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T4: Óptica
Refracción
Problema
2025 · Ordinaria · Suplente
C-b2
Examen

Una lámina de vidrio de caras planas y paralelas suspendida en el aire tiene un espesor de 8 cm8 \text{ cm}. Un rayo de luz monocromática incide en la cara superior de la lámina con un ángulo de 45∘45^{\circ} respecto a la normal.

i) Realice un esquema de la trayectoria que sigue el rayo refractado en los diferentes medios.ii) Calcule el valor del ángulo de refracción en el interior de la lámina y el del ángulo con el que emerge el rayo tras atravesar la lámina.iii) Determine el tiempo que tarda el rayo en atravesar la lámina.

Datos: naire=1n_{aire} = 1; nvidrio=1,6n_{vidrio} = 1,6; c=3⋅108 m/sc = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s} (implícito)

Ley de SnellLámina de caras paralelasÍndice de refracción
Lámina de vidrio de caras planas y paralelas
i) Esquema de la trayectoria del rayo refractado
45°r45°Aire (n=1)Vidrio (n=1,6)e = 8 cm

El rayo incide en la cara superior con θ1=45∘\theta_1 = 45^\circ, se refracta en el interior de la lámina con un ángulo θ2\theta_2 menor, recorre el espesor de la lámina y emerge por la cara inferior con el mismo ángulo 45∘45^\circ de la incidencia (ya que las caras son paralelas). El rayo emergente es paralelo al incidente pero desplazado lateralmente.

ii) Cálculo del ángulo de refracción en el interior y del ángulo de emergencia

Aplicamos la Ley de Snell en la cara superior (aire → vidrio):

naire⋅sin⁡θ1=nvidrio⋅sin⁡θ2n_{aire} \cdot \sin\theta_1 = n_{vidrio} \cdot \sin\theta_2
1⋅sin⁡45∘=1,6⋅sin⁡θ21 \cdot \sin 45^\circ = 1{,}6 \cdot \sin\theta_2
sin⁡θ2=sin⁡45∘1,6=0,70711,6=0,4419\sin\theta_2 = \frac{\sin 45^\circ}{1{,}6} = \frac{0{,}7071}{1{,}6} = 0{,}4419
θ2=arcsin⁡(0,4419)≈26,2∘\theta_2 = \arcsin(0{,}4419) \approx 26{,}2^\circ

El ángulo de refracción en el interior de la lámina es θ2≈26,2∘\theta_2 \approx 26{,}2^\circ.Aplicamos la Ley de Snell en la cara inferior (vidrio → aire). Como las caras son paralelas, el rayo incide en la cara inferior con el mismo ángulo θ2=26,2∘\theta_2 = 26{,}2^\circ respecto a la normal:

nvidrio⋅sin⁡θ2=naire⋅sin⁡θ3n_{vidrio} \cdot \sin\theta_2 = n_{aire} \cdot \sin\theta_3
1,6⋅sin⁡26,2∘=1⋅sin⁡θ31{,}6 \cdot \sin 26{,}2^\circ = 1 \cdot \sin\theta_3
sin⁡θ3=1,6⋅0,4419=0,7071  ⟹  θ3=45∘\sin\theta_3 = 1{,}6 \cdot 0{,}4419 = 0{,}7071 \implies \theta_3 = 45^\circ

El rayo emerge con un ángulo de 45∘45^\circ respecto a la normal, igual al ángulo de incidencia original. El rayo emergente es paralelo al rayo incidente.

iii) Tiempo que tarda el rayo en atravesar la lámina

La velocidad de la luz en el interior del vidrio viene dada por el índice de refracción:

vvidrio=cnvidrio=3⋅108 m/s1,6=1,875⋅108 m/sv_{vidrio} = \frac{c}{n_{vidrio}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{1{,}6} = 1{,}875 \cdot 10^8 \text{ m/s}

El rayo no recorre verticalmente el espesor e=8 cm=0,08 me = 8 \text{ cm} = 0{,}08 \text{ m}, sino que viaja en diagonal con ángulo θ2=26,2∘\theta_2 = 26{,}2^\circ respecto a la normal. La distancia real recorrida dentro de la lámina es:

d=ecos⁡θ2=0,08 mcos⁡26,2∘=0,080,8975≈8,91⋅10−2 md = \frac{e}{\cos\theta_2} = \frac{0{,}08 \text{ m}}{\cos 26{,}2^\circ} = \frac{0{,}08}{0{,}8975} \approx 8{,}91 \cdot 10^{-2} \text{ m}

El tiempo que tarda en atravesar la lámina es:

t=dvvidrio=8,91⋅10−2 m1,875⋅108 m/s≈4,75⋅10−10 st = \frac{d}{v_{vidrio}} = \frac{8{,}91 \cdot 10^{-2} \text{ m}}{1{,}875 \cdot 10^8 \text{ m/s}} \approx 4{,}75 \cdot 10^{-10} \text{ s}

El rayo tarda aproximadamente t≈4,75⋅10−10 st \approx 4{,}75 \cdot 10^{-10} \text{ s} (unos 0,475 ns0{,}475 \text{ ns}) en atravesar la lámina de vidrio.