Matrices y determinantes — matematicas-aplicadas-a-las-ciencias-sociales-ii PEvAU Andalucía

Operaciones con matrices y sistemas de ecuaciones matriciales

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

1

Se considera la matriz:

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}

a) Resuelva el sistema de ecuaciones matriciales:

(A + I_3) \cdot X + Y = A - I_3

X - Y = I_3

b) Halle el rango de las matrices

A + I_3

y

A - I_3

. ¿Son matrices invertibles?

MatricesSistemas de ecuaciones matricialesRango+1

a) Resuelva el sistema de ecuaciones matriciales:

Tenemos el sistema de ecuaciones matriciales:

\begin{cases} (A + I_3) \cdot X + Y = A - I_3 \quad (1) \\ X - Y = I_3 \quad (2) \end{cases}

De la ecuación (2), despejamos $Y$ : $Y = X - I_3$ . Sustituimos esta expresión de $Y$ en la ecuación (1):

(A + I_3) \cdot X + (X - I_3) = A - I_3

Distribuimos y agrupamos términos con $X$ :

(A + I_3)X + I_3 X = A - I_3 + I_3 \\ (A + I_3 + I_3)X = A \\ (A + 2I_3)X = A

Ahora calculamos la matriz $A + 2I_3$ :

A + 2I_3 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}

Para resolver $X = (A + 2I_3)^{-1}A$ , primero calculamos el determinante de $(A + 2I_3)$ :

\det(A + 2I_3) = \det\begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix} = 4(3 \cdot 4 - 2 \cdot 2) - 1(0 \cdot 4 - 2 \cdot 2) + 0 = 4(12 - 4) - 1(0 - 4) = 4(8) - (-4) = 32 + 4 = 36

Como el determinante es $36 \neq 0$ , la matriz $(A + 2I_3)$ es invertible. Ahora calculamos su inversa. Primero, la matriz de cofactores:

C = \begin{pmatrix} +(12-4) & -(0-4) & +(0-6) \\ -(4-0) & +(16-0) & -(8-2) \\ +(2-0) & -(8-0) & +(12-0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 4 & -6 \\ -4 & 16 & -6 \\ 2 & -8 & 12 \end{pmatrix}

Luego, la matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores:

\text{Adj}(A + 2I_3) = C^T = \begin{pmatrix} 8 & -4 & 2 \\ 4 & 16 & -8 \\ -6 & -6 & 12 \end{pmatrix}

Y la inversa es:

(A + 2I_3)^{-1} = \frac{1}{36} \begin{pmatrix} 8 & -4 & 2 \\ 4 & 16 & -8 \\ -6 & -6 & 12 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos $X = (A + 2I_3)^{-1}A$ :

X = \frac{1}{36} \begin{pmatrix} 8 & -4 & 2 \\ 4 & 16 & -8 \\ -6 & -6 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \\ X = \frac{1}{36} \begin{pmatrix} 8(2)-4(0)+2(2) & 8(1)-4(1)+2(2) & 8(0)-4(2)+2(2) \\ 4(2)+16(0)-8(2) & 4(1)+16(1)-8(2) & 4(0)+16(2)-8(2) \\ -6(2)-6(0)+12(2) & -6(1)-6(1)+12(2) & -6(0)-6(2)+12(2) \end{pmatrix} \\ X = \frac{1}{36} \begin{pmatrix} 16+0+4 & 8-4+4 & 0-8+4 \\ 8+0-16 & 4+16-16 & 0+32-16 \\ -12+0+24 & -6-6+24 & 0-12+24 \end{pmatrix} \\ X = \frac{1}{36} \begin{pmatrix} 20 & 8 & -4 \\ -8 & 4 & 16 \\ 12 & 12 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20/36 & 8/36 & -4/36 \\ -8/36 & 4/36 & 16/36 \\ 12/36 & 12/36 & 12/36 \end{pmatrix} \\ X = \begin{pmatrix} 5/9 & 2/9 & -1/9 \\ -2/9 & 1/9 & 4/9 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{pmatrix}

Ahora calculamos $Y = X - I_3$ :

Y = \begin{pmatrix} 5/9 & 2/9 & -1/9 \\ -2/9 & 1/9 & 4/9 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ Y = \begin{pmatrix} 5/9 - 1 & 2/9 & -1/9 \\ -2/9 & 1/9 - 1 & 4/9 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4/9 & 2/9 & -1/9 \\ -2/9 & -8/9 & 4/9 \\ 1/3 & 1/3 & -2/3 \end{pmatrix}

b) Halle el rango de las matrices

A + I_3

y

A - I_3

. ¿Son matrices invertibles?

Primero, calculamos $A + I_3$ :

A + I_3 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}

Para determinar el rango y la invertibilidad, calculamos su determinante:

\det(A + I_3) = 3(2 \cdot 3 - 2 \cdot 2) - 1(0 \cdot 3 - 2 \cdot 2) + 0 = 3(6 - 4) - 1(0 - 4) = 3(2) - (-4) = 6 + 4 = 10

Dado que $\det(A + I_3) = 10 \neq 0$ , el rango de $A + I_3$ es 3. Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Por lo tanto, $A + I_3$ es invertible.Ahora, calculamos $A - I_3$ :

A - I_3 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}

Calculamos su determinante:

\det(A - I_3) = 1(0 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 1(0 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + 0 = 1(0 - 4) - 1(0 - 4) = -4 - (-4) = -4 + 4 = 0

Dado que $\det(A - I_3) = 0$ , el rango de $A - I_3$ no es 3. Para encontrar el rango, buscamos un menor de orden 2 con determinante distinto de cero. Consideramos el menor formado por las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 3:

\det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 - 0 \cdot 0 = 2

Como existe un menor de orden 2 con determinante $2 \neq 0$ , el rango de $A - I_3$ es 2. Dado que el determinante es cero, $A - I_3$ no es invertible.

T1: Matrices y determinantes

Operaciones matriciales y matriz inversa

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

1

a) Plantee y resuelva el siguiente problema de forma matricial: El gerente de una empresa de productos hospitalarios desea introducir un nuevo producto en el mercado nacional. Para ello contrata a 3 vendedores que se han encargado de las zonas A, B y C del país, respectivamente. El vendedor de la zona A ha trabajado 40 horas, ha realizado 10 demostraciones y 5 viajes para dicha promoción. El vendedor de la zona B ha trabajado el doble de horas que el de la zona A, realizando 15 demostraciones y 8 viajes. En cuanto al vendedor de la zona C, ha trabajado 100 horas, ha realizado 25 demostraciones y 10 viajes. El gerente debe abonarles 75€ por hora trabajada, 300€ por demostración y 250€ por viaje realizado. Teniendo en cuenta que, además, debe aplicárseles una retención en concepto del impuesto del IRPF del 15% si la cantidad a abonar al vendedor es menor de diez mil euros y del 18% en caso contrario, determine la cantidad final que cobrará cada vendedor. b) Sea

A = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 3 & a - 1 & 2 \\ 4 & 0 & 3 \end{pmatrix}

¿Para qué valores de a es la matriz A invertible?

MatricesProblema contextualizadoInversa de una matriz+1

a) En primer lugar, definimos la matriz de actividad M, donde las filas representan a los vendedores (A, B y C) y las columnas representan las horas, demostraciones y viajes respectivamente. Asimismo, definimos el vector de precios P.

M = \begin{pmatrix} 40 & 10 & 5 \\ 80 & 15 & 8 \\ 100 & 25 & 10 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} 75 \\ 300 \\ 250 \end{pmatrix}

Calculamos la cantidad bruta devengada por cada vendedor mediante el producto de la matriz M por el vector P:

G = M \cdot P = \begin{pmatrix} 40 & 10 & 5 \\ 80 & 15 & 8 \\ 100 & 25 & 10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 75 \\ 300 \\ 250 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 40 \cdot 75 + 10 \cdot 300 + 5 \cdot 250 \\ 80 \cdot 75 + 15 \cdot 300 + 8 \cdot 250 \\ 100 \cdot 75 + 25 \cdot 300 + 10 \cdot 250 \end{pmatrix}

G = \begin{pmatrix} 3000 + 3000 + 1250 \\ 6000 + 4500 + 2000 \\ 7500 + 7500 + 2500 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7250 \\ 12500 \\ 17500 \end{pmatrix} \text{ euros}

Ahora aplicamos la retención del IRPF según las condiciones: 15% si el bruto es menor a 10.000 € y 18% en caso contrario.Para el vendedor A (7.250 < 10.000):

Neto_A = 7250 \cdot (1 - 0.15) = 7250 \cdot 0.85 = 6162.50 \text{ \,\text{euros}}

Para el vendedor B (12.500 > 10.000):

Neto_B = 12500 \cdot (1 - 0.18) = 12500 \cdot 0.82 = 10250.00 \text{ \,\text{euros}}

Para el vendedor C (17.500 > 10.000):

Neto_C = 17500 \cdot (1 - 0.18) = 17500 \cdot 0.82 = 14350.00 \text{ \,\text{euros}}

b) Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de la matriz A utilizando la regla de Sarrus.

|A| = \begin{vmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 3 & a - 1 & 2 \\ 4 & 0 & 3 \end{vmatrix} = [(-2)(a-1)(3) + (2)(2)(4) + (1)(3)(0)] - [(1)(a-1)(4) + (2)(3)(3) + (-2)(2)(0)]

|A| = [-6(a-1) + 16 + 0] - [4(a-1) + 18 + 0]

|A| = -6a + 6 + 16 - (4a - 4 + 18) = -6a + 22 - (4a + 14)

|A| = -6a + 22 - 4a - 14 = -10a + 8

Para que la matriz sea invertible, igualamos el determinante a cero para encontrar los valores excluidos:

