Espacion afín y euclideo

Primero, expresamos ambas rectas en su forma paramétrica.Recta $r \equiv x + 1 = y - a = -z$:

De donde obtenemos la ecuación paramétrica de $r$:

Un punto de la recta $r$ es $R_0(-1, a, 0)$ y su vector director es $\vec{v_r} = (1, 1, -1)$.Recta $$s \equiv \begin{cases} x = 5 + 2\lambda \\ y = -3 \\ z = 2 - \lambda \end{cases}$$ Un punto de la recta $s$ es $S_0(5, -3, 2)$ y su vector director es $\vec{v_s} = (2, 0, -1)$.Para que las rectas $r$ y $s$ se corten, debe existir un punto en común, es decir, deben coincidir sus coordenadas para ciertos valores de $\mu$ y $\lambda$:

De la ecuación (3) despejamos $\lambda$ en función de $\mu$:

Sustituimos esta expresión de $\lambda$ en la ecuación (1):

Ahora, sustituimos el valor de $\mu$ en la expresión de $\lambda$:

Finalmente, sustituimos el valor de $\mu$ en la ecuación (2) para encontrar $a$:

Para que las rectas se corten, el valor de $a$ debe ser $7$.Para encontrar el punto de corte, sustituimos $\lambda = -8$ en las ecuaciones paramétricas de la recta $s$ (también se podría usar $\mu = -10$ y $a=7$ en $r$):

El punto de corte es $Q(-11, -3, 10)$.

El plano que contiene a la recta $s$ debe contener un punto de $s$ (por ejemplo, $S_0(5, -3, 2)$) y su vector director $\vec{v_s} = (2, 0, -1)$. Además, el plano debe pasar por el punto $P(8, -7, 2)$.Podemos formar un segundo vector director del plano uniendo el punto $S_0$ con el punto $P$:

Así, el plano queda definido por el punto $S_0(5, -3, 2)$ y los vectores directores $\vec{v_s} = (2, 0, -1)$ y $\vec{S_0P} = (3, -4, 0)$. La ecuación general del plano se obtiene igualando a cero el determinante formado por un vector genérico $(x - x_0, y - y_0, z - z_0)$ y los dos vectores directores.

Multiplicando por $-1$ para obtener coeficientes positivos:

La ecuación del plano es $4x + 3y + 8z - 27 = 0$.

Primero, expresamos la recta $r$ en sus ecuaciones paramétricas. Dada la expresión $x = \frac{y}{3} = z - 1$, podemos igualar cada parte a un parámetro $\lambda$:

Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi \equiv x + y - z = 2$ para encontrar el valor de $\lambda$ en el punto de intersección:

Ahora, sustituimos el valor de $\lambda = 1$ en las ecuaciones paramétricas de la recta para obtener las coordenadas del punto de intersección $P$:

El punto de intersección es $P(1, 3, 2)$.

Para hallar el punto simétrico $Q'(x', y', z')$ de $Q$ respecto del plano $\pi$, seguimos estos pasos:1. Hallamos la recta $s$ que pasa por $Q$ y es perpendicular al plano $\pi$. El vector normal del plano $\vec{n}_{\pi} = (1, 1, -1)$ es el vector director de esta recta.

2. Calculamos el punto de intersección $M$ de la recta $s$ con el plano $\pi$. Este punto es la proyección de $Q$ sobre el plano.Sustituimos las ecuaciones de la recta $s$ en la ecuación del plano $\pi \equiv x + y - z = 2$:

Sustituimos $\mu = -1$ en las ecuaciones paramétricas de la recta $s$ para encontrar el punto $M$:

El punto de proyección es $M(1, 5, 4)$.3. El punto $M$ es el punto medio del segmento $QQ'$, donde $Q'(x', y', z')$ es el punto simétrico.

Igualamos las coordenadas:

El punto simétrico de $Q$ respecto del plano $\pi$ es $Q'(0, 4, 5)$.

Primero, vamos a expresar las rectas $r$ y $s$ en su forma paramétrica para identificar un punto y su vector director.Para la recta $$r \equiv \begin{cases} x = 0 \ z = 0 \end{cases}$$:Un punto en $r$ es $P_r = (0, 0, 0)$. Si tomamos $y = \lambda$, las ecuaciones paramétricas son $x=0$, $y=\lambda$, $z=0$. Por lo tanto, su vector director es $\vec{v_r} = (0, 1, 0)$.Para la recta $$s \equiv \begin{cases} x + y = 1 \ x - y = 1 \end{cases}$$:Sumando ambas ecuaciones, obtenemos $(x+y) + (x-y) = 1+1 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$. Sustituyendo $x=1$ en la primera ecuación, tenemos $1+y=1 \Rightarrow y=0$. Si tomamos $z = \mu$, las ecuaciones paramétricas son $x=1$, $y=0$, $z=\mu$. Por lo tanto, un punto en $s$ es $P_s = (1, 0, 0)$ y su vector director es $\vec{v_s} = (0, 0, 1)$.Resumen de las rectas:

El plano $\pi_1$ contiene a la recta $r$, lo que implica que el punto $P_r = (0, 0, 0)$ pertenece al plano y el vector director $\vec{v_r} = (0, 1, 0)$ es un vector director del plano.Además, el plano $\pi_1$ es paralelo a la recta $s$, lo que significa que el vector director de $s$, $\vec{v_s} = (0, 0, 1)$, es también un vector director del plano.Por lo tanto, el plano $\pi_1$ está definido por el punto $P_r = (0, 0, 0)$ y los vectores directores $\vec{v_r} = (0, 1, 0)$ y $\vec{v_s} = (0, 0, 1)$. El vector normal al plano, $\vec{n_1}$, se obtiene mediante el producto vectorial de $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$:

La ecuación general del plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Usando $\vec{n_1} = (1, 0, 0)$, tenemos $1x + 0y + 0z + D = 0 \Rightarrow x + D = 0$.Como el punto $P_r = (0, 0, 0)$ pertenece al plano, sustituimos sus coordenadas:

Así, la ecuación del plano $\pi_1$ es:

El plano $\pi_2$ contiene a la recta $r$, lo que implica que el punto $P_r = (0, 0, 0)$ pertenece al plano y el vector director $\vec{v_r} = (0, 1, 0)$ es un vector director del plano.Además, el plano $\pi_2$ es perpendicular a la recta $s$. Esto significa que el vector normal del plano $\pi_2$, $\vec{n_2}$, debe ser paralelo al vector director de la recta $s$, $\vec{v_s} = (0, 0, 1)$. Podemos tomar $\vec{n_2} = \vec{v_s} = (0, 0, 1)$.La ecuación general del plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Usando $\vec{n_2} = (0, 0, 1)$, tenemos $0x + 0y + 1z + D = 0 \Rightarrow z + D = 0$.Como el punto $P_r = (0, 0, 0)$ pertenece al plano, sustituimos sus coordenadas:

Así, la ecuación del plano $\pi_2$ es:

De la segunda ecuación, sabemos que $y=1$. De la primera, despejamos $z$: $z = 1 - 2x$. Si asignamos $x = \lambda$, entonces el punto genérico de la recta $r$ es $P_r(\lambda, 1, 1 - 2\lambda)$. Las ecuaciones de los planos son:

La fórmula para la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es $d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$. Calculamos la distancia de $P_r$ a $\pi_1$:

Calculamos la distancia de $P_r$ a $\pi_2$:

Para que los puntos equidisten, igualamos las distancias:

Esto nos lleva a dos casos: Caso 1: $\lambda + 3 = 3\lambda - 2$

Sustituyendo $\lambda$ en el punto genérico $P_r$: $P_1\left(\frac{5}{2}, 1, 1 - 2\left(\frac{5}{2}\right)\right) = P_1\left(\frac{5}{2}, 1, 1 - 5\right) = P_1\left(\frac{5}{2}, 1, -4\right)$. Caso 2: $\lambda + 3 = -(3\lambda - 2)$

Sustituyendo $\lambda$ en el punto genérico $P_r$: $P_2\left(-\frac{1}{4}, 1, 1 - 2\left(-\frac{1}{4}\right)\right) = P_2\left(-\frac{1}{4}, 1, 1 + \frac{1}{2}\right) = P_2\left(-\frac{1}{4}, 1, \frac{3}{2}\right)$. Los puntos de la recta $r$ que equidistan de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ son $P_1\left(\frac{5}{2}, 1, -4\right)$ y $P_2\left(-\frac{1}{4}, 1, \frac{3}{2}\right)$.

El vector normal del plano $\pi_2 \equiv x - z - 1 = 0$ es $\vec{n_2} = (1, 0, -1)$.El ángulo $\alpha$ entre dos planos viene dado por la fórmula:

Calculamos el producto escalar de los vectores normales:

Calculamos los módulos de los vectores normales:

Sustituimos en la fórmula del coseno:

Para encontrar el ángulo, aplicamos la función arcocoseno:

El ángulo que forman los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ es $60^\circ$.

La ecuación del plano dado es $\pi \equiv 2x + y - 2z - 2 = 0$. Un plano paralelo a $\pi$ tendrá una ecuación de la forma $2x + y - 2z + D = 0$. La distancia entre dos planos paralelos $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ y $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ viene dada por la fórmula:

En este caso, $A=2$, $B=1$, $C=-2$, $D_1 = -2$ (del plano $\pi$) y $D_2 = D$ (del plano paralelo). La distancia $d$ es 2 unidades.

Esto nos lleva a dos posibles casos:Caso 1: $-2 - D = 6$

El primer plano paralelo es $\pi_1 \equiv 2x + y - 2z - 8 = 0$.Caso 2: $-2 - D = -6$

El segundo plano paralelo es $\pi_2 \equiv 2x + y - 2z + 4 = 0$.

Los vértices del tetraedro son el origen $O(0,0,0)$ y los puntos de corte del plano $\pi \equiv 2x + y - 2z - 2 = 0$ con los ejes coordenados.Punto de corte con el eje X (cuando $y=0$, $z=0$):

El punto es $A(1,0,0)$.Punto de corte con el eje Y (cuando $x=0$, $z=0$):

El punto es $B(0,2,0)$.Punto de corte con el eje Z (cuando $x=0$, $y=0$):

El punto es $C(0,0,-1)$.Los vértices del tetraedro son $O(0,0,0)$, $A(1,0,0)$, $B(0,2,0)$ y $C(0,0,-1)$. El volumen de un tetraedro con un vértice en el origen y los otros tres vértices formando los vectores $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ y $\vec{OC}$ se calcula como un sexto del valor absoluto del producto mixto de estos tres vectores.

El volumen del tetraedro es $\frac{1}{3}$ unidades cúbicas.

Primero, expresamos las rectas en sus formas vectoriales o paramétricas.

De la ecuación $r \equiv x = 1 - y = z$, podemos igualar cada parte a un parámetro $\lambda$:

Un punto de la recta $r$ es $P_r(0, 1, 0)$ (tomando $\lambda=0$). Su vector director es $\vec{v_r} = (1, -1, 1)$.

La recta $s$ viene dada por la intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v_s}$ se obtiene calculando el producto vectorial de los vectores normales de los planos:

Podemos simplificar el vector director a $\vec{v_s} = (1, 5, 2)$ (dividiendo por $-2$). Para encontrar un punto de la recta $s$, $P_s$, hacemos $z=0$ en el sistema de ecuaciones:

Sumando ambas ecuaciones, obtenemos $4x = 2 \Rightarrow x = 1/2$. Sustituyendo en la primera ecuación: $1/2 + y = 4 \Rightarrow y = 7/2$. Así, un punto de la recta $s$ es $P_s(1/2, 7/2, 0)$.

Tenemos: $r$: $P_r(0, 1, 0)$, $\vec{v_r} = (1, -1, 1)$ $s$: $P_s(1/2, 7/2, 0)$, $\vec{v_s} = (1, 5, 2)$ 1. Comparamos los vectores directores $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$:

Como los vectores directores no son proporcionales, las rectas no son paralelas ni coincidentes. Por tanto, se cortan o se cruzan.2. Formamos el vector $\vec{P_r P_s}$:

3. Calculamos el producto mixto de $(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s})$ para determinar si son coplanarios:

Dado que el producto mixto es $-6 \neq 0$, los tres vectores no son coplanarios. Por lo tanto, las rectas $r$ y $s$ se cruzan.

Un plano $\pi$ que contiene a la recta $s$ y es paralelo a la recta $r$ tendrá como punto de paso un punto de $s$ (por ejemplo, $P_s$) y como vectores directores los vectores directores de ambas rectas, $\vec{v_s}$ y $\vec{v_r}$.Punto del plano: $P_s(1/2, 7/2, 0)$ Vectores directores del plano: $\vec{v_s} = (1, 5, 2)$ y $\vec{v_r} = (1, -1, 1)$ La ecuación general del plano se puede obtener a partir del determinante:

La ecuación del plano es $7x + y - 6z - 7 = 0$.