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T4: Óptica
Naturaleza de la luz
Problema
2025 · Ordinaria · Reserva
C-b2
Examen
b2) Un rayo de luz amarilla, emitido por una lámpara de sodio, tiene una longitud de onda en el vacío de 5,89⋅10−7 m5,89 \cdot 10^{-7} \text{ m}. Determine: i) su frecuencia; ii) su velocidad de propagación y su longitud de onda en el interior de una fibra de cuarzo; iii) el ángulo límite entre la lámina de cuarzo y el aire.

Datos: c=3⋅108 m⋅s−1;naire=1;ncuarzo=1,458c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}; n_{\text{aire}} = 1; n_{\text{cuarzo}} = 1,458

RefracciónLongitud de ondaÁngulo límite
Luz amarilla de sodio en cuarzo
i) Frecuencia de la luz amarilla en el vacío

La relación entre velocidad, frecuencia y longitud de onda es:

c=λ⋅f  ⟹  f=cλc = \lambda \cdot f \implies f = \frac{c}{\lambda}
f=3⋅108 m/s5,89⋅10−7 m=5,09⋅1014 Hzf = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{5{,}89 \cdot 10^{-7} \text{ m}} = 5{,}09 \cdot 10^{14} \text{ Hz}

La frecuencia de la luz no cambia al pasar de un medio a otro, por lo que f=5,09⋅1014f = 5{,}09 \cdot 10^{14} Hz en cualquier medio.

ii) Velocidad de propagación y longitud de onda en el cuarzo

El índice de refracción relaciona la velocidad en el vacío con la velocidad en el medio:

n=cv  ⟹  v=cncuarzon = \frac{c}{v} \implies v = \frac{c}{n_{\text{cuarzo}}}
v=3⋅108 m/s1,458=2,057⋅108 m/sv = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{1{,}458} = 2{,}057 \cdot 10^8 \text{ m/s}

La longitud de onda en el cuarzo se calcula usando la frecuencia (que no varía) y la nueva velocidad:

λcuarzo=vf=cncuarzo⋅f\lambda_{\text{cuarzo}} = \frac{v}{f} = \frac{c}{n_{\text{cuarzo}} \cdot f}
λcuarzo=2,057⋅108 m/s5,09⋅1014 Hz=4,04⋅10−7 m\lambda_{\text{cuarzo}} = \frac{2{,}057 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{5{,}09 \cdot 10^{14} \text{ Hz}} = 4{,}04 \cdot 10^{-7} \text{ m}

Alternativamente: λcuarzo=λ0ncuarzo=5,89⋅10−71,458=4,04⋅10−7\lambda_{\text{cuarzo}} = \dfrac{\lambda_0}{n_{\text{cuarzo}}} = \dfrac{5{,}89 \cdot 10^{-7}}{1{,}458} = 4{,}04 \cdot 10^{-7} m

iii) Ángulo límite entre cuarzo y aire

El ángulo límite (o ángulo crítico) se produce cuando el rayo viaja del medio más denso (cuarzo) al menos denso (aire) y el ángulo de refracción es 90∘90^\circ. Aplicando la Ley de Snell:

ncuarzo⋅sin⁡θL=naire⋅sin⁡90∘=1n_{\text{cuarzo}} \cdot \sin\theta_L = n_{\text{aire}} \cdot \sin 90^\circ = 1
sin⁡θL=nairencuarzo=11,458=0,6860\sin\theta_L = \frac{n_{\text{aire}}}{n_{\text{cuarzo}}} = \frac{1}{1{,}458} = 0{,}6860
θL=arcsin⁡(0,6860)=43,3∘\theta_L = \arcsin(0{,}6860) = 43{,}3^\circ
Cuarzo (n = 1,458)Aire (n = 1)θr = 90°

Para ángulos de incidencia mayores que 43,3∘43{,}3^\circ, se produce reflexión total interna, principio en el que se basa el funcionamiento de las fibras ópticas.