Para que los puntos $A(-1, 3, 2)$, $B(2, -1, -1)$ y $C(a - 2, 7, b)$ estén alineados, los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ deben ser paralelos (proporcionales).Primero, calculamos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$:

Para que sean paralelos, sus componentes deben ser proporcionales. Es decir, debe existir un escalar $k$ tal que $\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}$:

Comparando las componentes, obtenemos un sistema de ecuaciones:

De la ecuación (2), podemos hallar el valor de $k$:

Ahora, sustituimos $k = -1$ en las ecuaciones (1) y (3):

Por lo tanto, los valores de $a$ y $b$ para que los puntos estén alineados son $a = -2$ y $b = 5$.

Para $a = b = 1$, los puntos son:

Para encontrar la ecuación del plano que contiene a estos tres puntos, necesitamos un punto del plano (por ejemplo, $A$) y un vector normal al plano. El vector normal se obtiene calculando el producto vectorial de dos vectores no paralelos que estén en el plano, como $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$.

Calculamos el vector normal $\vec{n}$ como el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{AC}$:

La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal. Así, la ecuación del plano es $16x + 3y + 12z + D = 0$. Para encontrar $D$, sustituimos las coordenadas de un punto del plano, por ejemplo, $A(-1, 3, 2)$:

La ecuación del plano que contiene a los puntos $A, B$ y $C$ es:

La recta que buscamos pasa por el origen de coordenadas $O(0, 0, 0)$ y es perpendicular a este plano. Por lo tanto, el vector director de la recta es el vector normal del plano, $\vec{v_r} = \vec{n} = (16, 3, 12)$.La ecuación de la recta en forma paramétrica es:

Simplificando, la ecuación de la recta es: