Para estudiar la posición relativa de las rectas $r$ y $s$, primero extraemos un punto y un vector director de cada una.Recta $r \equiv x - 1 = y - 2 = \frac{z - 1}{a}$:Punto de $r$: $P_r = (1, 2, 1)$ Vector director de $r$: $\vec{v_r} = (1, 1, a)$ Recta $s \equiv \frac{x - 3}{-a} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z + 1}{2}$:Punto de $s$: $P_s = (3, 3, -1)$ Vector director de $s$: $\vec{v_s} = (-a, -1, 2)$ Calculamos el vector que une un punto de cada recta:

Analizamos si las rectas son paralelas. Serán paralelas si sus vectores directores son proporcionales, es decir, si $\vec{v_r} = k \cdot \vec{v_s}$ para algún $k$.

De $\frac{1}{-1} = -1$, se deduce que $k = -1$. Sustituyendo esto en las otras igualdades:

Como obtenemos dos valores distintos para $a$ ($1$ y $-2$), los vectores directores no son proporcionales para ningún valor de $a$. Por lo tanto, las rectas $r$ y $s$ nunca son paralelas.Ahora, para determinar si las rectas se cortan o se cruzan, calculamos el producto mixto de los tres vectores $\vec{P_r P_s}$, $\vec{v_r}$ y $\vec{v_s}$. Las rectas se cortan si el producto mixto es cero, y se cruzan si es distinto de cero.

Para que las rectas se corten, el producto mixto debe ser cero:

Conclusión sobre la posición relativa:1. Si $a = 2$ o $a = -2$: El producto mixto es cero, por lo que las rectas se cortan.2. Si $a \neq \pm 2$: El producto mixto es distinto de cero, por lo que las rectas se cruzan.

Primero, hallamos el punto de corte de las rectas $r$ y $s$ para $a = 2$. Expresamos las ecuaciones paramétricas de cada recta:Para $a = 2$:Recta $r$: $x - 1 = y - 2 = \frac{z - 1}{2} = \lambda$

Recta $s$: $\frac{x - 3}{-2} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z + 1}{2} = \mu$

Igualamos las coordenadas para encontrar el punto de corte:

Simplificando el sistema:

De la ecuación (2) obtenemos $\lambda = 1 - \mu$. Sustituimos en (1):

Sustituyendo $\mu = 1$ en $\lambda = 1 - \mu$, obtenemos $\lambda = 1 - 1 = 0$.Verificamos con la ecuación (3): $2(0) - 2(1) = -2$, lo cual es consistente. Por lo tanto, los valores de los parámetros son $\lambda = 0$ y $\mu = 1$.Sustituimos $\lambda = 0$ en las ecuaciones de $r$ para obtener el punto de corte $P_I$:

Ahora, la recta que buscamos es perpendicular a $r$ y $s$. Su vector director $\vec{v_t}$ será el producto vectorial de los vectores directores de $r$ y $s$ para $a = 2$.Para $a = 2$:

Así, el vector director de la nueva recta es $\vec{v_t} = (4, -6, 1)$.La recta buscada pasa por $P_I = (1, 2, 1)$ y tiene vector director $\vec{v_t} = (4, -6, 1)$. Sus ecuaciones continuas son:

Y sus ecuaciones paramétricas son: