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T3: Geometría
Geometría analítica del espacio
Problema
2020 · Ordinaria · Reserva
4
Examen

Considera el tetraedro de vértices A(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,3)A(0, 0, 0), B(1, 1, 0), C(0, 1, 3) y D(1,0,3)D(1, 0, 3).

a) Calcula el volumen de dicho tetraedro.b) Calcula la medida de la altura trazada desde el vértice AA de dicho tetraedro.
TetraedroVolumenAltura+1
a) Calcula el volumen de dicho tetraedro.

Para calcular el volumen del tetraedro, consideraremos los vectores formados a partir de uno de los vértices, por ejemplo, el vértice A(0,0,0)A(0, 0, 0). Los vectores son:

AB⃗=B−A=(1,1,0)−(0,0,0)=(1,1,0)\vec{AB} = B - A = (1, 1, 0) - (0, 0, 0) = (1, 1, 0)
AC⃗=C−A=(0,1,3)−(0,0,0)=(0,1,3)\vec{AC} = C - A = (0, 1, 3) - (0, 0, 0) = (0, 1, 3)
AD⃗=D−A=(1,0,3)−(0,0,0)=(1,0,3)\vec{AD} = D - A = (1, 0, 3) - (0, 0, 0) = (1, 0, 3)

El volumen del tetraedro se calcula como un sexto del valor absoluto del producto mixto de estos tres vectores:

V=16∣det⁡(AB⃗,AC⃗,AD⃗)∣V = \frac{1}{6} |\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})|

Calculamos el determinante:

det⁡(AB⃗,AC⃗,AD⃗)=∣110013103∣\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix}
=1⋅(1⋅3−3⋅0)−1⋅(0⋅3−3⋅1)+0⋅(0⋅0−1⋅1)= 1 \cdot (1 \cdot 3 - 3 \cdot 0) - 1 \cdot (0 \cdot 3 - 3 \cdot 1) + 0 \cdot (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1)
=1⋅(3−0)−1⋅(0−3)+0= 1 \cdot (3 - 0) - 1 \cdot (0 - 3) + 0
=3−(−3)=6= 3 - (-3) = 6

Por lo tanto, el volumen del tetraedro es:

V=16∣6∣=1 u3V = \frac{1}{6} |6| = 1 \text{ u}^3
b) Calcula la medida de la altura trazada desde el vértice AA de dicho tetraedro.

La fórmula del volumen de un tetraedro es V=13⋅Aˊrea de la base⋅hV = \frac{1}{3} \cdot \text{Área de la base} \cdot h, donde hh es la altura. En este caso, la altura hAh_A es la distancia desde el vértice AA a la base formada por el triángulo BCDBCD.Primero, calculamos el área de la base BCDBCD. Necesitamos dos vectores de este triángulo, por ejemplo, BC⃗\vec{BC} y BD⃗\vec{BD}:

BC⃗=C−B=(0,1,3)−(1,1,0)=(−1,0,3)\vec{BC} = C - B = (0, 1, 3) - (1, 1, 0) = (-1, 0, 3)
BD⃗=D−B=(1,0,3)−(1,1,0)=(0,−1,3)\vec{BD} = D - B = (1, 0, 3) - (1, 1, 0) = (0, -1, 3)

El área del triángulo BCDBCD es la mitad del módulo del producto vectorial de estos dos vectores:

BC⃗×BD⃗=∣ijk−1030−13∣\vec{BC} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 3 \end{vmatrix}
=i(0⋅3−3⋅(−1))−j(−1⋅3−3⋅0)+k(−1⋅(−1)−0⋅0)= \mathbf{i}(0 \cdot 3 - 3 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(-1 \cdot 3 - 3 \cdot 0) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0)
=i(3)−j(−3)+k(1)=(3,3,1)= \mathbf{i}(3) - \mathbf{j}(-3) + \mathbf{k}(1) = (3, 3, 1)

El módulo de este vector es:

∣BC⃗×BD⃗∣=32+32+12=9+9+1=19|\vec{BC} \times \vec{BD}| = \sqrt{3^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}

El área de la base BCDBCD es:

AˊreaBCD=12∣BC⃗×BD⃗∣=192\text{Área}_{BCD} = \frac{1}{2} |\vec{BC} \times \vec{BD}| = \frac{\sqrt{19}}{2}

Ahora, usamos la fórmula del volumen para despejar la altura hAh_A:

V=13⋅AˊreaBCD⋅hAV = \frac{1}{3} \cdot \text{Área}_{BCD} \cdot h_A
1=13⋅192⋅hA1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{19}}{2} \cdot h_A
1=196hA1 = \frac{\sqrt{19}}{6} h_A

Despejamos hAh_A:

hA=619h_A = \frac{6}{\sqrt{19}}

Racionalizando la expresión, obtenemos:

hA=61919 uh_A = \frac{6\sqrt{19}}{19} \text{ u}