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T6: Física nuclear
Radiactividad y energía
Problema
2024 · Extraordinaria · Reserva
D1-b
Examen
b) i) En la cadena de desintegración del núcleo X86222X2862222Rn\ce{^{222}_{86}Rn} se emiten partículas alfa y beta, obteniéndose un nuevo núcleo X82206X2822206Pb\ce{^{206}_{82}Pb}. Escriba la reacción nuclear correspondiente y determine justificadamente el número de partículas alfa y beta emitidas. ii) Calcule razonadamente la energía necesaria para descomponer en protones y neutrones 10 g10 \text{ g} de X86222X2862222Rn\ce{^{222}_{86}Rn}.

Datos: m(X86222X2862222Rn)=222,017578 um(\ce{^{222}_{86}Rn}) = 222,017578 \text{ u}; mp=1,007276 um_p = 1,007276 \text{ u}; mn=1,008665 um_n = 1,008665 \text{ u}; 1 u=1,66⋅10−27 kg1 \text{ u} = 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; c=3⋅108 m⋅s−1c = 3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Desintegración alfa y betaDefecto de masaEnergía de enlace
b) i) En una cadena de desintegración nuclear, se deben cumplir las leyes de conservación del número másico (A) y del número atómico (Z). La reacción general para la transformación del radón en plomo emitiendo xx partículas alfa (X24X2224He\ce{^4_2He}) y yy partículas beta (X−10X2−120e\ce{^0_{-1}e}) es:
X86222X2862222Rn−>X82206X2822206Pb+xX24X2224He+yX−10X2−120e\ce{^{222}_{86}Rn} -> \ce{^{206}_{82}Pb} + x \ce{^4_2He} + y \ce{^0_{-1}e}

Planteamos las ecuaciones de conservación para determinar el número de partículas emitidas:

{Balance de A: 222=206+4x+0yBalance de Z: 86=82+2x−1y\begin{cases} \text{Balance de A: } 222 = 206 + 4x + 0y \\ \text{Balance de Z: } 86 = 82 + 2x - 1y \end{cases}

De la primera ecuación despejamos el número de partículas α\alpha:

222−206=4x⇒16=4x⇒x=4 partıˊculas α222 - 206 = 4x \Rightarrow 16 = 4x \Rightarrow x = 4 \text{ partículas } \alpha

Sustituimos el valor de xx en la segunda ecuación para hallar el número de partículas β\beta:

86=82+2(4)−y⇒86=82+8−y⇒86=90−y⇒y=4 partıˊculas β86 = 82 + 2(4) - y \Rightarrow 86 = 82 + 8 - y \Rightarrow 86 = 90 - y \Rightarrow y = 4 \text{ partículas } \beta
ii) La energía necesaria para descomponer el núcleo en sus nucleones (protones y neutrones) es la energía de enlace. Primero calculamos el defecto de masa (Δm\Delta m) para un núcleo de X86222X2862222Rn\ce{^{222}_{86}Rn}, que posee Z=86Z = 86 protones y N=222−86=136N = 222 - 86 = 136 neutrones:
Δm=[Z⋅mp+(A−Z)⋅mn]−m(X86222X2862222Rn)\Delta m = [Z \cdot m_p + (A - Z) \cdot m_n] - m(\ce{^{222}_{86}Rn})
Δm=[86⋅1,007276+136⋅1,008665]−222,017578\Delta m = [86 \cdot 1,007276 + 136 \cdot 1,008665] - 222,017578
Δm=[86,625736+137,178440]−222,017578=1,786598 u\Delta m = [86,625736 + 137,178440] - 222,017578 = 1,786598 \text{ u}

Calculamos la energía de enlace por núcleo (EbE_b) usando la relación de Einstein E=Δm⋅c2E = \Delta m \cdot c^2, convirtiendo el defecto de masa a kilogramos:

Eb=1,786598 u⋅1,66⋅10−27 kg1 u⋅(3⋅108 m⋅s−1)2=2,669177⋅10−10 J/nuˊcleoE_b = 1,786598 \text{ u} \cdot \frac{1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}}{1 \text{ u}} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1})^2 = 2,669177 \cdot 10^{-10} \text{ J/núcleo}

Determinamos el número de núcleos (NN) presentes en 10 g10 \text{ g} de radón:

N=mtotalmnucleo=0,010 kg222,017578⋅1,66⋅10−27 kg/nuˊcleo=2,713342⋅1022 nuˊcleosN = \frac{m_{total}}{m_{nucleo}} = \frac{0,010 \text{ kg}}{222,017578 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg/núcleo}} = 2,713342 \cdot 10^{22} \text{ núcleos}

Finalmente, la energía total necesaria para descomponer la muestra es:

Etotal=N⋅Eb=2,713342⋅1022⋅2,669177⋅10−10=7,242⋅1012 JE_{total} = N \cdot E_b = 2,713342 \cdot 10^{22} \cdot 2,669177 \cdot 10^{-10} = 7,242 \cdot 10^{12} \text{ J}