T3: Geometría · Planos en el espacio — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2020

Planos en el espacio

Problema

2020 · Ordinaria · Titular

Se considera el punto $A(1, -2, 0)$ y la recta

r \equiv \begin{cases} x + y = 0 \\ y - 3 z + 2 = 0 \end{cases}

a) Calcula la ecuación del plano que pasa por

A

y es perpendicular a

r

.b) Calcula la ecuación del plano que pasa por

A

y contiene a

r

PlanosRectasPerpendicularidad+1

a) Calcula la ecuación del plano que pasa por

A

y es perpendicular a

r

Primero, expresamos la recta $r$ de forma paramétrica o, equivalentemente, encontramos su vector director. La recta $r$ viene dada por la intersección de dos planos, por lo que su vector director $\vec{v_r}$ es perpendicular a los vectores normales de ambos planos.Los planos son:

P_1: x + y = 0 \implies \vec{n_1} = (1, 1, 0)

P_2: y - 3z + 2 = 0 \implies \vec{n_2} = (0, 1, -3)

Calculamos el vector director de $r$ mediante el producto vectorial de $\vec{n_1}$ y $\vec{n_2}$ :

\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -3 \end{vmatrix} = (-3 - 0)\mathbf{i} - (-3 - 0)\mathbf{j} + (1 - 0)\mathbf{k} = -3\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + \mathbf{k}

Así, el vector director de la recta $r$ es $\vec{v_r} = (-3, 3, 1)$ .Dado que el plano buscado es perpendicular a la recta $r$ , el vector director de $r$ será el vector normal del plano, $\vec{n_\pi} = (-3, 3, 1)$ .La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$ . Sustituyendo los componentes del vector normal, tenemos:

-3x + 3y + 1z + D = 0

El plano pasa por el punto $A(1, -2, 0)$ . Sustituimos las coordenadas de $A$ en la ecuación del plano para encontrar $D$ :

-3(1) + 3(-2) + 0 + D = 0 \\ -3 - 6 + D = 0 \\ -9 + D = 0 \\ D = 9

La ecuación del plano es:

-3x + 3y + z + 9 = 0

O, multiplicando por -1 para que el primer coeficiente sea positivo:

3x - 3y - z - 9 = 0

b) Calcula la ecuación del plano que pasa por

A

y contiene a

r

Para definir el plano, necesitamos un punto y dos vectores directores, o un punto y su vector normal. El plano debe contener la recta $r$ y pasar por el punto $A(1, -2, 0)$ .Primero, comprobamos si el punto $A$ pertenece a la recta $r$ . Sustituimos las coordenadas de $A$ en las ecuaciones de la recta $r$ :

x + y = 1 + (-2) = -1 \neq 0

y - 3z + 2 = -2 - 3(0) + 2 = 0

El punto $A$ no pertenece a la primera ecuación, por lo tanto, no pertenece a la recta $r$ . Sin embargo, el punto $A$ sí pertenece al plano $y - 3z + 2 = 0$ .Para que un plano contenga la recta $r$ y al punto $A$ , y sabiendo que $A$ se encuentra en uno de los planos que definen la recta ( $P_2: y - 3z + 2 = 0$ ), el plano buscado debe ser precisamente $P_2$ . Esto se debe a que $P_2$ contiene a $r$ (es uno de sus planos definitorios) y contiene a $A$ (como se ha verificado).De forma alternativa, se puede construir el plano usando un punto de la recta $r$ y dos vectores directores. Tomemos el vector director de $r$ , $\vec{v_r} = (-3, 3, 1)$ (calculado en el apartado a)).Ahora, buscamos un punto $P_r$ de la recta $r$ . Si hacemos $z = 0$ en las ecuaciones de $r$ :

y - 3(0) + 2 = 0 \implies y = -2

x + (-2) = 0 \implies x = 2

Así, un punto de la recta $r$ es $P_r(2, -2, 0)$ .Un segundo vector director para el plano será el vector que une el punto $A$ con el punto $P_r$ :

\vec{AP_r} = P_r - A = (2 - 1, -2 - (-2), 0 - 0) = (1, 0, 0)

El vector normal del plano, $\vec{n_\pi}$ , se obtiene con el producto vectorial de $\vec{v_r}$ y $\vec{AP_r}$ :

\vec{n_\pi} = \vec{v_r} \times \vec{AP_r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 0)\mathbf{i} - (0 - 1)\mathbf{j} + (0 - 3)\mathbf{k} = 0\mathbf{i} + 1\mathbf{j} - 3\mathbf{k}

El vector normal del plano es $\vec{n_\pi} = (0, 1, -3)$ .La ecuación general del plano es $0x + 1y - 3z + D = 0$ , es decir, $y - 3z + D = 0$ . Ahora sustituimos el punto $A(1, -2, 0)$ en la ecuación para hallar $D$ :

-2 - 3(0) + D = 0 \\ -2 + D = 0 \\ D = 2

La ecuación del plano es:

y - 3z + 2 = 0