T3: Geometría · Métrica en el espacio — MATEMATICAS II PEvAU Andalucía 2022

Métrica en el espacio

Problema

2022 · Ordinaria · Reserva

Considera los planos $\pi_1 \equiv x + y + 2 = 0$ y $\pi_2 \equiv x - z - 1 = 0$ , así como la recta $r \equiv \begin{cases} 2x + z = 1 \\ y = 1 \end{cases}$

a) Calcula los puntos de la recta

r

que equidistan de los planos

\pi_1

\pi_2

.b) Halla el ángulo que forman los planos

\pi_1

\pi_2

GeometríaDistanciasÁngulos

a) Calculamos la ecuación paramétrica de la recta

r

. La recta viene dada por el sistema de ecuaciones:

r \equiv \begin{cases} 2x + z = 1 \\ y = 1 \end{cases}

De la segunda ecuación, sabemos que $y=1$ . De la primera, despejamos $z$ : $z = 1 - 2x$ . Si asignamos $x = \lambda$ , entonces el punto genérico de la recta $r$ es $P_r(\lambda, 1, 1 - 2\lambda)$ . Las ecuaciones de los planos son:

\pi_1 \equiv x + y + 2 = 0

\pi_2 \equiv x - z - 1 = 0

La fórmula para la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es $d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ . Calculamos la distancia de $P_r$ a $\pi_1$ :

d(P_r, \pi_1) = \frac{|\lambda + 1 + 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|\lambda + 3|}{\sqrt{2}}

Calculamos la distancia de $P_r$ a $\pi_2$ :

d(P_r, \pi_2) = \frac{|\lambda - (1 - 2\lambda) - 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} = \frac{|\lambda - 1 + 2\lambda - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{|3\lambda - 2|}{\sqrt{2}}

Para que los puntos equidisten, igualamos las distancias:

\frac{|\lambda + 3|}{\sqrt{2}} = \frac{|3\lambda - 2|}{\sqrt{2}}

|\lambda + 3| = |3\lambda - 2|

Esto nos lleva a dos casos: Caso 1: $\lambda + 3 = 3\lambda - 2$

5 = 2\lambda \implies \lambda = \frac{5}{2}

Sustituyendo $\lambda$ en el punto genérico $P_r$ : $P_1\left(\frac{5}{2}, 1, 1 - 2\left(\frac{5}{2}\right)\right) = P_1\left(\frac{5}{2}, 1, 1 - 5\right) = P_1\left(\frac{5}{2}, 1, -4\right)$ . Caso 2: $\lambda + 3 = -(3\lambda - 2)$

\lambda + 3 = -3\lambda + 2

4\lambda = -1 \implies \lambda = -\frac{1}{4}

Sustituyendo $\lambda$ en el punto genérico $P_r$ : $P_2\left(-\frac{1}{4}, 1, 1 - 2\left(-\frac{1}{4}\right)\right) = P_2\left(-\frac{1}{4}, 1, 1 + \frac{1}{2}\right) = P_2\left(-\frac{1}{4}, 1, \frac{3}{2}\right)$ . Los puntos de la recta $r$ que equidistan de los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ son $P_1\left(\frac{5}{2}, 1, -4\right)$ y $P_2\left(-\frac{1}{4}, 1, \frac{3}{2}\right)$ .

b) Para hallar el ángulo que forman los planos

\pi_1

\pi_2

, usamos sus vectores normales. El vector normal del plano

\pi_1 \equiv x + y + 2 = 0

\vec{n_1} = (1, 1, 0)

El vector normal del plano $\pi_2 \equiv x - z - 1 = 0$ es $\vec{n_2} = (1, 0, -1)$ .El ángulo $\alpha$ entre dos planos viene dado por la fórmula:

\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{||\vec{n_1}|| \cdot ||\vec{n_2}||}

Calculamos el producto escalar de los vectores normales:

\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (1)(1) + (1)(0) + (0)(-1) = 1 + 0 + 0 = 1

Calculamos los módulos de los vectores normales:

||\vec{n_1}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}

||\vec{n_2}|| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}

Sustituimos en la fórmula del coseno:

\cos \alpha = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}

Para encontrar el ángulo, aplicamos la función arcocoseno:

\alpha = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = 60^\circ

El ángulo que forman los planos $\pi_1$ y $\pi_2$ es $60^\circ$ .