Primero, expresamos las rectas en sus formas vectoriales o paramétricas.

De la ecuación $r \equiv x = 1 - y = z$, podemos igualar cada parte a un parámetro $\lambda$:

Un punto de la recta $r$ es $P_r(0, 1, 0)$ (tomando $\lambda=0$). Su vector director es $\vec{v_r} = (1, -1, 1)$.

La recta $s$ viene dada por la intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v_s}$ se obtiene calculando el producto vectorial de los vectores normales de los planos:

Podemos simplificar el vector director a $\vec{v_s} = (1, 5, 2)$ (dividiendo por $-2$). Para encontrar un punto de la recta $s$, $P_s$, hacemos $z=0$ en el sistema de ecuaciones:

Sumando ambas ecuaciones, obtenemos $4x = 2 \Rightarrow x = 1/2$. Sustituyendo en la primera ecuación: $1/2 + y = 4 \Rightarrow y = 7/2$. Así, un punto de la recta $s$ es $P_s(1/2, 7/2, 0)$.

Tenemos: $r$: $P_r(0, 1, 0)$, $\vec{v_r} = (1, -1, 1)$ $s$: $P_s(1/2, 7/2, 0)$, $\vec{v_s} = (1, 5, 2)$ 1. Comparamos los vectores directores $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$:

Como los vectores directores no son proporcionales, las rectas no son paralelas ni coincidentes. Por tanto, se cortan o se cruzan.2. Formamos el vector $\vec{P_r P_s}$:

3. Calculamos el producto mixto de $(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s})$ para determinar si son coplanarios:

Dado que el producto mixto es $-6 \neq 0$, los tres vectores no son coplanarios. Por lo tanto, las rectas $r$ y $s$ se cruzan.

Un plano $\pi$ que contiene a la recta $s$ y es paralelo a la recta $r$ tendrá como punto de paso un punto de $s$ (por ejemplo, $P_s$) y como vectores directores los vectores directores de ambas rectas, $\vec{v_s}$ y $\vec{v_r}$.Punto del plano: $P_s(1/2, 7/2, 0)$ Vectores directores del plano: $\vec{v_s} = (1, 5, 2)$ y $\vec{v_r} = (1, -1, 1)$ La ecuación general del plano se puede obtener a partir del determinante:

La ecuación del plano es $7x + y - 6z - 7 = 0$.