que confirma que la imagen es virtual (se forma en el mismo lado que el objeto). El aumento lateral:

resulta positivo (imagen derecha) y $|m| > 1$ (imagen mayor), cumpliendo todas las condiciones requeridas.

Se debe utilizar una lente convergente y colocar el objeto entre el foco $F$ y la lente ($s < f$). La imagen resultante será virtual, derecha y mayor que el objeto, funcionando el sistema como una lupa.

i) El fenómeno de refracción se rige por la ley de Snell. Cuando un rayo de luz pasa de un medio a otro con diferente índice de refracción, cambia su dirección de propagación. A continuación, se presenta el esquema de la trayectoria del haz de luz a través de las interfaces aire-aceite y aceite-agua.

ii) Para calcular los ángulos de refracción, aplicamos la ley de Snell de forma sucesiva. Primero, calculamos el ángulo de refracción en el aceite (medio 2) desde el aire (medio 1):

Como las superficies son paralelas, el ángulo de incidencia en la interfaz aceite-agua es igual al ángulo de refracción obtenido anteriormente. Aplicamos de nuevo la ley de Snell para la interfaz entre aceite (medio 2) y agua (medio 3):

iii) La velocidad de la luz en un medio se determina a partir de la definición del índice de refracción, que es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad en dicho medio:

Los ángulos refractados son 31,41º en el aceite y 35,16º en el agua, y la velocidad de la luz en el agua es 2,26 \cdot 10^{8} \text{ m s}^{-1}.

Recordamos la relación entre el índice de refracción de un medio y la velocidad de propagación de la luz en ese medio:

donde $c$ es la velocidad de la luz en el vacío y $v$ es la velocidad de la luz en el medio. Cuanto mayor es $v$, menor es $n$, y viceversa.

Se nos dice que la velocidad de la luz en el medio 1 es menor que en el medio 2, es decir: $v_1 < v_2$.Usando la definición del índice de refracción:

Como $v_1 < v_2$, entonces $\dfrac{c}{v_1} > \dfrac{c}{v_2}$, lo que implica que $n_1 > n_2$.La afirmación $n_1 < n_2$ es INCORRECTA. El medio 1 tiene mayor índice de refracción que el medio 2 ($n_1 > n_2$), es decir, el medio 1 es ópticamente más denso que el medio 2.

La reflexión total interna se produce cuando un rayo de luz pasa de un medio ópticamente más denso (mayor $n$) a uno menos denso (menor $n$), y el ángulo de incidencia supera el ángulo límite o crítico $\theta_c$.En nuestro caso, el rayo va del medio 1 (mayor $n_1$) al medio 2 (menor $n_2$). Esta es precisamente la condición necesaria para que pueda producirse la reflexión total. El ángulo límite se obtiene aplicando la Ley de Snell con $\theta_2 = 90^\circ$:

Como $n_2 < n_1$, se tiene $\sin\theta_c < 1$, por lo que existe un ángulo crítico real $\theta_c$ entre $0^\circ$ y $90^\circ$. Para cualquier ángulo de incidencia $\theta_1 > \theta_c$, el rayo no se refracta y se refleja completamente en la interfaz.

La afirmación de que se puede producir reflexión total es CORRECTA, siempre que el ángulo de incidencia desde el medio 1 hacia el medio 2 sea mayor o igual que el ángulo crítico $\theta_c$.

Una lente divergente siempre forma imágenes virtuales, derechas y más pequeñas que el objeto cuando el objeto es real. La imagen se forma en el mismo lado que el objeto (lado de incidencia de la luz).

Se adopta el siguiente criterio de signos:

Datos del problema: la imagen tiene altura igual a un tercio de la altura del objeto, y la imagen se forma a 20 cm de la lente. Dado que la lente es divergente, la imagen es virtual y se forma en el mismo lado que el objeto, por tanto $s_i = -20 \text{ cm}$.La ampliación transversal $m$ se define como:

Como la imagen es derecha (una lente divergente con objeto real siempre da imagen derecha) y su altura es un tercio de la del objeto:

Despejando la posición del objeto:

El objeto se encuentra a 60 cm a la izquierda de la lente ($s_o = -60 \text{ cm}$).

