Óptica — Física PEvAU Andalucía

Refracción de la luz

Teoría

2025 · Extraordinaria · Reserva

C-a

Un haz de luz monocromático pasa de un medio con índice de refracción $n_1$ a otro medio con índice de refracción $n_2$ , siendo la velocidad en el medio $1$ menor que en el medio $2$ . Justifique razonadamente si las siguientes afirmaciones son correctas:

i)

n_1 < n_2

.ii) Se puede producir el fenómeno de reflexión total.

Índice de refracciónLey de SnellReflexión total

Refracción de la luz entre dos medios

Recordamos la relación entre el índice de refracción de un medio y la velocidad de propagación de la luz en ese medio:

n = \dfrac{c}{v}

donde $c$ es la velocidad de la luz en el vacío y $v$ es la velocidad de la luz en el medio. Cuanto mayor es $v$ , menor es $n$ , y viceversa.

i) Afirmación:

n_1 < n_2

Se nos dice que la velocidad de la luz en el medio 1 es menor que en el medio 2, es decir: $v_1 < v_2$ .Usando la definición del índice de refracción:

n_1 = \dfrac{c}{v_1} \qquad n_2 = \dfrac{c}{v_2}

Como $v_1 < v_2$ , entonces $\dfrac{c}{v_1} > \dfrac{c}{v_2}$ , lo que implica que $n_1 > n_2$ .La afirmación $n_1 < n_2$ es INCORRECTA. El medio 1 tiene mayor índice de refracción que el medio 2 ( $n_1 > n_2$ ), es decir, el medio 1 es ópticamente más denso que el medio 2.

ii) Afirmación: Se puede producir el fenómeno de reflexión total

La reflexión total interna se produce cuando un rayo de luz pasa de un medio ópticamente más denso (mayor $n$ ) a uno menos denso (menor $n$ ), y el ángulo de incidencia supera el ángulo límite o crítico $\theta_c$ .En nuestro caso, el rayo va del medio 1 (mayor $n_1$ ) al medio 2 (menor $n_2$ ). Esta es precisamente la condición necesaria para que pueda producirse la reflexión total. El ángulo límite se obtiene aplicando la Ley de Snell con $\theta_2 = 90^\circ$ :

n_1 \sin\theta_c = n_2 \sin 90^\circ = n_2

\sin\theta_c = \dfrac{n_2}{n_1}

Como $n_2 < n_1$ , se tiene $\sin\theta_c < 1$ , por lo que existe un ángulo crítico real $\theta_c$ entre $0^\circ$ y $90^\circ$ . Para cualquier ángulo de incidencia $\theta_1 > \theta_c$ , el rayo no se refracta y se refleja completamente en la interfaz.

La afirmación de que se puede producir reflexión total es CORRECTA, siempre que el ángulo de incidencia desde el medio 1 hacia el medio 2 sea mayor o igual que el ángulo crítico $\theta_c$ .

T4: Óptica

Lentes delgadas

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

C-b1

Con una lente divergente se obtiene una imagen de altura igual a un tercio de la altura del objeto. La imagen se forma a $20 \text{ cm}$ de la lente.

i) Indique el criterio de signos utilizado y halle la posición del objeto.ii) Calcule la distancia focal de la lente.iii) Realice el trazado de rayos y explique su construcción.

Lentes divergentesAumento lateralTrazado de rayos

Una lente divergente siempre forma imágenes virtuales, derechas y más pequeñas que el objeto cuando el objeto es real. La imagen se forma en el mismo lado que el objeto (lado de incidencia de la luz).

Criterio de signos (convenio europeo o de la óptica moderna)

Se adopta el siguiente criterio de signos:

Las distancias se miden desde la lente como origen.La luz viaja de izquierda a derecha. Las distancias en el sentido de la luz (hacia la derecha) son positivas; en sentido contrario (hacia la izquierda), negativas.Objeto real: se sitúa a la izquierda de la lente, por lo que

s_o < 0

(distancia objeto negativa).Imagen virtual (mismo lado que el objeto, lado izquierdo):

s_i < 0

.Lente divergente: distancia focal

f < 0

.

Apartado i) Posición del objeto

Datos del problema: la imagen tiene altura igual a un tercio de la altura del objeto, y la imagen se forma a 20 cm de la lente. Dado que la lente es divergente, la imagen es virtual y se forma en el mismo lado que el objeto, por tanto $s_i = -20 \text{ cm}$ .La ampliación transversal $m$ se define como:

m = \frac{y'}{y} = \frac{s_i}{s_o}

Como la imagen es derecha (una lente divergente con objeto real siempre da imagen derecha) y su altura es un tercio de la del objeto:

m = +\frac{1}{3}

Despejando la posición del objeto:

\frac{s_i}{s_o} = \frac{1}{3} \implies s_o = 3 \cdot s_i = 3 \cdot (-20) = -60 \text{ cm}

El objeto se encuentra a 60 cm a la izquierda de la lente ( $s_o = -60 \text{ cm}$ ).

Apartado ii) Distancia focal de la lente

Aplicamos la ecuación de conjugación de lentes (ecuación del fabricante de lentes o ecuación de Gauss):

\frac{1}{f} = \frac{1}{s_i} - \frac{1}{s_o}

Sustituyendo $s_i = -20 \text{ cm}$ y $s_o = -60 \text{ cm}$ :

\frac{1}{f} = \frac{1}{-20} - \frac{1}{-60} = -\frac{1}{20} + \frac{1}{60} = \frac{-3 + 1}{60} = -\frac{2}{60} = -\frac{1}{30}

f = -30 \text{ cm}

La distancia focal de la lente divergente es $f = -30 \text{ cm}$ . El signo negativo es coherente con el carácter divergente de la lente.La potencia de la lente es:

P = \frac{1}{f(\text{m})} = \frac{1}{-0{,}30} \approx -3{,}33 \text{ dioptrías}

Apartado iii) Trazado de rayos

Construcción del trazado de rayos para una lente divergente:

Rayo 1: Sale del extremo superior del objeto paralelo al eje óptico. Al atravesar la lente divergente, se refracta como si procediera del foco imagen virtual

F'

(situado en el lado del objeto, a 30 cm a la izquierda de la lente). El rayo emergente se aleja del eje, y su prolongación hacia atrás pasa por

F'

.Rayo 2: Sale del extremo superior del objeto dirigido hacia el foco objeto

F

(situado en el lado derecho de la lente, a 30 cm). Al alcanzar la lente, emerge paralelo al eje óptico (porque se dirige hacia el foco que está al otro lado de la lente divergente).Rayo 3 (comprobación): Pasa por el centro óptico de la lente sin desviarse.

Los rayos refractados divergen y no se cortan en el lado derecho. Sin embargo, sus prolongaciones hacia atrás (líneas discontinuas) se cortan en el lado izquierdo, a 20 cm de la lente, formando una imagen virtual, derecha y reducida (un tercio del tamaño del objeto).

