Física nuclear — Física PEvAU Andalucía

Radiactividad y desintegración

Teoría

2025 · Extraordinaria · Reserva

D-a

Discuta razonadamente la veracidad de las siguientes afirmaciones:

i) Cuando en una transformación radiactiva se emite una partícula alfa, se obtiene un núcleo cuyo número másico es dos unidades menor y su número atómico es cuatro unidades menor.ii) Cuando en una transformación radiactiva se emite una partícula beta negativa, se obtiene un núcleo cuyo número atómico es una unidad mayor y no varía su número másico.

Desintegración alfaDesintegración betaLeyes de Soddy-Fajans

i) Cuando en una transformación radiactiva se emite una partícula alfa, se obtiene un núcleo cuyo número másico es dos unidades menor y su número atómico es cuatro unidades menor.

Esta afirmación es FALSA. Según las leyes de desplazamiento radiactivo de Soddy y Fajans, una partícula alfa ( $\alpha$ ) es un núcleo de helio, constituido por dos protones y dos neutrones, lo que se representa simbólicamente como $\ce{^4_2He}$ .Debido a la conservación del número de nucleones y de la carga eléctrica, cuando un núcleo emite una partícula alfa, su número másico ( $A$ ) debe disminuir en 4 unidades y su número atómico ( $Z$ ) debe disminuir en 2 unidades. El proceso se describe mediante la siguiente ecuación general:

\ce{^A_Z X} -> \ce{^{A-4}_{Z-2} Y + ^4_2He}

La afirmación propuesta invierte erróneamente el cambio en las magnitudes: indica que el número másico disminuye en 2 y el atómico en 4, cuando es exactamente al revés.

ii) Cuando en una transformación radiactiva se emite una partícula beta negativa, se obtiene un núcleo cuyo número atómico es una unidad mayor y no varía su número másico.

Esta afirmación es VERDADERA. La emisión beta negativa ( $\beta^-$ ) consiste en la emisión de un electrón de alta energía desde el núcleo atómico. Este fenómeno ocurre cuando un neutrón se transforma en un protón, un electrón y un antineutrino electrónico ( $\bar{\nu}_e$ ):

\ce{^1_0n} -> \ce{^1_1p + ^0_{-1}e + \bar{\nu}_e}

Como el neutrón se convierte en un protón, el número total de partículas pesadas (nucleones) en el núcleo no varía, por lo que el número másico ( $A$ ) permanece constante. Sin embargo, al aparecer un nuevo protón, el número atómico ( $Z$ ) aumenta en una unidad, desplazando el elemento una posición hacia la derecha en la tabla periódica:

\ce{^A_Z X} -> \ce{^A_{Z+1} Y + ^0_{-1}e + \bar{\nu}_e}

T6: Física nuclear

Radiactividad

Teoría

2025 · Extraordinaria · Suplente

D-a

FÍSICA RELATIVISTA, CUÁNTICA Y DE PARTÍCULAS

a) Discuta la veracidad de la siguiente afirmación: en un proceso de desintegración radiactiva, la relación entre los núcleos que quedan sin desintegrar entre dos tiempos

t_1

y

t_2

(

t_2 > t_1

), que distan

2T_{1/2}

, es

N(t_2)/N(t_1) = 1/4

.

Desintegración radiactivaPeriodo de semidesintegración

FÍSICA RELATIVISTA, CUÁNTICA Y DE PARTÍCULAS

a) Discuta la veracidad de la siguiente afirmación: en un proceso de desintegración radiactiva, la relación entre los núcleos que quedan sin desintegrar entre dos tiempos

t_1

y

t_2

(

t_2 > t_1

), que distan

2T_{1/2}

, es

N(t_2)/N(t_1) = 1/4

.

La ley de desintegración radiactiva establece que el número de núcleos $N(t)$ que permanecen sin desintegrar en una muestra en un instante de tiempo $t$ viene dado por la siguiente función exponencial decreciente:

N(t) = N_0 e^{-\lambda t}

Donde $N_0$ representa el número inicial de núcleos y $\lambda$ es la constante de desintegración. La constante $\lambda$ se define en función del periodo de semidesintegración $T_{1/2}$ (tiempo necesario para que la muestra se reduzca a la mitad) como:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

Para analizar la relación entre el número de núcleos en los instantes $t_1$ y $t_2$ , calculamos el cociente entre ambas expresiones:

\frac{N(t_2)}{N(t_1)} = \frac{N_0 e^{-\lambda t_2}}{N_0 e^{-\lambda t_1}} = e^{-\lambda(t_2 - t_1)}

De acuerdo con el enunciado, la diferencia de tiempo entre ambos instantes es exactamente dos veces el periodo de semidesintegración, es decir, $t_2 - t_1 = 2T_{1/2}$ . Sustituyendo este valor y la expresión de la constante radiactiva en el exponente, obtenemos:

\frac{N(t_2)}{N(t_1)} = e^{-\left( \frac{\ln 2}{T_{1/2}} \right) 2T_{1/2}} = e^{-2 \ln 2}

Utilizando las propiedades de los logaritmos, sabemos que $-2 \ln 2 = \ln(2^{-2})$ . Por lo tanto, simplificando la función exponencial:

\frac{N(t_2)}{N(t_1)} = e^{\ln(2^{-2})} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}

Dado que el cálculo demuestra que la relación es exactamente $1/4$ , podemos concluir que la afirmación es verdadera.

T6: Física nuclear

Energía de enlace

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

D-b2

b2) i) Determine razonadamente la energía de enlace del

{}^{226}_{88}\text{Ra}

. ii) Sabiendo que la energía de enlace por nucleón del

{}^{60}_{28}\text{Ni}

es aproximadamente

9 \text{ MeV/nucleón}

, justifique cuál de estos dos núcleos es más estable.

Datos: $m({}^{226}_{88}\text{Ra}) = 226,025410 \text{ u}$ ; $m_p = 1,007276 \text{ u}$ ; $m_n = 1,008665 \text{ u}$ ; $1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$ ; $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ ; $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$

Defecto de masaEstabilidad nuclearEnergía de enlace por nucleón

i) Para determinar la energía de enlace del núcleo de

{}^{226}_{88}\text{Ra}

, primero calculamos el defecto de masa (

\Delta m

), que es la diferencia entre la masa de los nucleones aislados y la masa real del núcleo. El núcleo de radio tiene

Z = 88

protones y

N = A - Z = 226 - 88 = 138

neutrones.