Aplicamos la ecuación de conjugación de lentes (ecuación del fabricante de lentes o ecuación de Gauss):

Sustituyendo $s_i = -20 \text{ cm}$ y $s_o = -60 \text{ cm}$:

La distancia focal de la lente divergente es $f = -30 \text{ cm}$. El signo negativo es coherente con el carácter divergente de la lente.La potencia de la lente es:

Construcción del trazado de rayos para una lente divergente:

Los rayos refractados divergen y no se cortan en el lado derecho. Sin embargo, sus prolongaciones hacia atrás (líneas discontinuas) se cortan en el lado izquierdo, a 20 cm de la lente, formando una imagen virtual, derecha y reducida (un tercio del tamaño del objeto).

Datos del problema: altura del objeto $y = 3 \text{ cm}$, distancia del objeto a la lente $s_o = 25 \text{ cm}$, distancia focal $f = 20 \text{ cm}$.Criterio de signos utilizado (convenio de signos cartesiano): Las distancias se miden desde el centro óptico de la lente. Las distancias en el mismo sentido que la luz incidente (hacia la derecha) son positivas. Por tanto, el objeto está a la izquierda de la lente y su distancia es positiva: $s_o = +25 \text{ cm}$. La distancia focal de una lente convergente es positiva: $f = +20 \text{ cm}$.

Se aplica la ecuación de conjugación de la lente delgada (ecuación del fabricante de lentes):

Sustituyendo los valores:

La imagen se forma a $100 \text{ cm}$ al otro lado de la lente (signo positivo, a la derecha de la lente, en el mismo sentido de propagación de la luz).La imagen es REAL porque $s_i > 0$, es decir, se forma en el lado opuesto al objeto (el rayo de luz realmente converge en ese punto). Además, al ser $s_o > f$, el objeto está más allá del foco, condición necesaria para que una lente convergente forme imagen real.

La altura de la imagen se obtiene a través del aumento lateral $m$:

La altura de la imagen es:

El signo negativo indica que la imagen está invertida respecto al objeto. La imagen tiene una altura de $12 \text{ cm}$ en valor absoluto, y es 4 veces mayor que el objeto.La potencia de la lente se define como la inversa de la distancia focal expresada en metros:

Resultados resumen: la imagen se forma a $s_i = 100 \text{ cm}$ al otro lado de la lente, es real e invertida; la altura de la imagen es $|y'| = 12 \text{ cm}$; y la potencia de la lente es $P = 5 \text{ D}$.

La afirmación propuesta es falsa. En un espejo esférico convexo, la superficie reflectante está curvada hacia afuera, lo que sitúa el foco $F$ y el centro de curvatura $C$ por detrás del espejo. Para cualquier posición de un objeto real frente al espejo, la imagen resultante es siempre virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto, lo que implica que el aumento lateral es siempre menor que la unidad.

Para construir la imagen en un espejo convexo se utilizan los rayos notables:

La intersección de las prolongaciones de estos rayos divergentes ocurre siempre entre el espejo y el foco. Dado que la imagen se forma por la intersección de prolongaciones, es virtual, se encuentra derecha (por encima del eje) y su altura es visiblemente menor que la del objeto.Analíticamente, utilizamos la ecuación del espejo y la definición de aumento lateral según el convenio de signos de la norma DIN:

En un espejo convexo, la distancia focal es positiva ($f > 0$) y la posición del objeto es negativa ($s < 0$). Despejando la posición de la imagen $s'$:

Como $s$ es negativo y $f$ es positivo, el denominador $(s - f)$ es siempre negativo. El numerador $(f \cdot s)$ también es negativo. Por lo tanto, $s'$ es siempre positivo ($s' > 0$), lo que confirma que la imagen es virtual. Al calcular el módulo del aumento lateral:

Dado que el denominador $|s| + f$ es siempre mayor que el numerador $f$, se cumple que $|m| < 1$. Por lo tanto, es imposible que un espejo convexo produzca una imagen con aumento lateral mayor que la unidad.

Cuando la luz pasa de un medio a otro, la frecuencia se conserva, mientras que la longitud de onda y la velocidad cambian. En el aire, la luz viaja con $\lambda_1 = 700 \text{ nm}$ y en el agua con $\lambda_2 = 525 \text{ nm}$.

La frecuencia se calcula a partir de los datos en el aire (primer medio), donde $n_{aire} = 1$ y $v = c$:

La frecuencia es constante en ambos medios: $f = 4{,}29 \cdot 10^{14} \text{ Hz}$.

El índice de refracción de un medio se define como:

Como la frecuencia se conserva, podemos relacionar los índices con las longitudes de onda. Sabemos que $v = f \cdot \lambda$ y $c = f \cdot \lambda_1$, por lo tanto:

El índice de refracción del agua es $n_{agua} \approx 1{,}33$.

A partir de la definición del índice de refracción:

También podemos comprobarlo directamente: $v = f \cdot \lambda_2 = 4{,}29 \cdot 10^{14} \text{ Hz} \times 525 \cdot 10^{-9} \text{ m} = 2{,}25 \cdot 10^8 \text{ m/s}$.

Para que una imagen sea invertida y del mismo tamaño, el aumento lateral $M_L$ debe ser igual a $-1$. La relación entre las distancias del objeto $s$ y de la imagen $s'$ al centro óptico viene dada por la expresión del aumento:

Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas (ecuación de Gauss):

Sustituyendo $s' = -s$ en la ecuación anterior:

Por tanto, el objeto debe colocarse a una distancia de la lente igual al doble de la distancia focal. Los rayos paralelos al eje óptico pasan por el foco imagen $F'$, y los que pasan por el centro óptico no se desvían, cortándose en un punto real a distancia $2f'$ al otro lado de la lente.

Para obtener una imagen virtual y derecha, esta debe formarse en el mismo semiplano que el objeto ($s' < 0$) y el aumento lateral debe ser positivo y mayor que la unidad ($M_L > 1$). Esto sucede cuando el objeto se coloca entre el foco objeto y la lente:

Bajo esta condición, los rayos que emergen de la lente son divergentes. Al prolongar estos rayos hacia atrás, convergen en un punto del mismo lado de la lente, generando una imagen virtual que el ojo humano percibe como aumentada (efecto lupa).

Para la resolución del ejercicio se utiliza el criterio de signos DIN (ISO), en el cual el centro óptico de la lente se sitúa en el origen de coordenadas. Las distancias medidas a la izquierda de la lente son negativas ($s < 0$) y a la derecha son positivas ($s' > 0$). Las alturas por encima del eje óptico son positivas y por debajo negativas.

Los datos proporcionados son la distancia del objeto $s = -3 \text{ m}$ y la distancia de la imagen $s' = -1,5 \text{ m}$ (ya que se forma delante de la lente, en el mismo lado que el objeto). Sustituyendo los valores:

Justificación del signo: El signo negativo en la distancia focal imagen ($f' < 0$) indica que la lente es divergente. En este tipo de lentes, los rayos que inciden paralelos al eje óptico divergen de forma que sus prolongaciones pasan por el foco imagen, situado a la izquierda de la lente (foco virtual).

Despejamos $y'$ con la altura del objeto $y = 10 \text{ cm}$:

Dado que el aumento lateral es positivo ($m = 0,5 > 0$), la imagen es derecha (mismo sentido que el objeto). Además, al ser $|m| < 1$, la imagen es de menor tamaño que el objeto.

Para justificar razonadamente ambos apartados, partimos de la ley de Snell de la refracción:

Dado que el rayo se aleja de la normal, tenemos que $\theta_2 > \theta_1$, por lo que $\sin(\theta_2) > \sin(\theta_1)$. De la ley de Snell se deduce que para mantener la igualdad, el índice de refracción del primer medio debe ser mayor que el del segundo:

i) Para determinar la velocidad de propagación, utilizamos la relación entre el índice de refracción $n$, la velocidad de la luz en el vacío $c$ y la velocidad en el medio $v$:

Al ser $n_1 > n_2$, la relación inversa indica que $v_1 < v_2$. Por tanto, el rayo se propaga a menor velocidad en el primer medio.ii) Para analizar la longitud de onda, debemos considerar que la frecuencia $f$ de la luz es una propiedad de la fuente y no cambia al cambiar de medio ($f_1 = f_2 = f$). La relación entre la velocidad, la frecuencia y la longitud de onda $\lambda$ es:

Puesto que $v_2 > v_1$ y la frecuencia permanece constante, se concluye que $\lambda_2 > \lambda_1$. Por tanto, el rayo tiene mayor longitud de onda en el segundo medio (el medio hacia el cual se refracta).