T4: Óptica

Lentes delgadas

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

C-b1

b1) Un objeto de

3 \text{ cm}

de altura se sitúa

25 \text{ cm}

delante de una lente delgada convergente. Si la distancia focal es

20 \text{ cm}

, calcule: i) la posición de la imagen, indicando el criterio de signos utilizado y justificando si la misma es real o virtual. ii) la altura de la imagen y la potencia de la lente.

Lentes convergentesEcuación de GaussPotencia de una lente

Óptica geométrica: Lente delgada convergente

Datos del problema: altura del objeto $y = 3 \text{ cm}$ , distancia del objeto a la lente $s_o = 25 \text{ cm}$ , distancia focal $f = 20 \text{ cm}$ .Criterio de signos utilizado (convenio de signos cartesiano): Las distancias se miden desde el centro óptico de la lente. Las distancias en el mismo sentido que la luz incidente (hacia la derecha) son positivas. Por tanto, el objeto está a la izquierda de la lente y su distancia es positiva: $s_o = +25 \text{ cm}$ . La distancia focal de una lente convergente es positiva: $f = +20 \text{ cm}$ .

i) Posición de la imagen

Se aplica la ecuación de conjugación de la lente delgada (ecuación del fabricante de lentes):

\frac{1}{s_i} = \frac{1}{f} - \frac{1}{s_o}

Sustituyendo los valores:

\frac{1}{s_i} = \frac{1}{20} - \frac{1}{25} = \frac{5}{100} - \frac{4}{100} = \frac{1}{100}

s_i = 100 \text{ cm}

La imagen se forma a $100 \text{ cm}$ al otro lado de la lente (signo positivo, a la derecha de la lente, en el mismo sentido de propagación de la luz).La imagen es REAL porque $s_i > 0$ , es decir, se forma en el lado opuesto al objeto (el rayo de luz realmente converge en ese punto). Además, al ser $s_o > f$ , el objeto está más allá del foco, condición necesaria para que una lente convergente forme imagen real.

ii) Altura de la imagen y potencia de la lente

La altura de la imagen se obtiene a través del aumento lateral $m$ :

m = -\frac{s_i}{s_o} = -\frac{100}{25} = -4

La altura de la imagen es:

y' = m \cdot y = -4 \times 3 \text{ cm} = -12 \text{ cm}

El signo negativo indica que la imagen está invertida respecto al objeto. La imagen tiene una altura de $12 \text{ cm}$ en valor absoluto, y es 4 veces mayor que el objeto.La potencia de la lente se define como la inversa de la distancia focal expresada en metros:

P = \frac{1}{f(\text{m})} = \frac{1}{0{,}20 \text{ m}} = 5 \text{ D (dioptrías)}

Resultados resumen: la imagen se forma a $s_i = 100 \text{ cm}$ al otro lado de la lente, es real e invertida; la altura de la imagen es $|y'| = 12 \text{ cm}$ ; y la potencia de la lente es $P = 5 \text{ D}$ .

T4: Óptica

Espejos esféricos

Teoría

2025 · Extraordinaria · Titular

C-a

Razone, apoyándose en el esquema del trazado de rayos y explicando su construcción, si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: “un espejo esférico convexo puede producir una imagen virtual con un aumento lateral mayor que la unidad”.

Espejos convexosTrazado de rayosImagen virtual+1

Análisis de la formación de imagen en un espejo esférico convexo

La afirmación propuesta es falsa. En un espejo esférico convexo, la superficie reflectante está curvada hacia afuera, lo que sitúa el foco $F$ y el centro de curvatura $C$ por detrás del espejo. Para cualquier posición de un objeto real frente al espejo, la imagen resultante es siempre virtual, derecha y de menor tamaño que el objeto, lo que implica que el aumento lateral es siempre menor que la unidad.

Para construir la imagen en un espejo convexo se utilizan los rayos notables:

1) Rayo paralelo: Un rayo que parte de la parte superior del objeto paralelo al eje óptico se refleja alejándose del eje, de tal forma que su prolongación pasa por el foco virtual

F

.2) Rayo radial: Un rayo que se dirige hacia el centro de curvatura

C

incide perpendicularmente a la superficie y se refleja sobre sí mismo; su prolongación pasa por

C

.

La intersección de las prolongaciones de estos rayos divergentes ocurre siempre entre el espejo y el foco. Dado que la imagen se forma por la intersección de prolongaciones, es virtual, se encuentra derecha (por encima del eje) y su altura es visiblemente menor que la del objeto.Analíticamente, utilizamos la ecuación del espejo y la definición de aumento lateral según el convenio de signos de la norma DIN:

\frac{1}{s'} + \frac{1}{s} = \frac{1}{f}

m = \frac{y'}{y} = -\frac{s'}{s}

En un espejo convexo, la distancia focal es positiva ( $f > 0$ ) y la posición del objeto es negativa ( $s < 0$ ). Despejando la posición de la imagen $s'$ :

s' = \frac{f \cdot s}{s - f}

Como $s$ es negativo y $f$ es positivo, el denominador $(s - f)$ es siempre negativo. El numerador $(f \cdot s)$ también es negativo. Por lo tanto, $s'$ es siempre positivo ( $s' > 0$ ), lo que confirma que la imagen es virtual. Al calcular el módulo del aumento lateral:

|m| = \left| -\frac{s'}{s} \right| = \left| \frac{f}{s - f} \right| = \frac{f}{|s| + f}

Dado que el denominador $|s| + f$ es siempre mayor que el numerador $f$ , se cumple que $|m| < 1$ . Por lo tanto, es imposible que un espejo convexo produzca una imagen con aumento lateral mayor que la unidad.

T4: Óptica

Fenómenos de la luz

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

C-b1

Un haz de luz monocromática se propaga desde el aire al agua cambiando su longitud de onda de $700 \text{ a } 525 \text{ nm}$ . Calcule razonadamente:

i) la frecuencia del haz de luz.ii) el índice de refracción del agua.iii) su velocidad de propagación en el segundo medio.

Datos: $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}$ ; $n_{aire} = 1$

RefracciónÍndice de refracciónLuz monocromática

Cuando la luz pasa de un medio a otro, la frecuencia se conserva, mientras que la longitud de onda y la velocidad cambian. En el aire, la luz viaja con $\lambda_1 = 700 \text{ nm}$ y en el agua con $\lambda_2 = 525 \text{ nm}$ .

i) Frecuencia del haz de luz

La frecuencia se calcula a partir de los datos en el aire (primer medio), donde $n_{aire} = 1$ y $v = c$ :

f = \frac{c}{\lambda_1} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{700 \cdot 10^{-9} \text{ m}}

f = 4{,}29 \cdot 10^{14} \text{ Hz}

La frecuencia es constante en ambos medios: $f = 4{,}29 \cdot 10^{14} \text{ Hz}$ .

ii) Índice de refracción del agua

El índice de refracción de un medio se define como:

n = \frac{c}{v}

Como la frecuencia se conserva, podemos relacionar los índices con las longitudes de onda. Sabemos que $v = f \cdot \lambda$ y $c = f \cdot \lambda_1$ , por lo tanto:

n_{agua} = \frac{c}{v} = \frac{f \cdot \lambda_1}{f \cdot \lambda_2} = \frac{\lambda_1}{\lambda_2}

n_{agua} = \frac{700 \text{ nm}}{525 \text{ nm}} = \frac{700}{525} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33

El índice de refracción del agua es $n_{agua} \approx 1{,}33$ .

iii) Velocidad de propagación en el agua

A partir de la definición del índice de refracción:

v = \frac{c}{n_{agua}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{1{,}33}

v = 2{,}25 \cdot 10^8 \text{ m/s}

También podemos comprobarlo directamente: $v = f \cdot \lambda_2 = 4{,}29 \cdot 10^{14} \text{ Hz} \times 525 \cdot 10^{-9} \text{ m} = 2{,}25 \cdot 10^8 \text{ m/s}$ .

T4: Óptica

Espejos

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

C-b1

b1) Se sitúa un objeto de

20 \text{ cm}

de altura a

2 \text{ m}

del vértice de un espejo esférico convexo. Si la distancia focal es

6 \text{ m}

, calcule, indicando el criterio de signos utilizado: i) la distancia a la que se forma la imagen justificando si la misma es real o virtual; ii) la altura de la imagen.

Espejos convexosFormación de imágenesÓptica geométrica

Resolución de Espejo Esférico Convexo

Para resolver este ejercicio, utilizaremos el criterio de signos DIN (ISO), en el cual el vértice del espejo se sitúa en el origen de coordenadas $(0,0)$ . La luz incide desde la izquierda (sentido positivo del eje X). Bajo este criterio:1. La distancia del objeto al espejo es $s = -2 \text{ m}$ (negativa por estar a la izquierda). 2. El espejo es convexo, por lo que su foco es virtual y se encuentra a la derecha del vértice: $f = +6 \text{ m}$ . 3. La altura del objeto es $y = 20 \text{ cm} = 0,2 \text{ m}$ .

i) Calcule la distancia a la que se forma la imagen justificando si la misma es real o virtual.

Aplicamos la ecuación fundamental de los espejos esféricos:

\frac{1}{s'} + \frac{1}{s} = \frac{1}{f}

Sustituimos los valores conocidos para despejar $s'$ :

\frac{1}{s'} + \frac{1}{-2} = \frac{1}{6} \implies \frac{1}{s'} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2}

\frac{1}{s'} = \frac{1 + 3}{6} = \frac{4}{6} \implies s' = \frac{6}{4} = 1,5 \text{ m}

Dado que el valor de $s'$ es positivo ( $s' = 1,5 \text{ m}$ ), la imagen se forma a la derecha del vértice del espejo. Esto implica que la imagen es virtual, ya que se forma por la intersección de las prolongaciones de los rayos reflejados y no por los rayos mismos.

ii) Calcule la altura de la imagen.

Para hallar la altura de la imagen ( $y'$ ), utilizamos la fórmula del aumento lateral ( $m$ ):

m = \frac{y'}{y} = -\frac{s'}{s}

Despejamos $y'$ y sustituimos los valores:

y' = y \cdot \left( -\frac{s'}{s} \right) = 0,2 \text{ m} \cdot \left( -\frac{1,5 \text{ m}}{-2 \text{ m}} \right)

y' = 0,2 \cdot 0,75 = 0,15 \text{ m} = 15 \text{ cm}

La altura de la imagen es de $15 \text{ cm}$ . Al ser un valor positivo, la imagen es derecha (misma orientación que el objeto) y de menor tamaño que el original.

T4: Óptica

Naturaleza de la luz

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

C-b2

b2) Un rayo de luz amarilla, emitido por una lámpara de sodio, tiene una longitud de onda en el vacío de

5,89 \cdot 10^{-7} \text{ m}

. Determine: i) su frecuencia; ii) su velocidad de propagación y su longitud de onda en el interior de una fibra de cuarzo; iii) el ángulo límite entre la lámina de cuarzo y el aire.

Datos: $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}; n_{\text{aire}} = 1; n_{\text{cuarzo}} = 1,458$

RefracciónLongitud de ondaÁngulo límite

Luz amarilla de sodio en cuarzo

i) Frecuencia de la luz amarilla en el vacío

La relación entre velocidad, frecuencia y longitud de onda es:

c = \lambda \cdot f \implies f = \frac{c}{\lambda}

f = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{5{,}89 \cdot 10^{-7} \text{ m}} = 5{,}09 \cdot 10^{14} \text{ Hz}

La frecuencia de la luz no cambia al pasar de un medio a otro, por lo que $f = 5{,}09 \cdot 10^{14}$ Hz en cualquier medio.

ii) Velocidad de propagación y longitud de onda en el cuarzo

El índice de refracción relaciona la velocidad en el vacío con la velocidad en el medio:

n = \frac{c}{v} \implies v = \frac{c}{n_{\text{cuarzo}}}

v = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{1{,}458} = 2{,}057 \cdot 10^8 \text{ m/s}

La longitud de onda en el cuarzo se calcula usando la frecuencia (que no varía) y la nueva velocidad:

\lambda_{\text{cuarzo}} = \frac{v}{f} = \frac{c}{n_{\text{cuarzo}} \cdot f}

\lambda_{\text{cuarzo}} = \frac{2{,}057 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{5{,}09 \cdot 10^{14} \text{ Hz}} = 4{,}04 \cdot 10^{-7} \text{ m}

Alternativamente: $\lambda_{\text{cuarzo}} = \dfrac{\lambda_0}{n_{\text{cuarzo}}} = \dfrac{5{,}89 \cdot 10^{-7}}{1{,}458} = 4{,}04 \cdot 10^{-7}$ m

iii) Ángulo límite entre cuarzo y aire

El ángulo límite (o ángulo crítico) se produce cuando el rayo viaja del medio más denso (cuarzo) al menos denso (aire) y el ángulo de refracción es $90^\circ$ . Aplicando la Ley de Snell:

n_{\text{cuarzo}} \cdot \sin\theta_L = n_{\text{aire}} \cdot \sin 90^\circ = 1

\sin\theta_L = \frac{n_{\text{aire}}}{n_{\text{cuarzo}}} = \frac{1}{1{,}458} = 0{,}6860

\theta_L = \arcsin(0{,}6860) = 43{,}3^\circ

Para ángulos de incidencia mayores que $43{,}3^\circ$ , se produce reflexión total interna, principio en el que se basa el funcionamiento de las fibras ópticas.

T4: Óptica

Óptica geométrica

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

C-b1

Un objeto de $4 \text{ cm}$ de altura que está situado a $75 \text{ cm}$ del vértice de un espejo esférico cóncavo produce una imagen invertida a $37,5 \text{ cm}$ del espejo.

i) Indique el criterio de signos utilizado y halle el radio del espejo.ii) Calcule la altura de la imagen.iii) Realice el trazado de rayos y justifique su construcción.

Espejos cóncavosTrazado de rayosAumento lateral

Espejo esférico cóncavo

Datos del problema: altura del objeto $y = 4 \text{ cm}$ , distancia objeto $u = 75 \text{ cm}$ , distancia imagen $v = 37{,}5 \text{ cm}$ (imagen invertida y real).

i) Criterio de signos y radio del espejo

Criterio de signos utilizado (cartesiano con origen en el vértice del espejo): las distancias se miden desde el vértice del espejo. Las distancias de objetos e imágenes reales (situados delante del espejo, en el mismo lado que el objeto) son positivas. Las distancias de imágenes virtuales (detrás del espejo) son negativas. Con este criterio: $u = +75 \text{ cm}$ , $v = +37{,}5 \text{ cm}$ (imagen real, delante del espejo).La ecuación de los espejos esféricos (fórmula del espejo) es:

\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}

Sustituyendo los valores:

\frac{1}{f} = \frac{1}{75} + \frac{1}{37{,}5} = \frac{1}{75} + \frac{2}{75} = \frac{3}{75} = \frac{1}{25}

f = 25 \text{ cm}

La relación entre la distancia focal y el radio de curvatura es $f = R/2$ , por tanto:

R = 2f = 2 \times 25 = 50 \text{ cm}

El radio del espejo cóncavo es $R = 50 \text{ cm}$ .

ii) Altura de la imagen

El aumento lateral (o magnificación transversal) se define como:

m = \frac{y'}{y} = -\frac{v}{u}

Sustituyendo los valores:

m = -\frac{37{,}5}{75} = -0{,}5

El signo negativo confirma que la imagen está invertida respecto al objeto, en concordancia con el enunciado. La altura de la imagen es:

y' = m \cdot y = -0{,}5 \times 4 = -2 \text{ cm}

La imagen tiene una altura de $2 \text{ cm}$ (el signo negativo indica que está invertida).

iii) Trazado de rayos

Justificación de la construcción: el objeto se encuentra más allá del centro de curvatura C ( $u = 75 \text{ cm} > R = 50 \text{ cm}$ ). Se trazan los dos rayos principales siguientes:

Rayo 1: El rayo que llega paralelo al eje óptico se refleja pasando por el foco principal F (a 25 cm del vértice).Rayo 2: El rayo que pasa por el foco F incide en el espejo y se refleja paralelo al eje óptico.

La intersección de los rayos reflejados determina la posición de la imagen. Como el objeto está más allá de C, la imagen es real (se forma delante del espejo, donde se cruzan los rayos reflejados), invertida y más pequeña que el objeto, a $37{,}5 \text{ cm}$ del vértice (entre F y C). Esto es coherente con el aumento $|m| = 0{,}5 < 1$ .

T4: Óptica

Refracción

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

C-b2

Una lámina de vidrio de caras planas y paralelas suspendida en el aire tiene un espesor de $8 \text{ cm}$ . Un rayo de luz monocromática incide en la cara superior de la lámina con un ángulo de $45^{\circ}$ respecto a la normal.

i) Realice un esquema de la trayectoria que sigue el rayo refractado en los diferentes medios.ii) Calcule el valor del ángulo de refracción en el interior de la lámina y el del ángulo con el que emerge el rayo tras atravesar la lámina.iii) Determine el tiempo que tarda el rayo en atravesar la lámina.

Datos: $n_{aire} = 1$ ; $n_{vidrio} = 1,6$ ; $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}$ (implícito)

Ley de SnellLámina de caras paralelasÍndice de refracción

Lámina de vidrio de caras planas y paralelas

i) Esquema de la trayectoria del rayo refractado

El rayo incide en la cara superior con $\theta_1 = 45^\circ$ , se refracta en el interior de la lámina con un ángulo $\theta_2$ menor, recorre el espesor de la lámina y emerge por la cara inferior con el mismo ángulo $45^\circ$ de la incidencia (ya que las caras son paralelas). El rayo emergente es paralelo al incidente pero desplazado lateralmente.

ii) Cálculo del ángulo de refracción en el interior y del ángulo de emergencia

Aplicamos la Ley de Snell en la cara superior (aire → vidrio):

n_{aire} \cdot \sin\theta_1 = n_{vidrio} \cdot \sin\theta_2

1 \cdot \sin 45^\circ = 1{,}6 \cdot \sin\theta_2

\sin\theta_2 = \frac{\sin 45^\circ}{1{,}6} = \frac{0{,}7071}{1{,}6} = 0{,}4419

\theta_2 = \arcsin(0{,}4419) \approx 26{,}2^\circ

El ángulo de refracción en el interior de la lámina es $\theta_2 \approx 26{,}2^\circ$ .Aplicamos la Ley de Snell en la cara inferior (vidrio → aire). Como las caras son paralelas, el rayo incide en la cara inferior con el mismo ángulo $\theta_2 = 26{,}2^\circ$ respecto a la normal:

n_{vidrio} \cdot \sin\theta_2 = n_{aire} \cdot \sin\theta_3

1{,}6 \cdot \sin 26{,}2^\circ = 1 \cdot \sin\theta_3

\sin\theta_3 = 1{,}6 \cdot 0{,}4419 = 0{,}7071 \implies \theta_3 = 45^\circ

El rayo emerge con un ángulo de $45^\circ$ respecto a la normal, igual al ángulo de incidencia original. El rayo emergente es paralelo al rayo incidente.

iii) Tiempo que tarda el rayo en atravesar la lámina

La velocidad de la luz en el interior del vidrio viene dada por el índice de refracción:

v_{vidrio} = \frac{c}{n_{vidrio}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{1{,}6} = 1{,}875 \cdot 10^8 \text{ m/s}

El rayo no recorre verticalmente el espesor $e = 8 \text{ cm} = 0{,}08 \text{ m}$ , sino que viaja en diagonal con ángulo $\theta_2 = 26{,}2^\circ$ respecto a la normal. La distancia real recorrida dentro de la lámina es:

d = \frac{e}{\cos\theta_2} = \frac{0{,}08 \text{ m}}{\cos 26{,}2^\circ} = \frac{0{,}08}{0{,}8975} \approx 8{,}91 \cdot 10^{-2} \text{ m}

El tiempo que tarda en atravesar la lámina es:

t = \frac{d}{v_{vidrio}} = \frac{8{,}91 \cdot 10^{-2} \text{ m}}{1{,}875 \cdot 10^8 \text{ m/s}} \approx 4{,}75 \cdot 10^{-10} \text{ s}

El rayo tarda aproximadamente $t \approx 4{,}75 \cdot 10^{-10} \text{ s}$ (unos $0{,}475 \text{ ns}$ ) en atravesar la lámina de vidrio.

T4: Óptica

Lentes delgadas

Teoría

2025 · Ordinaria · Titular

C-a

Se desea obtener una imagen virtual y de mayor tamaño que el objeto utilizando una lente delgada. Justifique, apoyándose en el esquema del trazado de rayos y explicando su construcción, qué tipo de lente debe usarse e indique dónde debe colocarse el objeto.

Imagen virtualLupaLentes convergentes+1

Imagen virtual y mayor que el objeto con lente delgada

Para obtener una imagen virtual y de mayor tamaño que el objeto, debemos analizar las posibilidades que ofrecen los dos tipos de lentes delgadas.

Tipo de lente necesaria

La lente que debe usarse es una lente CONVERGENTE (convexo-convexa o biconvexa). La razón es la siguiente:

Lente divergente: siempre produce imágenes virtuales, derechas y MENORES que el objeto, independientemente de la posición del objeto. Por tanto, no cumple la condición de imagen mayor.Lente convergente: puede producir imágenes virtuales y mayores que el objeto, pero solo cuando el objeto se sitúa entre el foco objeto F y la lente (es decir, a una distancia al objeto

s < f

). En ese caso actúa como lupa.

Posición del objeto

El objeto debe colocarse entre el foco objeto $F$ y la lente convergente, es decir, a una distancia $s$ tal que $0 < s < f$ , donde $f$ es la distancia focal de la lente.

Esquema del trazado de rayos

Construcción del diagrama de rayos

El trazado se construye con los siguientes rayos principales desde el extremo superior del objeto (situado entre F y la lente):

Rayo 1: Sale del objeto paralelo al eje óptico. Al refractarse en la lente convergente, pasa por el foco imagen

F'

(al otro lado de la lente).Rayo 2: Sale del objeto dirigido hacia el centro óptico O de la lente. Pasa sin desviarse a través del centro.Rayo 3 (opcional): Sale del objeto como si viniera del foco objeto

F

(con la dirección de

F

al extremo del objeto prolongada), y emerge paralelo al eje óptico tras refractarse.

Los rayos refractados divergen (no se cortan en el lado de la imagen real). Prolongando estos rayos hacia atrás (hacia el lado del objeto), sus prolongaciones se cortan en un punto situado en el mismo lado que el objeto. Ese punto de corte de las prolongaciones es la imagen.

Características de la imagen obtenida

Virtual: se forma en el mismo lado que el objeto (no puede proyectarse en una pantalla).Derecha: tiene la misma orientación que el objeto.Mayor que el objeto: el tamaño de la imagen es superior al del objeto (

|m| > 1

, donde

m

es el aumento lateral).

Verificación con la ecuación de conjugación

Usando la ecuación de lentes con la convención de signos (distancias positivas a la derecha del centro óptico):

\frac{1}{f} = \frac{1}{s'} - \frac{1}{s}

Con $0 < s < f$ (objeto entre foco y lente, $s$ positivo en la convención usual de objeto real), se obtiene $s' < 0$ , lo que confirma que la imagen es virtual (se forma en el mismo lado que el objeto). El aumento lateral:

m = \frac{s'}{s}

resulta positivo (imagen derecha) y $|m| > 1$ (imagen mayor), cumpliendo todas las condiciones requeridas.

Conclusión

Se debe utilizar una lente convergente y colocar el objeto entre el foco $F$ y la lente ( $s < f$ ). La imagen resultante será virtual, derecha y mayor que el objeto, funcionando el sistema como una lupa.

T4: Óptica

Refracción

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

C-b2

Un recipiente contiene agua sobre la que se ha colocado una capa de aceite. Desde el aire se hace incidir sobre la capa de aceite un haz de luz monocromático que forma un ángulo de 50º con la normal. i) Realice un esquema de la trayectoria que sigue el rayo cuando se refracta en los diferentes medios (aire, aceite y agua). ii) Calcule los valores de los ángulos que forman con la normal el rayo refractado en el aceite y en el agua. iii) Calcule la velocidad de la luz en el agua. Datos: $c = 3 \cdot 10^{8} \text{ m s}^{-1}$ ; $n_{agua} = 1,33$ ; $n_{aceite} = 1,47$ ; $n_{aire} = 1$

Ley de SnellÍndice de refracciónVelocidad de la luz

i) El fenómeno de refracción se rige por la ley de Snell. Cuando un rayo de luz pasa de un medio a otro con diferente índice de refracción, cambia su dirección de propagación. A continuación, se presenta el esquema de la trayectoria del haz de luz a través de las interfaces aire-aceite y aceite-agua.

ii) Para calcular los ángulos de refracción, aplicamos la ley de Snell de forma sucesiva. Primero, calculamos el ángulo de refracción en el aceite (medio 2) desde el aire (medio 1):

n_{aire} \cdot \sin(\theta_{aire}) = n_{aceite} \cdot \sin(\theta_{aceite})

1 \cdot \sin(50^{\circ}) = 1,47 \cdot \sin(\theta_{aceite})

\sin(\theta_{aceite}) = \frac{\sin(50^{\circ})}{1,47} = \frac{0,766}{1,47} \approx 0,5211

\theta_{aceite} = \arcsin(0,5211) \approx 31,41^{\circ}

Como las superficies son paralelas, el ángulo de incidencia en la interfaz aceite-agua es igual al ángulo de refracción obtenido anteriormente. Aplicamos de nuevo la ley de Snell para la interfaz entre aceite (medio 2) y agua (medio 3):

n_{aceite} \cdot \sin(\theta_{aceite}) = n_{agua} \cdot \sin(\theta_{agua})

1,47 \cdot \sin(31,41^{\circ}) = 1,33 \cdot \sin(\theta_{agua})

\sin(\theta_{agua}) = \frac{1,47 \cdot 0,5211}{1,33} = \frac{0,766}{1,33} \approx 0,5759

\theta_{agua} = \arcsin(0,5759) \approx 35,16^{\circ}

iii) La velocidad de la luz en un medio se determina a partir de la definición del índice de refracción, que es el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío y la velocidad en dicho medio:

n_{agua} = \frac{c}{v_{agua}} \implies v_{agua} = \frac{c}{n_{agua}}

v_{agua} = \frac{3 \cdot 10^{8} \text{ m s}^{-1}}{1,33}

v_{agua} \approx 2,26 \cdot 10^{8} \text{ m s}^{-1}

Los ángulos refractados son 31,41º en el aceite y 35,16º en el agua, y la velocidad de la luz en el agua es 2,26 \cdot 10^{8} \text{ m s}^{-1}.

T4: Óptica

Refracción

Teoría

2024 · Extraordinaria · Reserva

C1-a

a) Un rayo viaja por un medio de índice de refracción

n_1

e incide sobre la superficie de un segundo medio de índice de refracción

n_2

. Si se cumple que

n_1 = 3 n_2

, determine razonadamente: i) la relación entre las velocidades del rayo en ambos medios; ii) el valor mínimo del ángulo de incidencia para que no se produzca refracción.

Ley de SnellÍndice de refracciónÁngulo límite

a) i) Relación entre las velocidades del rayo en ambos medios. El índice de refracción de un medio se define como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío (

c

) y la velocidad de la luz en dicho medio (

v

):

n = \frac{c}{v}

A partir de la condición establecida en el enunciado, $n_1 = 3 n_2$ , podemos expresar la igualdad en función de las velocidades de fase en cada medio:

\frac{c}{v_1} = 3 \cdot \left( \frac{c}{v_2} \right)

Al simplificar la constante $c$ en ambos miembros de la ecuación, obtenemos la relación directa entre las velocidades:

\frac{1}{v_1} = \frac{3}{v_2} \implies v_2 = 3 v_1

Esto indica que la velocidad de propagación en el segundo medio es tres veces superior a la velocidad en el primer medio.

a) ii) Valor mínimo del ángulo de incidencia para que no se produzca refracción. Cuando la luz pasa de un medio con mayor índice de refracción a uno con menor índice (

n_1 > n_2

), existe un ángulo de incidencia denominado ángulo límite o crítico (

\theta_L

) para el cual el ángulo de refracción es

\theta_r = 90^\circ

. A partir de este ángulo, se produce el fenómeno de reflexión total interna.

Aplicamos la ley de Snell para la refracción:

n_1 \sin(\theta_i) = n_2 \sin(\theta_r)

Para hallar el valor mínimo (ángulo límite), sustituimos $\theta_i = \theta_L$ y $\theta_r = 90^\circ$ :

n_1 \sin(\theta_L) = n_2 \sin(90^\circ)

Sabiendo que $\sin(90^\circ) = 1$ y utilizando la relación $n_1 = 3 n_2$ dada en el problema:

3 n_2 \sin(\theta_L) = n_2

Despejamos el seno del ángulo límite:

\sin(\theta_L) = \frac{n_2}{3 n_2} = \frac{1}{3}

Finalmente, calculamos el valor angular:

\theta_L = \arcsin\left( \frac{1}{3} \right) \approx 19,47^\circ

T4: Óptica

Refracción

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

C1-b

b) Un haz de luz monocromática de longitud de onda

8,3 \cdot 10^{-7} \text{ m}

se propaga por el aire e incide sobre la superficie de separación con otro medio, formando un ángulo de

30^\circ

respecto a la normal. Si al refractarse al segundo medio su longitud de onda pasa a ser

4,8 \cdot 10^{-7} \text{ m}

, calcule razonadamente: i) la frecuencia del haz en el segundo medio; ii) el índice de refracción del segundo medio; iii) el ángulo de refracción.

Datos: $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$ ; $n_{\text{aire}} = 1$

Longitud de ondaSnellFrecuencia

i) La frecuencia de una onda electromagnética depende únicamente de la fuente emisora y permanece constante cuando la luz pasa de un medio a otro (

f_1 = f_2

). Por tanto, calculamos la frecuencia en el segundo medio utilizando los datos del aire (primer medio):

f = \frac{c}{\lambda_1}

f = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}}{8,3 \cdot 10^{-7} \text{ m}} = 3,61 \cdot 10^{14} \text{ Hz}

ii) El índice de refracción (

n

) de un medio se define como la relación entre la velocidad de la luz en el vacío (

c

) y su velocidad en dicho medio (

v

). Dado que

v = \lambda \cdot f

y la frecuencia es constante, se cumple la relación

n_1 \cdot \lambda_1 = n_2 \cdot \lambda_2

. Despejamos el índice del segundo medio:

n_2 = n_1 \cdot \frac{\lambda_1}{\lambda_2}

n_2 = 1 \cdot \frac{8,3 \cdot 10^{-7} \text{ m}}{4,8 \cdot 10^{-7} \text{ m}} = 1,73

iii) Para determinar el ángulo de refracción (

\theta_2

), empleamos la ley de Snell de la refracción:

n_1 \cdot \sin \theta_1 = n_2 \cdot \sin \theta_2

\sin \theta_2 = \frac{n_1 \cdot \sin \theta_1}{n_2}

\theta_2 = \arcsin \left( \frac{1 \cdot \sin 30^\circ}{1,73} \right) = \arcsin(0,289) = 16,8^\circ

T4: Óptica

Lentes delgadas

Teoría

2024 · Extraordinaria · Suplente

C1-a

a) Se desea obtener una imagen virtual, derecha y de menor tamaño utilizando una lente delgada. Justifique el tipo de lente que se debe usar y, si es necesario, indicar dónde se debe colocar el objeto. Realice razonadamente el trazado de rayos correspondiente.

lente divergenteimagen virtualtrazado de rayos

a) Para obtener una imagen virtual, derecha y de menor tamaño utilizando una lente delgada, el tipo de lente que se debe emplear es una lente divergente.

En las lentes divergentes, la distancia focal imagen es negativa ( $f' < 0$ ). De acuerdo con la ecuación de las lentes delgadas o ecuación de Gauss, la relación entre las distancias del objeto ( $s$ ) y de la imagen ( $s'$ ) al centro óptico viene dada por:

\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'}

Para un objeto real situado a la izquierda de la lente ( $s < 0$ ), y dado que $f' < 0$ , el valor de $s'$ resultará siempre negativo y cumplirá que $|s'| < |s|$ . Esto significa que la imagen siempre será virtual (se forma por la intersección de las prolongaciones de los rayos) y estará situada entre la lente y el objeto. Para analizar el tamaño y la orientación, utilizamos la expresión del aumento lateral ( $A$ ):

A = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s}

Dado que tanto $s'$ como $s$ son negativos, el cociente es positivo ( $A > 0$ ), lo que indica que la imagen es derecha. Además, al ser $|s'| < |s|$ , el valor absoluto del aumento es menor que la unidad ( $|A| < 1$ ), lo que garantiza que la imagen sea de menor tamaño. A diferencia de las lentes convergentes, estas propiedades se mantienen independientemente de la distancia a la que se coloque el objeto.

El trazado de rayos para justificar la formación de la imagen se basa en dos rayos principales: 1. Un rayo incidente paralelo al eje óptico, que tras refractarse en la lente, diverge de tal forma que su prolongación pasa por el foco imagen $F'$ . 2. Un rayo que atraviesa el centro óptico de la lente y no experimenta ninguna desviación. El punto de intersección entre el rayo central y la prolongación del rayo divergente define la posición y altura de la imagen virtual.

T4: Óptica

Lentes delgadas

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

C1-b

b) Usando una lente delgada convergente de

4 \text{ dioptrías}

de potencia obtenemos una imagen que es real e invertida. El tamaño de la imagen obtenida es el doble que el del objeto. i) Determine a qué distancia de la lente debe colocarse el objeto. ii) Determine la posición de la imagen. iii) Construya gráficamente la imagen formada. Indique el criterio de signos utilizado.

lente convergentepotencia de la lenteformación de imágenes

Para la resolución de este ejercicio utilizaremos el criterio de signos DIN, donde el origen de coordenadas se sitúa en el centro óptico de la lente. Las distancias hacia la derecha son positivas, hacia la izquierda negativas, hacia arriba positivas y hacia abajo negativas. La luz se propaga de izquierda a derecha.

b) i) Determine a qué distancia de la lente debe colocarse el objeto. ii) Determine la posición de la imagen.