\Delta m = Z \cdot m_p + (A - Z) \cdot m_n - m({}^{226}_{88}\text{Ra})

\Delta m = [88 \cdot 1,007276 + 138 \cdot 1,008665] - 226,025410 = 1,810648 \text{ u}

Convertimos el defecto de masa a unidades del Sistema Internacional (kg) utilizando el factor de conversión proporcionado:

\Delta m = 1,810648 \text{ u} \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg/u} = 3,005676 \cdot 10^{-27} \text{ kg}

Utilizando la ecuación de Einstein para la equivalencia entre masa y energía ( $E_e = \Delta m \cdot c^2$ ), calculamos la energía de enlace:

E_e = 3,005676 \cdot 10^{-27} \text{ kg} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})^2 = 2,705108 \cdot 10^{-10} \text{ J}

ii) Para justificar qué núcleo es más estable, debemos comparar sus energías de enlace por nucleón (

E_{b/A}

), ya que esta magnitud representa la energía necesaria para extraer un nucleón del núcleo. Calculamos el valor para el

{}^{226}_{88}\text{Ra}

en MeV/nucleón para poder compararlo con el dato del

{}^{60}_{28}\text{Ni}

.

Primero, transformamos la energía de enlace del radio de julios a MeV usando la carga elemental $e$ :

E_e (\text{MeV}) = \frac{2,705108 \cdot 10^{-10} \text{ J}}{1,6 \cdot 10^{-13} \text{ J/MeV}} = 1690,69 \text{ MeV}

E_{b/A} ({}^{226}\text{Ra}) = \frac{1690,69 \text{ MeV}}{226 \text{ nucleones}} \approx 7,48 \text{ MeV/nucle\text{ó}n}

Dado que la energía de enlace por nucleón del ${}^{60}_{28}\text{Ni}$ ( $9 \text{ MeV/nucle\text{ó}n}$ ) es mayor que la del ${}^{226}_{88}\text{Ra}$ ( $7,48 \text{ MeV/nucle\text{ó}n}$ ), se concluye que el núcleo de ${}^{60}_{28}\text{Ni}$ es más estable.

T6: Física nuclear

Energía de enlace y estabilidad nuclear

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

D-b1

i) Determine razonadamente la energía de enlace del isótopo

\ce{^3_2He}

.ii) Sabiendo que la energía de enlace por nucleón del

\ce{^4_2He}

es de

6,83 \text{ MeV/nucleón}

, razone si es más o menos estable que el

\ce{^3_2He}

.

Datos: $m(\ce{^3_2He}) = 3,016029 \text{ u}$ ; $m_p = 1,007276 \text{ u}$ ; $m_n = 1,008665 \text{ u}$ ; $1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$ ; $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}$ ; $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1}$

Defecto de masaEnergía de enlaceEstabilidad nuclear

Cálculo de la energía de enlace y estabilidad nuclear

i) Determine razonadamente la energía de enlace del isótopo

\ce{^3_2He}

.

La energía de enlace ( $E_b$ ) es la energía que se libera cuando los nucleones (protones y neutrones) se unen para formar un núcleo, o la energía necesaria para disgregar un núcleo en sus componentes. Se calcula a partir del defecto de masa ( $\Delta m$ ), que es la diferencia entre la suma de las masas de los nucleones aislados y la masa del núcleo formado.

\Delta m = [Z \cdot m_p + (A - Z) \cdot m_n] - M_{\text{núcleo}}

Para el isótopo de helio-3 ( $\ce{^3_2He}$ ), tenemos $Z = 2$ protones y $A - Z = 3 - 2 = 1$ neutrón. Sustituimos los valores de las masas dadas:

\Delta m = [2 \cdot 1,007276 \text{ u} + 1 \cdot 1,008665 \text{ u}] - 3,016029 \text{ u}

\Delta m = [2,014552 + 1,008665] - 3,016029 = 0,007188 \text{ u}

Utilizamos la ecuación de equivalencia masa-energía de Einstein ( $E = \Delta m \cdot c^2$ ). Primero convertimos el defecto de masa al Sistema Internacional (kg):

\Delta m = 0,007188 \text{ u} \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg/u} = 1,193208 \cdot 10^{-29} \text{ kg}

E_b = 1,193208 \cdot 10^{-29} \text{ kg} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ m s}^{-1})^2 = 1,0738872 \cdot 10^{-12} \text{ J}

Finalmente, expresamos el resultado en megaelectrón-voltios (MeV) usando el factor de conversión derivado de la carga del electrón ( $1 \text{ eV} = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ J}$ ):

E_b = \frac{1,0738872 \cdot 10^{-12} \text{ J}}{1,6 \cdot 10^{-13} \text{ J/MeV}} = 6,711795 \text{ MeV}

ii) Sabiendo que la energía de enlace por nucleón del

\ce{^4_2He}

es de

6,83 \text{ MeV/nucleón}

, razone si es más o menos estable que el

\ce{^3_2He}

.

La estabilidad de un núcleo no depende de su energía de enlace total, sino de su energía de enlace por nucleón ( $E_b/A$ ). Cuanto mayor es este valor, más estable es el núcleo, ya que se requiere más energía para extraer una partícula individual de él. Calculamos el valor para el $\ce{^3_2He}$ :

\frac{E_b}{A} (\ce{^3_2He}) = \frac{6,711795 \text{ MeV}}{3 \text{ nucleones}} = 2,237 \text{ MeV/nucleón}

Al comparar los valores, observamos que:

\frac{E_b}{A} (\ce{^4_2He}) = 6,83 \text{ MeV/nucleón} > \frac{E_b}{A} (\ce{^3_2He}) = 2,237 \text{ MeV/nucleón}

Por lo tanto, el isótopo $\ce{^4_2He}$ es considerablemente más estable que el $\ce{^3_2He}$ .

T6: Física nuclear

Radiactividad

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

D-b2

La masa de un núcleo de plutonio-239 es $239,05 \text{ u}$ y su periodo de semidesintegración es $24200 \text{ años}$ . Determine:

i) la constante de desintegración.ii) la actividad de una muestra de

1 \text{ mg}

de plutonio-239.iii) el tiempo necesario para que quede el

25\%

de los núcleos de la muestra anterior.

Dato: $N_A = 6,02 \cdot 10^{23} \text{ mol}^{-1}$

Desintegración radiactivaActividadPeriodo de semidesintegración

i) Determinación de la constante de desintegración.

El periodo de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ) está relacionado con la constante de desintegración ( $\lambda$ ) mediante la siguiente expresión:

T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}

Primero, convertimos el periodo de semidesintegración a segundos:

T_{1/2} = 24200 \text{ años} \times \frac{365,25 \text{ días}}{1 \text{ año}} \times \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \times \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 7,632 \times 10^{11} \text{ s}

Ahora, podemos calcular la constante de desintegración:

\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} = \frac{0,693}{7,632 \times 10^{11} \text{ s}} = 9,08 \times 10^{-13} \text{ s}^{-1}

ii) Determinación de la actividad de una muestra de

1 \text{ mg}

de plutonio-239.

La actividad ( $A$ ) de una muestra se define como el producto de la constante de desintegración ( $\lambda$ ) por el número de núcleos ( $N$ ) presentes en la muestra:

A = \lambda N

Primero, calculamos el número de núcleos en $1 \text{ mg}$ de plutonio-239. La masa molar del plutonio-239 es aproximadamente $239,05 \text{ g/mol}$ .Convertimos la masa de la muestra a gramos:

m_{\text{muestra}} = 1 \text{ mg} = 1 \times 10^{-3} \text{ g}

Calculamos el número de moles en la muestra:

n = \frac{m_{\text{muestra}}}{M_{\text{Pu}}} = \frac{1 \times 10^{-3} \text{ g}}{239,05 \text{ g/mol}} = 4,183 \times 10^{-6} \text{ mol}

Ahora, calculamos el número de núcleos ( $N$ ) utilizando el número de Avogadro ( $N_A$ ):

N = n \times N_A = 4,183 \times 10^{-6} \text{ mol} \times 6,02 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1} = 2,518 \times 10^{18} \text{ núcleos}

Finalmente, calculamos la actividad:

A = (9,08 \times 10^{-13} \text{ s}^{-1}) \times (2,518 \times 10^{18}) = 2,285 \times 10^6 \text{ Bq}

iii) Determinación del tiempo necesario para que quede el

25\%

de los núcleos de la muestra anterior.

La ley de desintegración radiactiva viene dada por:

N(t) = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}

Queremos encontrar el tiempo ( $t$ ) cuando $N(t) = 0,25 N_0$ :

0,25 N_0 = N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}

Simplificando la expresión:

0,25 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}

Como $0,25 = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$ , podemos igualar los exponentes:

\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}

2 = \frac{t}{T_{1/2}}

Despejando $t$ :

t = 2 \times T_{1/2}

Sustituimos el valor del periodo de semidesintegración:

t = 2 \times 24200 \text{ años} = 48400 \text{ años}

T6: Física nuclear

Reacciones nucleares

Teoría

2025 · Ordinaria · Reserva

D-a

a) Razone, indicando los principios en los que se basa, si las siguientes reacciones nucleares son posibles: i)

\ce{^{27}_{13}Al + ^{1}_{0}n -> ^{27}_{12}Mg + ^{1}_{1}H}

ii)

\ce{^{14}_{7}N + ^{4}_{2}He -> ^{17}_{8}O + 2 ^{1}_{1}H}

Conservación cargaConservación nucleonesTransmutación

a) Razone, indicando los principios en los que se basa, si las siguientes reacciones nucleares son posibles:

Para que una reacción nuclear sea posible, debe cumplir estrictamente con las leyes de conservación de la carga eléctrica (representada por el número atómico $Z$ ) y del número total de nucleones (representado por el número másico $A$ ). En una ecuación nuclear, la suma de los valores de $Z$ y $A$ de los reactivos debe ser igual a la suma de los valores de $Z$ y $A$ de los productos.

i)

\ce{^{27}_{13}Al + ^{1}_{0}n -> ^{27}_{12}Mg + ^{1}_{1}H}

\sum Z_{\text{reactivos}} = 13 + 0 = 13 \quad ; \quad \sum Z_{\text{productos}} = 12 + 1 = 13

\sum A_{\text{reactivos}} = 27 + 1 = 28 \quad ; \quad \sum A_{\text{productos}} = 27 + 1 = 28

Como se observa, tanto el número atómico como el número másico se conservan ( $13 = 13$ y $28 = 28$ ). Por lo tanto, la reacción nuclear (i) es posible.

ii)

\ce{^{14}_{7}N + ^{4}_{2}He -> ^{17}_{8}O + 2 ^{1}_{1}H}

\sum Z_{\text{reactivos}} = 7 + 2 = 9 \quad ; \quad \sum Z_{\text{productos}} = 8 + 2(1) = 10

\sum A_{\text{reactivos}} = 14 + 4 = 18 \quad ; \quad \sum A_{\text{productos}} = 17 + 2(1) = 19

En este caso, no se cumple la conservación de la carga ( $9 \neq 10$ ) ni la conservación del número de nucleones ( $18 \neq 19$ ). Por lo tanto, la reacción nuclear (ii) no es posible.

T6: Física nuclear

Radiactividad

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

D-b2

b2) Los rayos cósmicos bombardean al

\ce{^{14}_{7}N}

en la atmósfera que, por reacción nuclear, producen el isótopo radiactivo

\ce{^{14}_{6}C}

. Este isótopo tiene un periodo de semidesintegración de

5730 \text{ años}

. Se mezcla uniformemente en la atmósfera y es captado por las plantas en su crecimiento. Después de que muera una planta, el C-14 decae en los años siguientes. ¿Cuál es la antigüedad de un pedazo de madera encontrado en un yacimiento arqueológico que tiene el

9\%

del contenido original de C-14?

Desintegración radiactivaDatación C-14Periodo de semidesintegración

Datación por Carbono-14

El proceso de desintegración radiactiva de los núcleos de $\ce{^{14}_{6}C}$ sigue una ley exponencial decreciente en función del tiempo, definida por la siguiente expresión:

N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}

Donde $N(t)$ representa el número de núcleos radiactivos finales, $N_0$ el número de núcleos iniciales, $t$ el tiempo transcurrido y $\lambda$ la constante de desintegración radiactiva. La constante $\lambda$ se relaciona con el periodo de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ) mediante la relación:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

Calculamos la constante de desintegración para el $\ce{^{14}_{6}C}$ utilizando el periodo proporcionado de $5730 \text{ años}$ :

\lambda = \frac{\ln 2}{5730 \text{ años}} \approx 1,2097 \cdot 10^{-4} \text{ años}^{-1}

El problema indica que la madera conserva el $9\%$ de su contenido original de carbono-14. Por lo tanto, la relación entre los núcleos finales e iniciales es:

\frac{N(t)}{N_0} = 0,09

Sustituimos esta proporción en la ley de desintegración y aplicamos logaritmos naturales para despejar la antigüedad ( $t$ ):

0,09 = e^{-\lambda t} \implies \ln(0,09) = -\lambda t

t = \frac{\ln(0,09)}{-\lambda}

Introduciendo el valor de la constante $\lambda$ obtenido anteriormente:

t = \frac{\ln(0,09)}{-1,2097 \cdot 10^{-4} \text{ años}^{-1}}

t \approx 19905,7 \text{ años}

La antigüedad del pedazo de madera encontrado en el yacimiento arqueológico es de aproximadamente $19906 \text{ años}$ .

T6: Física nuclear

Radiactividad

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

D-b1

El cobalto-60 ( $\ce{^{60}_{27}Co}$ ) se utiliza frecuentemente como fuente radiactiva en medicina. Su periodo de semidesintegración es $5,25 \text{ años}$ .

i) ¿Cuántos años deben transcurrir para que su actividad disminuya a una octava parte del valor original?ii) Calcule qué fracción de la muestra original queda al cabo de

8,32 \text{ años}

.

Desintegración radiactivaPeriodo de semidesintegraciónActividad radiactiva

Desintegración radiactiva del Cobalto-60

La desintegración de una muestra radiactiva sigue una ley exponencial decreciente. La actividad $A$ y el número de núcleos $N$ en un instante $t$ se relacionan con sus valores iniciales a través de la constante de desintegración $\lambda$ o el periodo de semidesintegración $T_{1/2}$ .

i) ¿Cuántos años deben transcurrir para que su actividad disminuya a una octava parte del valor original?

La actividad en un instante dado se puede expresar en función del número de periodos de semidesintegración ( $n$ ) transcurridos como:

A = \frac{A_0}{2^n}

Si la actividad final es una octava parte de la inicial, tenemos que $A = A_0 / 8$ . Dado que $8 = 2^3$ , podemos identificar el número de periodos transcurridos:

\frac{A_0}{8} = \frac{A_0}{2^n} \implies 2^3 = 2^n \implies n = 3

El tiempo transcurrido es el producto del número de periodos por la duración de cada periodo ( $T_{1/2} = 5,25 \text{ años}$ ):

t = n \cdot T_{1/2} = 3 \cdot 5,25 \text{ años} = 15,75 \text{ años}

ii) Calcule qué fracción de la muestra original queda al cabo de 8,32 años.

La fracción de la muestra que queda es la relación $N/N_0$ . Utilizaremos la ley de desintegración radiactiva:

N = N_0 \cdot e^{-\lambda t}

Primero, calculamos la constante de desintegración $\lambda$ a partir del periodo de semidesintegración:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{5,25 \text{ años}} \approx 0,132 \text{ años}^{-1}

Sustituimos el tiempo dado ( $t = 8,32 \text{ años}$ ) para hallar la fracción restante:

\frac{N}{N_0} = e^{-0,132 \text{ años}^{-1} \cdot 8,32 \text{ años}} = e^{-1,098}

\frac{N}{N_0} \approx 0,333

La fracción de la muestra original que queda es aproximadamente $0,333$ (es decir, un tercio de la muestra inicial).

T6: Física nuclear

Fisión y defectos de masa

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

D-b1

Un proyecto de investigación estudia producir la fisión de $^{10}_{5}\text{B}$ mediante el bombardeo con neutrones para dar lugar a una partícula alfa y $^{7}_{3}\text{Li}$ . i) Escriba la ecuación de la reacción nuclear. ii) Calcule la energía liberada cuando se forman 1,5 millones de núcleos de $^{7}_{3}\text{Li}$ . Datos: $m(^{10}_{5}\text{B}) = 10,012937 \text{ u}$ ; $m(^{7}_{3}\text{Li}) = 7,016003 \text{ u}$ ; $m(^{4}_{2}\text{He}) = 4,002603 \text{ u}$ ; $m_{n} = 1,008665 \text{ u}$ ; $1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$ ; $c = 3 \cdot 10^{8} \text{ m s}^{-1}$

Reacción nuclearEnergía liberadaEquivalencia masa-energía

i) La ecuación de la reacción nuclear solicitada representa la captura de un neutrón por un núcleo de Boro-10 para producir Litio-7 y una partícula alfa (núcleo de Helio-4). Se comprueba que se conserva tanto el número atómico como el número másico.

^{10}_{5}\text{B} + ^{1}_{0}n \rightarrow ^{7}_{3}\text{Li} + ^{4}_{2}\text{He}

ii) Para calcular la energía liberada, determinamos primero el defecto de masa (\Delta m) del proceso, definido como la diferencia entre la masa total de los reactivos y la de los productos.

\Delta m = [m(^{10}_{5}\text{B}) + m_n] - [m(^{7}_{3}\text{Li}) + m(^{4}_{2}\text{He})]

\Delta m = [10,012937 \text{ u} + 1,008665 \text{ u}] - [7,016003 \text{ u} + 4,002603 \text{ u}]

\Delta m = 11,021602 \text{ u} - 11,018606 \text{ u} = 0,002996 \text{ u}

Calculamos la energía liberada por una sola reacción aplicando la relación de equivalencia masa-energía de Einstein, convirtiendo previamente el defecto de masa al Sistema Internacional (kg).

E_{\text{reacción}} = \Delta m \cdot c^2

E_{\text{reacción}} = 0,002996 \text{ u} \cdot \frac{1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}}{1 \text{ u}} \cdot (3 \cdot 10^{8} \text{ m s}^{-1})^2

E_{\text{reacción}} = 4,476024 \cdot 10^{-13} \text{ J}

Dado que por cada reacción se obtiene exactamente un núcleo de Litio-7, la energía total liberada para la formación de 1,5 millones de núcleos (N = 1,5 \cdot 10^6) se obtiene multiplicando la energía de una reacción por el número total de procesos.

E_{\text{total}} = N \cdot E_{\text{reacción}} = 1,5 \cdot 10^{6} \cdot 4,476024 \cdot 10^{-13} \text{ J}

\mathbf{E_{\text{total}} = 6,714 \cdot 10^{-7} \text{ J}}

T6: Física nuclear

Estabilidad nuclear

Teoría

2024 · Extraordinaria · Reserva

D1-a

a) i) Represente gráficamente la energía de enlace por nucleón en función del número másico y relaciónela con la estabilidad nuclear. ii) Justifique, basándose en la gráfica, los procesos de fusión y de fisión nuclear.

Energía de enlaceFisión nuclearFusión nuclear

a) i) La estabilidad nuclear está estrechamente relacionada con la energía de enlace por nucleón (

E_b/A

), que se define como la energía total de enlace dividida por el número de nucleones (

A

) que componen el núcleo. Esta magnitud representa la energía media que habría que suministrar al núcleo para extraer uno de sus nucleones.

\frac{E_b}{A} = \frac{[Z \cdot m_p + (A - Z) \cdot m_n - M(A, Z)] \cdot c^2}{A}

La representación gráfica de $E_b/A$ frente al número másico $A$ muestra una curva que crece rápidamente para núcleos ligeros hasta alcanzar un máximo de estabilidad alrededor de $A \approx 56$ (isótopos del hierro y el níquel), donde la energía de enlace por nucleón es de aproximadamente $8.8 \text{ MeV/nucleón}$ . A partir de este valor, la curva decrece suavemente a medida que aumenta el número másico debido al incremento de la repulsión culombiana entre los protones.

ii) Los procesos de fusión y fisión nuclear se justifican mediante la tendencia de los núcleos a evolucionar hacia estados de mayor energía de enlace por nucleón (mayor estabilidad), situados en la zona central de la gráfica.

Fusión nuclear: Los núcleos muy ligeros tienen una $E_b/A$ baja. Al unirse dos núcleos ligeros para formar uno más pesado (proceso de fusión), el núcleo resultante se encuentra en una posición más alta de la curva, lo que significa que es más estable. La diferencia de energía entre los reactivos y el producto se libera al exterior.Fisión nuclear: Los núcleos muy pesados (como el $\ce{^{235}U}$ ) tienen una $E_b/A$ menor que los núcleos de masa intermedia debido a que la repulsión electrostática de sus numerosos protones debilita la cohesión nuclear. Cuando un núcleo pesado se fragmenta en dos núcleos más ligeros (proceso de fisión), los productos resultantes tienen una mayor energía de enlace por nucleón. Este incremento en la estabilidad se traduce en la liberación de una gran cantidad de energía.

T6: Física nuclear

Radiactividad y energía

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

D1-b

b) i) En la cadena de desintegración del núcleo

\ce{^{222}_{86}Rn}

se emiten partículas alfa y beta, obteniéndose un nuevo núcleo

\ce{^{206}_{82}Pb}

. Escriba la reacción nuclear correspondiente y determine justificadamente el número de partículas alfa y beta emitidas. ii) Calcule razonadamente la energía necesaria para descomponer en protones y neutrones

10 \text{ g}

de

\ce{^{222}_{86}Rn}

.

Datos: $m(\ce{^{222}_{86}Rn}) = 222,017578 \text{ u}$ ; $m_p = 1,007276 \text{ u}$ ; $m_n = 1,008665 \text{ u}$ ; $1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$ ; $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}$

Desintegración alfa y betaDefecto de masaEnergía de enlace

b) i) En una cadena de desintegración nuclear, se deben cumplir las leyes de conservación del número másico (A) y del número atómico (Z). La reacción general para la transformación del radón en plomo emitiendo

x

partículas alfa (

\ce{^4_2He}

) y

y

partículas beta (

\ce{^0_{-1}e}

) es:

\ce{^{222}_{86}Rn} -> \ce{^{206}_{82}Pb} + x \ce{^4_2He} + y \ce{^0_{-1}e}

Planteamos las ecuaciones de conservación para determinar el número de partículas emitidas:

\begin{cases} \text{Balance de A: } 222 = 206 + 4x + 0y \\ \text{Balance de Z: } 86 = 82 + 2x - 1y \end{cases}

De la primera ecuación despejamos el número de partículas $\alpha$ :

222 - 206 = 4x \Rightarrow 16 = 4x \Rightarrow x = 4 \text{ partículas } \alpha

Sustituimos el valor de $x$ en la segunda ecuación para hallar el número de partículas $\beta$ :

86 = 82 + 2(4) - y \Rightarrow 86 = 82 + 8 - y \Rightarrow 86 = 90 - y \Rightarrow y = 4 \text{ partículas } \beta

ii) La energía necesaria para descomponer el núcleo en sus nucleones (protones y neutrones) es la energía de enlace. Primero calculamos el defecto de masa (

\Delta m

) para un núcleo de

\ce{^{222}_{86}Rn}

, que posee

Z = 86

protones y

N = 222 - 86 = 136

neutrones:

\Delta m = [Z \cdot m_p + (A - Z) \cdot m_n] - m(\ce{^{222}_{86}Rn})

\Delta m = [86 \cdot 1,007276 + 136 \cdot 1,008665] - 222,017578

\Delta m = [86,625736 + 137,178440] - 222,017578 = 1,786598 \text{ u}

Calculamos la energía de enlace por núcleo ( $E_b$ ) usando la relación de Einstein $E = \Delta m \cdot c^2$ , convirtiendo el defecto de masa a kilogramos:

E_b = 1,786598 \text{ u} \cdot \frac{1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}}{1 \text{ u}} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})^2 = 2,669177 \cdot 10^{-10} \text{ J/núcleo}

Determinamos el número de núcleos ( $N$ ) presentes en $10 \text{ g}$ de radón:

N = \frac{m_{total}}{m_{nucleo}} = \frac{0,010 \text{ kg}}{222,017578 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg/núcleo}} = 2,713342 \cdot 10^{22} \text{ núcleos}

Finalmente, la energía total necesaria para descomponer la muestra es:

E_{total} = N \cdot E_b = 2,713342 \cdot 10^{22} \cdot 2,669177 \cdot 10^{-10} = 7,242 \cdot 10^{12} \text{ J}

T6: Física nuclear

Radiactividad

Teoría

2024 · Extraordinaria · Reserva

D2-a

a) i) Enuncie la ley de desintegración radiactiva, definiendo las variables involucradas. A partir de dicha ley, deduzca el periodo de semidesintegración de una muestra radiactiva. ii) ¿Qué porcentaje de la actividad de una muestra dada queda por desintegrar después de un intervalo de tiempo igual a

5

veces su periodo de semidesintegración?

Ley de desintegración radiactivaPeriodo de semidesintegraciónVida media

a) i) Enuncie la ley de desintegración radiactiva, definiendo las variables involucradas. A partir de dicha ley, deduzca el periodo de semidesintegración de una muestra radiactiva.

La ley de desintegración radiactiva establece que el número de núcleos que se desintegran por unidad de tiempo es proporcional al número de núcleos presentes en la muestra. Matemáticamente, el número de núcleos radiactivos $N$ en un instante de tiempo $t$ viene dado por la expresión:

N(t) = N_0 e^{-\lambda t}

Donde las variables son: - $N(t)$ : número de núcleos radiactivos presentes en el instante $t$ . - $N_0$ : número inicial de núcleos radiactivos en el instante $t = 0$ . - $\lambda$ : constante de desintegración radiactiva, que representa la probabilidad de desintegración por unidad de tiempo (su unidad en el S.I. es $s^{-1}$ ). - $t$ : tiempo transcurrido.El periodo de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ) se define como el tiempo necesario para que el número de núcleos radiactivos de una muestra se reduzca a la mitad de su valor inicial, es decir, $N(T_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$ . Sustituyendo en la ley de desintegración:

\frac{N_0}{2} = N_0 e^{-\lambda T_{1/2}}

Simplificando $N_0$ y aplicando logaritmos naturales en ambos miembros de la ecuación:

\ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\lambda T_{1/2} \Rightarrow -\ln 2 = -\lambda T_{1/2}

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}

a) ii) ¿Qué porcentaje de la actividad de una muestra dada queda por desintegrar después de un intervalo de tiempo igual a

5

veces su periodo de semidesintegración?

La actividad $A$ de una muestra (número de desintegraciones por segundo) sigue la misma ley exponencial que el número de núcleos: $A(t) = A_0 e^{-\lambda t}$ . También se puede expresar en función del periodo de semidesintegración como:

A(t) = A_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}

Dado que el tiempo transcurrido es $t = 5 T_{1/2}$ , calculamos la relación entre la actividad final y la inicial:

\frac{A}{A_0} = 2^{-\frac{5 T_{1/2}}{T_{1/2}}} = 2^{-5} = \frac{1}{32}

Para obtener el porcentaje de actividad restante, multiplicamos por $100$ :

\%A = \frac{1}{32} \cdot 100 = 3,125 \%

Después de un intervalo de tiempo igual a $5$ periodos de semidesintegración, queda por desintegrar el $3,125 \%$ de la actividad inicial.

T6: Física nuclear

Radiactividad

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

D2-b

b) El periodo de semidesintegración del cobalto-60 es de

5,27 \text{ años}

. i) Determine la constante de desintegración radiactiva. ii) ¿Cuántos gramos de cobalto se habrán desintegrado, transcurridos

27 \text{ años}

, en una muestra que tiene actualmente

6 \text{ g}

de dicho isótopo? iii) Determine la actividad de la muestra transcurrido ese tiempo.

Datos: $m(\ce{^{60}Co}) = 59,933822 \text{ u}$ ; $1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$

Cobalto-60Constante de desintegraciónActividad

i) Determine la constante de desintegración radiactiva.

La constante de desintegración radiactiva $\lambda$ se relaciona con el periodo de semidesintegración $T_{1/2}$ mediante la siguiente expresión:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

Sustituyendo el valor del periodo en años, obtenemos la constante en $\text{años}^{-1}$ :

\lambda = \frac{\ln 2}{5,27 \text{ años}} = 0,1315 \text{ años}^{-1}

Para cálculos posteriores en el Sistema Internacional, la convertimos a $\text{s}^{-1}$ :

\lambda = \frac{0,1315 \text{ años}^{-1}}{365,25 \cdot 24 \cdot 3600} = 4,168 \cdot 10^{-9} \text{ s}^{-1}

ii) ¿Cuántos gramos de cobalto se habrán desintegrado, transcurridos

27 \text{ años}

, en una muestra que tiene actualmente

6 \text{ g}

de dicho isótopo?

Primero calculamos la masa de cobalto que permanece en la muestra tras $27 \text{ años}$ utilizando la ley de desintegración radiactiva:

m(t) = m_0 \cdot e^{-\lambda t}

Sustituimos los datos conocidos ( $m_0 = 6 \text{ g}$ , $t = 27 \text{ años}$ y $\lambda = 0,1315 \text{ años}^{-1}$ ):

m(27) = 6 \text{ g} \cdot e^{-(0,1315 \cdot 27)} = 6 \cdot e^{-3,5505} = 0,172 \text{ g}

La masa desintegrada $\Delta m$ es la diferencia entre la masa inicial y la masa final:

\Delta m = m_0 - m(t) = 6 \text{ g} - 0,172 \text{ g} = 5,828 \text{ g}

iii) Determine la actividad de la muestra transcurrido ese tiempo.

La actividad $A$ se define como el número de desintegraciones por unidad de tiempo y se calcula mediante el producto de la constante radiactiva por el número de núcleos presentes $N$ :

A = \lambda \cdot N

Primero calculamos el número de núcleos presentes a los $27 \text{ años}$ a partir de la masa remanente ( $0,172 \text{ g} = 1,72 \cdot 10^{-4} \text{ kg}$ ) y la masa de un átomo de $\ce{^{60}Co}$ :

m_{\text{átomo}} = 59,933822 \text{ u} \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg/u} = 9,949 \cdot 10^{-26} \text{ kg}

N = \frac{m(27)}{m_{\text{átomo}}} = \frac{1,72 \cdot 10^{-4} \text{ kg}}{9,949 \cdot 10^{-26} \text{ kg}} = 1,729 \cdot 10^{21} \text{ núcleos}

Finalmente, calculamos la actividad en el Sistema Internacional (Bequerelios):

A = (4,168 \cdot 10^{-9} \text{ s}^{-1}) \cdot (1,729 \cdot 10^{21}) = 7,206 \cdot 10^{12} \text{ Bq}

T6: Física nuclear

Radiactividad

Teoría

2024 · Extraordinaria · Suplente

D1-a

a) i) Describa las características de las emisiones radiactivas

\gamma

. ii) El

^{232}_{90}\ce{Th}

se desintegra mediante emisiones

\alpha

y

\beta

en

^{208}_{82}\ce{Pb}

. Escriba la ecuación nuclear correspondiente y deduzca el número de partículas

\alpha

y

\beta

emitidas.

emisiones gammadesintegración alfadesintegración beta

a) i) La radiación

\gamma

es una forma de radiación electromagnética de alta energía constituida por fotones. Sus características principales son:

1. Carece de masa en reposo y de carga eléctrica, por lo que no es desviada por campos eléctricos o magnéticos. 2. Posee una gran capacidad de penetración en la materia, requiriendo grandes espesores de plomo o gruesos muros de hormigón para ser atenuada. 3. Su poder ionizante es relativamente bajo en comparación con las emisiones $\alpha$ o $eta$ .

a) ii) Para determinar el número de partículas

\alpha

y

eta

emitidas en la desintegración del

\ce{^{232}_{90}Th}

hasta el

\ce{^{208}_{82}Pb}

, planteamos la ecuación nuclear general basada en el balance de masa y carga:

\ce{^{232}_{90}Th} -> \ce{^{208}_{82}Pb + x ^{4}_{2}He + y ^{0}_{-1}e}

Donde $x$ representa el número de partículas $\alpha$ (núcleos de helio) e $y$ el número de partículas $eta$ (electrones). Aplicamos las leyes de Soddy-Fajans para la conservación del número másico ( $A$ ) y del número atómico ( $Z$ ).Conservación del número másico ( $A$ ):

232 = 208 + 4x + 0y

Resolvemos la ecuación para determinar el número de partículas $\alpha$ :

232 - 208 = 4x \implies 24 = 4x \implies x = 6 \text{ part\text{í}culas } \alpha

Conservación del número atómico o carga ( $Z$ ):

90 = 82 + 2x - y

Sustituimos el valor de $x = 6$ para hallar el número de partículas $eta$ :

90 = 82 + 2(6) - y \implies 90 = 82 + 12 - y

90 = 94 - y \implies y = 4 \text{ part\text{í}culas } \beta

Por lo tanto, se emiten 6 partículas $\alpha$ y 4 partículas $eta$ . La ecuación nuclear completa del proceso es:

\ce{^{232}_{90}Th} -> \ce{^{208}_{82}Pb + 6 ^{4}_{2}He + 4 ^{0}_{-1}e}

T6: Física nuclear

Cinética de desintegración

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

D1-b

b) El yodo-131 es un isotopo radiactivo con un periodo de semidesintegración de

8 \text{ días}

utilizado para el tratamiento de enfermedades de la glándula tiroides. Se dispone de una muestra de yodo-131 con una actividad inicial de

7,6 \cdot 10^{16} \text{ Bq}

. Determine razonadamente: i) la masa de la muestra inicial; ii) el número de núcleos que se han desintegrado después de

25 \text{ días}

; iii) la actividad de la muestra transcurrido ese periodo de tiempo.

Datos: $m(^{131}_{53}\ce{I}) = 130,906125 \text{ u}; 1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$

yodo-131periodo de semidesintegraciónactividad radiactiva

En primer lugar, calculamos la constante de desintegración radiactiva ( $\lambda$ ) a partir del periodo de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ), asegurándonos de convertir el tiempo al Sistema Internacional (segundos).

T_{1/2} = 8 \text{ días} \cdot \frac{24 \text{ h}}{1 \text{ día}} \cdot \frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ h}} = 691200 \text{ s}

\lambda = \frac{\ln(2)}{T_{1/2}} = \frac{\ln(2)}{691200 \text{ s}} \approx 1,0028 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}

i) Para determinar la masa inicial de la muestra, primero calculamos el número inicial de núcleos (

N_0

) utilizando la relación entre la actividad y el número de núcleos (

A = \lambda N

).

N_0 = \frac{A_0}{\lambda} = \frac{7,6 \cdot 10^{16} \text{ Bq}}{1,0028 \cdot 10^{-6} \text{ s}^{-1}} = 7,578 \cdot 10^{22} \text{ núcleos}

Conocido el número de núcleos, la masa inicial ( $m_0$ ) se obtiene multiplicando este número por la masa de un solo átomo (proporcionada en unidades de masa atómica y convertida a kg).

m_0 = N_0 \cdot m(^{131}\ce{I}) = 7,578 \cdot 10^{22} \cdot 130,906125 \text{ u} \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg/u}

m_0 \approx 0,01646 \text{ kg} = 16,46 \text{ g}

ii) El número de núcleos que se han desintegrado (

\Delta N

) tras

t = 25 \text{ días}

es la diferencia entre los núcleos iniciales (

N_0

) y los núcleos que quedan sin desintegrar (

N

).

N = N_0 \cdot e^{-\lambda t} = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}

\Delta N = N_0 - N = N_0 (1 - 2^{-t/T_{1/2}})

\Delta N = 7,578 \cdot 10^{22} \cdot (1 - 2^{-25/8}) = 7,578 \cdot 10^{22} \cdot (1 - 0,1146) = 6,709 \cdot 10^{22} \text{ núcleos}

iii) La actividad de la muestra transcurrido ese periodo de tiempo (

A

) sigue la ley de decaimiento exponencial.

A = A_0 \cdot e^{-\lambda t} = A_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}

A = 7,6 \cdot 10^{16} \text{ Bq} \cdot 2^{-25/8} = 7,6 \cdot 10^{16} \cdot 0,1146 \approx 8,71 \cdot 10^{15} \text{ Bq}

T6: Física nuclear

Estabilidad nuclear

Teoría

2024 · Extraordinaria · Titular

D2-a

a) Explique razonadamente el concepto de defecto de masa, su expresión matemática y su relación con la estabilidad de un núcleo atómico.

Defecto de masaEnergía de enlaceEstabilidad nuclear

a) Explique razonadamente el concepto de defecto de masa, su expresión matemática y su relación con la estabilidad de un núcleo atómico.

El defecto de masa ( $\Delta m$ ) es la diferencia entre la suma de las masas de los nucleones individuales (protones y neutrones) que forman un núcleo y la masa real medida de dicho núcleo. Se observa experimentalmente que la masa de un núcleo atómico siempre es menor que la suma de las masas de sus constituyentes por separado.

\Delta m = [Z \cdot m_p + (A - Z) \cdot m_n] - M_{\text{n\acute{u}cleo}}

En esta expresión, $Z$ es el número atómico (número de protones), $A$ es el número másico (número total de nucleones), $m_p$ es la masa del protón, $m_n$ es la masa del neutrón y $M_{\text{n\acute{u}cleo}}$ es la masa del núcleo formado.Este fenómeno se explica mediante la equivalencia entre masa y energía de Einstein. Al formarse un núcleo a partir de sus nucleones, se desprende una cantidad de energía llamada energía de enlace ( $E_b$ ), la cual es equivalente al defecto de masa multiplicado por el cuadrado de la velocidad de la luz en el vacío.

E_b = \Delta m \cdot c^2

La estabilidad de un núcleo atómico está determinada por la energía de enlace por nucleón ( $E_n$ ), que es el cociente entre la energía de enlace total y el número total de nucleones ( $A$ ). Esta magnitud representa la energía necesaria para extraer un nucleón del núcleo.

E_n = \frac{E_b}{A}

Cuanto mayor es el valor de $E_n$ , más estable es el núcleo. Los núcleos con valores de $A$ intermedios (alrededor de $A = 60$ , como el hierro) presentan la mayor energía de enlace por nucleón y, por tanto, son los más estables. Los núcleos muy ligeros tienden a fusionarse y los muy pesados a fisionarse para alcanzar estados de mayor estabilidad (mayor $E_n$ ).

T6: Física nuclear

Energía de enlace

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

D2-b

b) i) Calcule la energía de enlace por nucleón para los nucleidos

{}^3_1\text{H}

y

{}^3_2\text{He}

. ii) Indique razonadamente cuál de ellos es más estable.

Datos: $m({}^3_1\text{H}) = 3,016049 \text{ u}; m({}^3_2\text{He}) = 3,016029 \text{ u}; m_n = 1,008665 \text{ u}; m_p = 1,007276 \text{ u}; c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}; 1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}$

NucleidosEnergía de enlace por nucleónUnidad de masa atómica

b) i) La energía de enlace por nucleón (

E_n

) se define como el cociente entre la energía de enlace total del núcleo (

E_b

) y su número de nucleones (

A

). La energía de enlace total se calcula a partir del defecto de masa (

\Delta m

) mediante la relación de Einstein

E_b = \Delta m \cdot c^2

.

Primero, calculamos el defecto de masa para el nucleido de tritio ${}^3_1\text{H}$ , que cuenta con $Z = 1$ protón y $A - Z = 2$ neutrones:

\Delta m = [Z \cdot m_p + (A - Z) \cdot m_n] - m({}^3_1\text{H})

\Delta m = [1 \cdot 1,007276 + 2 \cdot 1,008665] - 3,016049 = 0,008557 \text{ u}

Convertimos el defecto de masa al Sistema Internacional (kg) y calculamos la energía de enlace por nucleón para $A = 3$ :

E_b = 0,008557 \text{ u} \cdot \left(1,66 \cdot 10^{-27} \frac{\text{kg}}{\text{u}}\right) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ m/s})^2 = 1,2784 \cdot 10^{-12} \text{ J}

E_n({}^3_1\text{H}) = \frac{1,2784 \cdot 10^{-12} \text{ J}}{3} = 4,261 \cdot 10^{-13} \text{ J/nucleón}

A continuación, calculamos el defecto de masa para el helio-3 ${}^3_2\text{He}$ , compuesto por $Z = 2$ protones y $A - Z = 1$ neutrón:

\Delta m = [2 \cdot 1,007276 + 1 \cdot 1,008665] - 3,016029 = 0,007188 \text{ u}

Calculamos la energía de enlace por nucleón correspondiente:

E_b = 0,007188 \text{ u} \cdot \left(1,66 \cdot 10^{-27} \frac{\text{kg}}{\text{u}}\right) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ m/s})^2 = 1,0739 \cdot 10^{-12} \text{ J}

E_n({}^3_2\text{He}) = \frac{1,0739 \cdot 10^{-12} \text{ J}}{3} = 3,580 \cdot 10^{-13} \text{ J/nucleón}

b) ii) Un nucleido es tanto más estable cuanto mayor es su energía de enlace por nucleón, ya que esto indica que los nucleones están unidos con mayor fuerza y se requiere más energía para desintegrar el núcleo.

Comparando los valores obtenidos: $E_n({}^3_1\text{H}) = 4,261 \cdot 10^{-13} \text{ J/nucleón}$ y $E_n({}^3_2\text{He}) = 3,580 \cdot 10^{-13} \text{ J/nucleón}$ . Dado que el valor para el tritio es superior, se concluye razonadamente que el ${}^3_1\text{H}$ es el nucleido más estable de los dos.

T6: Física nuclear

Radiactividad

Teoría

2024 · Ordinaria · Reserva

D2-a

a) Justifique razonadamente la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: i) La emisión de radiación

\gamma

por un núcleo modifica su número atómico. ii) Es posible desviar las emisiones

\alpha

mediante la acción de un campo eléctrico externo.

Radiación gammaPartículas alfa

a) i) La afirmación es FALSA. La radiación

\gamma

consiste en la emisión de fotones de alta energía (ondas electromagnéticas) por parte de un núcleo que se encuentra en un estado excitado. Al ser radiación electromagnética, no posee masa en reposo ni carga eléctrica.

El proceso de desexcitación se representa mediante la siguiente ecuación nuclear, donde se observa que ni el número atómico $Z$ (número de protones) ni el número másico $A$ (número total de nucleones) sufren variación alguna:

\ce{^{A}_{Z}X^*}

->

\ce{^{A}_{Z}X + \gamma}

a) ii) La afirmación es VERDADERA. Las emisiones

\alpha

están constituidas por núcleos de helio-4, es decir, agrupaciones de dos protones y dos neutrones, lo que les confiere una carga eléctrica positiva neta de

+2e

.

Al tratarse de partículas cargadas, cuando atraviesan una región donde existe un campo eléctrico $\vec{E}$ , experimentan una fuerza eléctrica definida por la expresión:

\vec{F} = q \cdot \vec{E}

Dado que $q \neq 0$ , la fuerza comunicará a la partícula una aceleración en la dirección del campo (o sentido opuesto si la carga fuera negativa), desviándola de su trayectoria rectilínea original.

T6: Física nuclear

Radiactividad

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

D2-b

b) En una muestra radiactiva se desintegran las cuatro quintas partes de sus núcleos en tres días. Determine razonadamente: i) su periodo de semidesintegración; ii) el tiempo necesario para que la actividad inicial de la muestra se reduzca al

15\%

.

Periodo de semidesintegraciónActividad radiactiva

b) i) Para determinar el periodo de semidesintegración, primero utilizamos la ley de desintegración radiactiva para hallar la constante de desintegración

\lambda

.

Si se han desintegrado las cuatro quintas partes de los núcleos iniciales, el número de núcleos que permanecen en la muestra ( $N$ ) es una quinta parte del inicial ( $N_0$ ):

N = N_0 - \frac{4}{5}N_0 = \frac{1}{5}N_0

Sustituimos esta relación en la ley de desintegración radiactiva $N = N_0 e^{-\lambda t}$ para $t = 3 \text{ días}$ :

\frac{1}{5}N_0 = N_0 e^{-\lambda \cdot 3}

Simplificamos y despejamos $\lambda$ aplicando logaritmos naturales:

\ln\left(\frac{1}{5}\right) = -3\lambda \implies -\ln(5) = -3\lambda \implies \lambda = \frac{\ln(5)}{3} \approx 0,536 \text{ días}^{-1}

El periodo de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ) se define como el tiempo necesario para que el número de núcleos se reduzca a la mitad, y su relación con la constante de desintegración es:

T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} = \frac{3 \cdot \ln(2)}{\ln(5)}

T_{1/2} \approx 1,29 \text{ días}

b) ii) Para calcular el tiempo necesario para que la actividad se reduzca al

15\%

, utilizamos la ley de evolución de la actividad, que sigue la misma forma exponencial que el número de núcleos.

La condición es que la actividad final $A$ sea $A = 0,15 A_0$ . Aplicamos la fórmula $A = A_0 e^{-\lambda t}$ :

0,15 A_0 = A_0 e^{-\lambda t} \implies 0,15 = e^{-\lambda t}

Tomamos logaritmos naturales para despejar el tiempo $t$ :

\ln(0,15) = -\lambda t \implies t = \frac{-\ln(0,15)}{\lambda}

Sustituyendo el valor de $\lambda$ obtenido anteriormente:

t = \frac{-\ln(0,15)}{0,536} \approx 3,54 \text{ días}

T6: Física nuclear

Reacciones nucleares

Teoría

2024 · Ordinaria · Titular

1D-a

a) Justifique, indicando los principios que aplica, cuál de las reacciones nucleares propuestas no produce los productos mencionados: i)

\ce{^{14}_{7}N + ^{1}_{0}n -> ^{14}_{6}C + ^{1}_{1}p}

ii)

\ce{^{28}_{14}Si + \alpha -> ^{29}_{15}P + ^{1}_{0}n}

Conservación cargaConservación nucleonesTransmutación nuclear

a) Para determinar qué reacción nuclear es incorrecta, aplicamos las leyes de conservación de la carga eléctrica (número atómico

Z

) y del número de nucleones (número másico

A

). En cualquier proceso nuclear, la suma de los valores iniciales de

A

y

Z

debe ser igual a la suma de los valores finales.

Analizamos la reacción i): $\ce{^{14}_{7}N + ^{1}_{0}n -> ^{14}_{6}C + ^{1}_{1}p}$ . Comprobamos los balances de nucleones y de carga:

A: 14 + 1 = 14 + 1 \Rightarrow 15 = 15

Z: 7 + 0 = 6 + 1 \Rightarrow 7 = 7

Puesto que se cumplen ambos principios de conservación, la reacción i) es correcta. A continuación, analizamos la reacción ii): $\ce{^{28}_{14}Si + \alpha -> ^{29}_{15}P + ^{1}_{0}n}$ . Identificamos la partícula alfa como un núcleo de helio $\ce{^{4}_{2}He}$ :

A: 28 + 4 \neq 29 + 1 \Rightarrow 32 \neq 30

Z: 14 + 2 \neq 15 + 0 \Rightarrow 16 \neq 15

La reacción nuclear que no produce los productos mencionados es la ii), debido a que no se conservan ni el número de nucleones ni la carga eléctrica total del sistema.