Para obtener el ángulo de refracción ($\theta_r$), aplicamos la ley de Snell para la refracción en la interfase aire-vidrio:

Considerando que la lámina tiene un espesor $d = 10 \text{ cm} = 0,1 \text{ m}$, la distancia $s$ se obtiene por la relación trigonométrica en el triángulo formado por el rayo y la normal:

Una vez conocida la distancia recorrida y la velocidad en el medio, calculamos el tiempo empleado:

Una lente convergente puede generar una imagen virtual siempre que el objeto se sitúe entre el foco objeto $F$ y el centro óptico de la lente $O$. En términos de distancia, esto ocurre cuando la distancia objeto $s$ cumple que $|s| < |f|$, donde $f$ es la distancia focal.

Para construir la imagen en esta situación, se realiza el trazado de los rayos principales partiendo desde el extremo superior del objeto:

Como se observa en el trazado, los rayos refractados son divergentes y no se cruzan en el espacio real (a la derecha de la lente). Para encontrar la imagen, es necesario prolongar estos rayos hacia atrás, en la zona del espacio objeto.El punto de intersección de las prolongaciones de los rayos define la posición de la imagen. Al formarse por la intersección de prolongaciones y no por los rayos mismos, la imagen es virtual. Además, la imagen presenta las siguientes características:

Analíticamente, esto se comprueba mediante la ecuación de las lentes delgadas y el aumento lateral $A_L$:

Si $|s| < |f'|$, el valor de $s'$ será negativo, indicando que la imagen es virtual, y el aumento lateral será mayor que 1, indicando que es derecha y de mayor tamaño.

Aplicamos el criterio de signos DIN (o normas ISO), donde el vértice del espejo se sitúa en el origen $(0,0)$. Las distancias hacia la izquierda son negativas, hacia la derecha positivas, hacia arriba positivas y hacia abajo negativas. La luz se propaga de izquierda a derecha.Datos proporcionados por el enunciado:

Calculamos la distancia focal $f$ a partir del radio de curvatura del espejo cóncavo:

Para hallar la posición de la imagen $s'$, utilizamos la ecuación fundamental de los espejos esféricos:

Sustituimos los valores y despejamos $s'$:

Para calcular el tamaño de la imagen $y'$, empleamos la fórmula del aumento lateral $M$:

Al estar el objeto situado entre el foco y el espejo ($|s| < |f|$), el trazado de rayos (rayo paralelo que pasa por el foco y rayo que pasa por el centro de curvatura) muestra que los rayos divergen al reflejarse.Basándonos en los resultados numéricos obtenidos, las características de la imagen son:1. Es una imagen virtual: Se forma por la prolongación de los rayos reflejados detrás del espejo ($s' > 0$). 2. Es una imagen derecha: Tiene el mismo sentido que el objeto ($y' > 0$ o aumento positivo). 3. Es una imagen aumentada: Su tamaño es tres veces mayor que el del objeto ($|M| = 3$).

La velocidad de una onda monocromática está relacionada con su longitud de onda ($\lambda$) y su frecuencia ($f$) mediante la expresión $v = \lambda \cdot f$. Al pasar de un medio a otro, la frecuencia permanece constante ya que es una característica propia del foco emisor. Por tanto, podemos expresar el índice de refracción en función de la longitud de onda:

Para los dos medios involucrados, se cumple que el producto $n \cdot \lambda$ es constante ($n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$). Si en el medio 2 la longitud de onda se duplica ($\lambda_2 = 2\lambda_1$), la relación entre los índices es: