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T4: Óptica
Lentes delgadas
Problema
2025 · Extraordinaria · Reserva
C-b1
Examen

Con una lente divergente se obtiene una imagen de altura igual a un tercio de la altura del objeto. La imagen se forma a 20 cm20 \text{ cm} de la lente.

i) Indique el criterio de signos utilizado y halle la posición del objeto.ii) Calcule la distancia focal de la lente.iii) Realice el trazado de rayos y explique su construcción.
Lentes divergentesAumento lateralTrazado de rayos

Una lente divergente siempre forma imágenes virtuales, derechas y más pequeñas que el objeto cuando el objeto es real. La imagen se forma en el mismo lado que el objeto (lado de incidencia de la luz).

Criterio de signos (convenio europeo o de la óptica moderna)

Se adopta el siguiente criterio de signos:

Las distancias se miden desde la lente como origen.La luz viaja de izquierda a derecha. Las distancias en el sentido de la luz (hacia la derecha) son positivas; en sentido contrario (hacia la izquierda), negativas.Objeto real: se sitúa a la izquierda de la lente, por lo que so<0s_o < 0 (distancia objeto negativa).Imagen virtual (mismo lado que el objeto, lado izquierdo): si<0s_i < 0.Lente divergente: distancia focal f<0f < 0.
Apartado i) Posición del objeto

Datos del problema: la imagen tiene altura igual a un tercio de la altura del objeto, y la imagen se forma a 20 cm de la lente. Dado que la lente es divergente, la imagen es virtual y se forma en el mismo lado que el objeto, por tanto si=−20 cms_i = -20 \text{ cm}.La ampliación transversal mm se define como:

m=y′y=sisom = \frac{y'}{y} = \frac{s_i}{s_o}

Como la imagen es derecha (una lente divergente con objeto real siempre da imagen derecha) y su altura es un tercio de la del objeto:

m=+13m = +\frac{1}{3}

Despejando la posición del objeto:

siso=13  ⟹  so=3⋅si=3⋅(−20)=−60 cm\frac{s_i}{s_o} = \frac{1}{3} \implies s_o = 3 \cdot s_i = 3 \cdot (-20) = -60 \text{ cm}

El objeto se encuentra a 60 cm a la izquierda de la lente (so=−60 cms_o = -60 \text{ cm}).

Apartado ii) Distancia focal de la lente

Aplicamos la ecuación de conjugación de lentes (ecuación del fabricante de lentes o ecuación de Gauss):

1f=1si−1so\frac{1}{f} = \frac{1}{s_i} - \frac{1}{s_o}

Sustituyendo si=−20 cms_i = -20 \text{ cm} y so=−60 cms_o = -60 \text{ cm}:

1f=1−20−1−60=−120+160=−3+160=−260=−130\frac{1}{f} = \frac{1}{-20} - \frac{1}{-60} = -\frac{1}{20} + \frac{1}{60} = \frac{-3 + 1}{60} = -\frac{2}{60} = -\frac{1}{30}
f=−30 cmf = -30 \text{ cm}

La distancia focal de la lente divergente es f=−30 cmf = -30 \text{ cm}. El signo negativo es coherente con el carácter divergente de la lente.La potencia de la lente es:

P=1f(m)=1−0,30≈−3,33 dioptrıˊasP = \frac{1}{f(\text{m})} = \frac{1}{-0{,}30} \approx -3{,}33 \text{ dioptrías}
Apartado iii) Trazado de rayos
FF'ObjetoImagen (virtual)Lente divergente

Construcción del trazado de rayos para una lente divergente:

Rayo 1: Sale del extremo superior del objeto paralelo al eje óptico. Al atravesar la lente divergente, se refracta como si procediera del foco imagen virtual F′F' (situado en el lado del objeto, a 30 cm a la izquierda de la lente). El rayo emergente se aleja del eje, y su prolongación hacia atrás pasa por F′F'.Rayo 2: Sale del extremo superior del objeto dirigido hacia el foco objeto FF (situado en el lado derecho de la lente, a 30 cm). Al alcanzar la lente, emerge paralelo al eje óptico (porque se dirige hacia el foco que está al otro lado de la lente divergente).Rayo 3 (comprobación): Pasa por el centro óptico de la lente sin desviarse.

Los rayos refractados divergen y no se cortan en el lado derecho. Sin embargo, sus prolongaciones hacia atrás (líneas discontinuas) se cortan en el lado izquierdo, a 20 cm de la lente, formando una imagen virtual, derecha y reducida (un tercio del tamaño del objeto).