Primero, calculamos la distancia focal imagen $f'$ a partir de la potencia $P$ de la lente:

P = \frac{1}{f'} \implies f' = \frac{1}{4 \text{ m}^{-1}} = 0.25 \text{ m} = 25 \text{ cm}

El aumento lateral $m$ viene dado por la relación entre el tamaño de la imagen $y'$ y el objeto $y$ , o sus distancias $s'$ y $s$ . Dado que la imagen es real e invertida y de doble tamaño, tenemos que $m = -2$ :

m = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s} = -2 \implies s' = -2s

Sustituimos esta relación en la ecuación de las lentes delgadas:

\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'} \implies \frac{1}{-2s} - \frac{1}{s} = \frac{1}{25 \text{ cm}}

\frac{-1 - 2}{2s} = \frac{1}{25} \implies -\frac{3}{2s} = \frac{1}{25} \implies 2s = -75 \implies s = -37.5 \text{ cm}

El objeto debe colocarse a $37.5 \text{ cm}$ a la izquierda de la lente. Ahora calculamos la posición de la imagen $s'$ :

s' = -2s = -2(-37.5 \text{ cm}) = 75 \text{ cm}

La imagen se forma a $75 \text{ cm}$ a la derecha de la lente.

b) iii) Construya gráficamente la imagen formada. Indique el criterio de signos utilizado.

Como el objeto se encuentra entre el foco objeto ( $f = -25 \text{ cm}$ ) y el doble de la distancia focal ( $2f = -50 \text{ cm}$ ), la imagen resultante es real, invertida y de mayor tamaño que el objeto, situándose más allá de $2f'$ .

T4: Óptica

Refracción

Teoría

2024 · Extraordinaria · Suplente

C2-a

a) Explique, con ayuda de un esquema, en qué consiste el fenómeno de reflexión total, indicando las condiciones que deben darse para que dicho fenómeno se produzca.

reflexión totalángulo límiteíndice de refracción

a) El fenómeno de la reflexión total es un proceso óptico que ocurre cuando un rayo de luz que se propaga por un medio con índice de refracción

n_1

incide sobre la superficie de separación con un medio de menor índice de refracción

n_2

, y es reflejado íntegramente hacia el primer medio sin que exista rayo refractado.

Para que este fenómeno se produzca, deben cumplirse simultáneamente dos condiciones:

1. El índice de refracción del medio inicial debe ser mayor que el del segundo medio (

n_1 > n_2

). Esto asegura que el rayo se aleje de la normal al refractarse.2. El ángulo de incidencia

\theta_i

debe ser mayor que el ángulo crítico o límite (

\theta_c

).

El fundamento físico se explica mediante la ley de Snell para la refracción:

n_1 \sin \theta_i = n_2 \sin \theta_r

A medida que el ángulo de incidencia $\theta_i$ aumenta, el ángulo de refracción $\theta_r$ también lo hace hasta alcanzar el valor máximo de $90^\circ$ , momento en el cual el rayo sale rasante a la superficie. El ángulo de incidencia para el cual ocurre esto se denomina ángulo crítico ( $\theta_c$ ):

n_1 \sin \theta_c = n_2 \sin 90^\circ

Dado que $\sin 90^\circ = 1$ , la expresión para el ángulo crítico es:

\theta_c = \arcsin \left( \frac{n_2}{n_1} \right)

Si el ángulo de incidencia es superior a este valor ( $\theta_i > \theta_c$ ), no existe un ángulo de refracción real que satisfaga la ecuación, por lo que toda la luz se refleja en la interfase siguiendo la ley de la reflexión, donde el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

T4: Óptica

Dispersión y refracción

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

C2-b

b) Un haz de luz blanca incide, desde el aire, sobre la superficie de un vidrio con un ángulo de

30^{\circ}

con respecto a la normal. Sabiendo que las longitudes de onda en el aire de las componentes azul y roja son, respectivamente,

4,86 \cdot 10^{-7} \text{ m}

y

6,56 \cdot 10^{-7} \text{ m}

: i) realice un esquema y calcule el ángulo que forman entre sí los rayos refractados; ii) determine la frecuencia y la longitud de onda en el vidrio de la componente roja.

Datos: $n_{\text{aire}} = 1; c = 3 \cdot 10^{8} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}; n_{\text{azul}} = 1,7; n_{\text{roja}} = 1,6$

ley de Snelllongitud de ondafrecuencia+1

i) realice un esquema y calcule el ángulo que forman entre sí los rayos refractados;

Para obtener los ángulos de refracción, aplicamos la ley de Snell. Al incidir luz blanca, cada componente cromática se refracta con un ángulo diferente debido a que el índice de refracción del vidrio depende de la longitud de onda (fenómeno de dispersión). La ley de Snell se expresa como:

n_1 \cdot \sin \theta_1 = n_2 \cdot \sin \theta_2

Considerando que el haz proviene del aire ( $n_1 = 1$ ) con un ángulo de incidencia $\theta_i = 30^\circ$ , calculamos primero el ángulo de refracción para la componente roja ( $n_{\text{roja}} = 1,6$ ):

1 \cdot \sin 30^\circ = 1,6 \cdot \sin \theta_{r, \text{roja}} \implies \sin \theta_{r, \text{roja}} = \frac{0,5}{1,6} = 0,3125

\theta_{r, \text{roja}} = \arcsin(0,3125) \approx 18,21^\circ

Realizamos el mismo cálculo para la componente azul ( $n_{\text{azul}} = 1,7$ ):

1 \cdot \sin 30^\circ = 1,7 \cdot \sin \theta_{r, \text{azul}} \implies \sin \theta_{r, \text{azul}} = \frac{0,5}{1,7} \approx 0,2941

\theta_{r, \text{azul}} = \arcsin(0,2941) \approx 17,10^\circ

El ángulo formado entre ambos rayos refractados es la diferencia entre sus ángulos de refracción:

\Delta \theta = \theta_{r, \text{roja}} - \theta_{r, \text{azul}} = 18,21^\circ - 17,10^\circ = 1,11^\circ

En el esquema, el rayo incidente se divide en la superficie; la componente azul se desvía más hacia la normal que la roja al tener un índice de refracción mayor.

ii) determine la frecuencia y la longitud de onda en el vidrio de la componente roja.

La frecuencia ( $f$ ) de una onda electromagnética es constante independientemente del medio de propagación. Se calcula a partir de la velocidad de la luz en el vacío ( $c$ ) y su longitud de onda en el aire (considerando $n_{\text{aire}} \approx 1$ ):

f_{\text{roja}} = \frac{c}{\lambda_{\text{aire, roja}}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}}{6,56 \cdot 10^{-7} \text{ m}} \approx 4,57 \cdot 10^{14} \text{ Hz}

La longitud de onda en el vidrio ( $\lambda_{\text{vidrio}}$ ) se reduce respecto a la del aire según el índice de refracción del material:

\lambda_{\text{vidrio, roja}} = \frac{\lambda_{\text{aire, roja}}}{n_{\text{roja}}} = \frac{6,56 \cdot 10^{-7} \text{ m}}{1,6} = 4,10 \cdot 10^{-7} \text{ m}

T4: Óptica

Espejos

Teoría

2024 · Extraordinaria · Titular

C1-a

a) i) Construya la imagen formada en un espejo cóncavo para un objeto situado a una distancia del espejo mayor que su radio de curvatura, explicando el trazado de rayos correspondiente. ii) Indique y justifique las características de la imagen.

Espejos cóncavosTrazado de rayosFormación de imágenes

a) i) Para construir la imagen de un objeto situado a una distancia mayor que el radio de curvatura (

s > R

) en un espejo cóncavo, se trazan los rayos principales que parten de la parte superior del objeto:

1. Rayo paralelo: Se traza un rayo paralelo al eje óptico que, al reflejarse en el espejo, pasa obligatoriamente por el foco principal $F$ . 2. Rayo focal: Se traza un rayo que pasa por el foco $F$ y, tras reflejarse en el espejo, emerge paralelo al eje óptico. 3. Rayo radial: Se traza un rayo que pasa por el centro de curvatura $C$ . Este incide perpendicularmente a la superficie del espejo y se refleja volviendo sobre sí mismo.

La intersección de estos rayos tras la reflexión determina el punto correspondiente de la imagen. Al estar el objeto más allá del centro de curvatura, los rayos convergen en un punto situado entre el foco $F$ y el centro $C$ .

a) ii) Las características de la imagen formada son las siguientes:

1. Real: La imagen se forma por la convergencia real de los rayos reflejados, no por sus prolongaciones, lo que permite proyectarla sobre una pantalla. 2. Invertida: La imagen aparece orientada en sentido contrario al objeto respecto al eje óptico ( $y' < 0$ si $y > 0$ ). 3. Menor tamaño: El tamaño de la imagen es inferior al del objeto original.Estas propiedades se justifican analíticamente mediante las ecuaciones de los espejos esféricos. Siendo $f$ la distancia focal ( $f = R/2$ ) y utilizando el criterio de signos DIN, para un objeto real ( $s < 0$ y $|s| > |R|$ ):

\frac{1}{s'} + \frac{1}{s} = \frac{1}{f}

Como $|s| > |f|$ y ambos son negativos, el valor de $s'$ resulta negativo y tal que $|f| < |s'| < |R|$ , lo que indica que es real. El aumento lateral $M$ viene dado por:

M = \frac{y'}{y} = -\frac{s'}{s}

Dado que $|s'| < |s|$ , el valor absoluto de $M$ es menor que 1 (menor tamaño) y el signo de $M$ es negativo (invertida).

T4: Óptica

Lentes delgadas

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

C1-b

b) Un objeto de

4 \text{ cm}

se sitúa a

36 \text{ cm}

de una lente delgada convergente de distancia focal

12 \text{ cm}

. i) Calcule la posición y el tamaño de la imagen, indicando el criterio de signos aplicado. ii) Realice el trazado de rayos e indique las características de la imagen.

Lentes convergentesEcuación de GaussAumento lateral

b) i) Para resolver el problema utilizaremos el criterio de signos de la norma DIN, según el cual la luz se propaga de izquierda a derecha. Las distancias medidas desde el centro óptico hacia la derecha son positivas, hacia la izquierda negativas, hacia arriba positivas y hacia abajo negativas. Por tanto, los datos son:

y = 4 \text{ cm} = 0,04 \text{ m}

,

s = -36 \text{ cm} = -0,36 \text{ m}

y

f' = 12 \text{ cm} = 0,12 \text{ m}

(focal imagen positiva para una lente convergente).

Aplicamos la ecuación fundamental de las lentes delgadas:

\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'}

Sustituimos los valores conocidos para hallar la posición de la imagen $s'$ :

\frac{1}{s'} - \frac{1}{-0,36} = \frac{1}{0,12}

\frac{1}{s'} = \frac{1}{0,12} - \frac{1}{0,36} = \frac{3 - 1}{0,36} = \frac{2}{0,36} \implies s' = 0,18 \text{ m} = 18 \text{ cm}

Para calcular el tamaño de la imagen $y'$ , utilizamos la expresión del aumento lateral $M$ :

M = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s}

y' = y \cdot \frac{s'}{s} = 0,04 \text{ m} \cdot \frac{0,18 \text{ m}}{-0,36 \text{ m}} = -0,02 \text{ m} = -2 \text{ cm}

ii) Realizamos el trazado de rayos utilizando un rayo paralelo al eje óptico (que tras refractarse pasa por el foco imagen

F'

) y un rayo que pasa por el centro óptico (que no se desvía).

A partir de los resultados obtenidos y el diagrama, las características de la imagen son:1. Real: Se forma por la intersección de los rayos refractados ( $s' > 0$ ). 2. Invertida: El signo del tamaño es opuesto al del objeto ( $y' < 0$ ). 3. Disminuida: El valor absoluto del tamaño es menor que el del objeto ( $|y'| < |y|$ ).

T4: Óptica

Lentes delgadas

Teoría

2024 · Ordinaria · Reserva

C1-a

a) Razone, basándose en el trazado de rayos, dónde hay que colocar un objeto con respecto a una lente delgada convergente para que: i) la imagen formada sea real, invertida y del mismo tamaño que el objeto; ii) la imagen obtenida sea virtual, derecha y de mayor tamaño que el objeto.

Lentes convergentesFormación de imágenes

Lentes delgadas convergentes

a) i) Imagen real, invertida y del mismo tamaño que el objeto.

Para que una imagen sea invertida y del mismo tamaño, el aumento lateral $M_L$ debe ser igual a $-1$ . La relación entre las distancias del objeto $s$ y de la imagen $s'$ al centro óptico viene dada por la expresión del aumento:

M_L = \frac{y'}{y} = \frac{s'}{s} = -1 \implies s' = -s

Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas (ecuación de Gauss):

\frac{1}{s'} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'}

Sustituyendo $s' = -s$ en la ecuación anterior:

\frac{1}{-s} - \frac{1}{s} = \frac{1}{f'} \implies -\frac{2}{s} = \frac{1}{f'} \implies s = -2f'

Por tanto, el objeto debe colocarse a una distancia de la lente igual al doble de la distancia focal. Los rayos paralelos al eje óptico pasan por el foco imagen $F'$ , y los que pasan por el centro óptico no se desvían, cortándose en un punto real a distancia $2f'$ al otro lado de la lente.

a) ii) Imagen virtual, derecha y de mayor tamaño que el objeto.

Para obtener una imagen virtual y derecha, esta debe formarse en el mismo semiplano que el objeto ( $s' < 0$ ) y el aumento lateral debe ser positivo y mayor que la unidad ( $M_L > 1$ ). Esto sucede cuando el objeto se coloca entre el foco objeto y la lente:

|s| < |f'|

Bajo esta condición, los rayos que emergen de la lente son divergentes. Al prolongar estos rayos hacia atrás, convergen en un punto del mismo lado de la lente, generando una imagen virtual que el ojo humano percibe como aumentada (efecto lupa).