T3: Geometría · Geometría analítica — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2022

Geometría analítica

Problema

2022 · Ordinaria · Titular

EJERCICIO 7

Sea el plano $\pi \equiv 2x + y - 2z - 2 = 0$ .

a) Halla las ecuaciones de los planos paralelos a

\pi

que distan 2 unidades de dicho plano.b) Calcula el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los puntos de corte del plano

\pi

con los ejes coordenados.

PlanoDistancia entre planosVolumen del tetraedro

a) Halla las ecuaciones de los planos paralelos a

\pi

que distan 2 unidades de dicho plano.

La ecuación del plano dado es $\pi \equiv 2x + y - 2z - 2 = 0$ . Un plano paralelo a $\pi$ tendrá una ecuación de la forma $2x + y - 2z + D = 0$ . La distancia entre dos planos paralelos $Ax + By + Cz + D_1 = 0$ y $Ax + By + Cz + D_2 = 0$ viene dada por la fórmula:

d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

En este caso, $A=2$ , $B=1$ , $C=-2$ , $D_1 = -2$ (del plano $\pi$ ) y $D_2 = D$ (del plano paralelo). La distancia $d$ es 2 unidades.

2 = \frac{|-2 - D|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}}

2 = \frac{|-2 - D|}{\sqrt{4 + 1 + 4}}

2 = \frac{|-2 - D|}{\sqrt{9}}

2 = \frac{|-2 - D|}{3}

6 = |-2 - D|

Esto nos lleva a dos posibles casos:Caso 1: $-2 - D = 6$

D = -2 - 6 \implies D = -8

El primer plano paralelo es $\pi_1 \equiv 2x + y - 2z - 8 = 0$ .Caso 2: $-2 - D = -6$

D = -2 + 6 \implies D = 4

El segundo plano paralelo es $\pi_2 \equiv 2x + y - 2z + 4 = 0$ .

b) Calcula el volumen del tetraedro cuyos vértices son el origen de coordenadas y los puntos de corte del plano

\pi

con los ejes coordenados.

Los vértices del tetraedro son el origen $O(0,0,0)$ y los puntos de corte del plano $\pi \equiv 2x + y - 2z - 2 = 0$ con los ejes coordenados.Punto de corte con el eje X (cuando $y=0$ , $z=0$ ):

2x + 0 - 0 - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1

El punto es $A(1,0,0)$ .Punto de corte con el eje Y (cuando $x=0$ , $z=0$ ):

0 + y - 0 - 2 = 0 \implies y = 2

El punto es $B(0,2,0)$ .Punto de corte con el eje Z (cuando $x=0$ , $y=0$ ):

0 + 0 - 2z - 2 = 0 \implies -2z = 2 \implies z = -1

El punto es $C(0,0,-1)$ .Los vértices del tetraedro son $O(0,0,0)$ , $A(1,0,0)$ , $B(0,2,0)$ y $C(0,0,-1)$ . El volumen de un tetraedro con un vértice en el origen y los otros tres vértices formando los vectores $\vec{OA}$ , $\vec{OB}$ y $\vec{OC}$ se calcula como un sexto del valor absoluto del producto mixto de estos tres vectores.

\vec{OA} = (1,0,0)

\vec{OB} = (0,2,0)

\vec{OC} = (0,0,-1)

V = \frac{1}{6} |\det(\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC})|

V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} \right|

V = \frac{1}{6} |1 \cdot (2 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) - 0 + 0|

V = \frac{1}{6} |-2|

V = \frac{1}{6} \cdot 2

V = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

El volumen del tetraedro es $\frac{1}{3}$ unidades cúbicas.