T6: Física nuclear · Radiactividad — FISICA PEvAU Andalucía 2024

Radiactividad

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

D2-b

b) En una muestra radiactiva se desintegran las cuatro quintas partes de sus núcleos en tres días. Determine razonadamente: i) su periodo de semidesintegración; ii) el tiempo necesario para que la actividad inicial de la muestra se reduzca al

15\%

Periodo de semidesintegraciónActividad radiactiva

b) i) Para determinar el periodo de semidesintegración, primero utilizamos la ley de desintegración radiactiva para hallar la constante de desintegración

\lambda

Si se han desintegrado las cuatro quintas partes de los núcleos iniciales, el número de núcleos que permanecen en la muestra ( $N$ ) es una quinta parte del inicial ( $N_0$ ):

N = N_0 - \frac{4}{5}N_0 = \frac{1}{5}N_0

Sustituimos esta relación en la ley de desintegración radiactiva $N = N_0 e^{-\lambda t}$ para $t = 3 \text{ días}$ :

\frac{1}{5}N_0 = N_0 e^{-\lambda \cdot 3}

Simplificamos y despejamos $\lambda$ aplicando logaritmos naturales:

\ln\left(\frac{1}{5}\right) = -3\lambda \implies -\ln(5) = -3\lambda \implies \lambda = \frac{\ln(5)}{3} \approx 0,536 \text{ días}^{-1}

El periodo de semidesintegración ( $T_{1/2}$ ) se define como el tiempo necesario para que el número de núcleos se reduzca a la mitad, y su relación con la constante de desintegración es:

T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} = \frac{3 \cdot \ln(2)}{\ln(5)}

T_{1/2} \approx 1,29 \text{ días}

b) ii) Para calcular el tiempo necesario para que la actividad se reduzca al

15\%

, utilizamos la ley de evolución de la actividad, que sigue la misma forma exponencial que el número de núcleos.

La condición es que la actividad final $A$ sea $A = 0,15 A_0$ . Aplicamos la fórmula $A = A_0 e^{-\lambda t}$ :

0,15 A_0 = A_0 e^{-\lambda t} \implies 0,15 = e^{-\lambda t}

Tomamos logaritmos naturales para despejar el tiempo $t$ :

\ln(0,15) = -\lambda t \implies t = \frac{-\ln(0,15)}{\lambda}

Sustituyendo el valor de $\lambda$ obtenido anteriormente:

t = \frac{-\ln(0,15)}{0,536} \approx 3,54 \text{ días}