-10a + 8 = 0 \implies 10a = 8 \implies a = \frac{8}{10} = 0.8

Por lo tanto, la matriz A es invertible para cualquier valor de a tal que:

\mathbf{a \neq 0.8}

T1: Matrices y determinantes

Operaciones con matrices, matriz inversa y ecuaciones matriciales

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

1

BLOQUE A

Se consideran las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ a - 3 & a - 1 & 1 \\ 0 & 2 & a \end{pmatrix}

\quad B = (-1 \quad 3 \quad 2) \quad C = (-2 \quad 1 \quad 4) $, siendo$ a$ un número real.

a) Obtenga los valores de

a

para los que la matriz

A

tenga inversa.b) Para

a = 1

, resuelva la ecuación

X \cdot A - B = C \cdot A

.c) Determine razonadamente la dimensión de la matriz

D

que permita realizar la operación

B \cdot A + D \cdot C^t \cdot B

.

MatricesMatriz inversaEcuación matricial+1

a) Obtenga los valores de

a

para los que la matriz

A

tenga inversa.

La matriz $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ a - 3 & a - 1 & 1 \\ 0 & 2 & a \end{pmatrix}

\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} a-1 & 1 \\ 2 & a \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} a-3 & 1 \\ 0 & a \end{vmatrix} + (-2) \cdot \begin{vmatrix} a-3 & a-1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}

\det(A) = 1 \cdot ((a-1)a - 1 \cdot 2) - 1 \cdot ((a-3)a - 1 \cdot 0) - 2 \cdot (2(a-3) - (a-1) \cdot 0)

\det(A) = (a^2 - a - 2) - (a^2 - 3a) - 2(2a - 6)

\det(A) = a^2 - a - 2 - a^2 + 3a - 4a + 12

\det(A) = (a^2 - a^2) + (-a + 3a - 4a) + (-2 + 12)

\det(A) = -2a + 10

Para que la matriz $A$ tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero:

-2a + 10 \neq 0

-2a \neq -10

a \neq 5

Por lo tanto, la matriz $A$ tiene inversa para todos los valores de $a \in \mathbb{R}$ excepto para $a=5$ .

b) Para

a = 1

, resuelva la ecuación

X \cdot A - B = C \cdot A

.

Sustituimos $a=1$ en la matriz $A$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 - 3 & 1 - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}

Dado que $a=1 \neq 5$ , la matriz $A$ tiene inversa. Reordenamos la ecuación para despejar $X$ :

X \cdot A - B = C \cdot A

X \cdot A = C \cdot A + B

Multiplicamos por la derecha por $A^{-1}$ :

X \cdot A \cdot A^{-1} = (C \cdot A + B) \cdot A^{-1}

X = C \cdot A \cdot A^{-1} + B \cdot A^{-1}

X = C + B \cdot A^{-1}

Calculamos $A^{-1}$ para $a=1$ . El determinante de $A$ para $a=1$ es:

\det(A) = -2(1) + 10 = 8

Calculamos la matriz de cofactores de $A$ :

\text{Cof}(A)_{11} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -2 \qquad \text{Cof}(A)_{12} = -\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 2 \qquad \text{Cof}(A)_{13} = \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -4

\text{Cof}(A)_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - (-4)) = -5 \qquad \text{Cof}(A)_{22} = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \qquad \text{Cof}(A)_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2

\text{Cof}(A)_{31} = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \qquad \text{Cof}(A)_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 4) = 3 \qquad \text{Cof}(A)_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-2) = 2

\text{Cof}(A) = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -4 \\ -5 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix}

La matriz adjunta (transpuesta de la matriz de cofactores) es:

\text{Adj}(A) = \text{Cof}(A)^t = \begin{pmatrix} -2 & -5 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix}

La inversa de $A$ es:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A) = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} -2 & -5 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix}

Ahora calculamos $B \cdot A^{-1}$ :

B \cdot A^{-1} = (-1 \quad 3 \quad 2) \cdot \frac{1}{8} \begin{pmatrix} -2 & -5 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ -4 & -2 & 2 \end{pmatrix}

B \cdot A^{-1} = \frac{1}{8} \left( (-1)(-2) + 3(2) + 2(-4) \quad (-1)(-5) + 3(1) + 2(-2) \quad (-1)(1) + 3(3) + 2(2) \right)

B \cdot A^{-1} = \frac{1}{8} \left( (2+6-8) \quad (5+3-4) \quad (-1+9+4) \right)

B \cdot A^{-1} = \frac{1}{8} \left( 0 \quad 4 \quad 12 \right) = (0 \quad \frac{4}{8} \quad \frac{12}{8}) = (0 \quad \frac{1}{2} \quad \frac{3}{2})

Finalmente, calculamos $X = C + B \cdot A^{-1}$ :

X = (-2 \quad 1 \quad 4) + (0 \quad \frac{1}{2} \quad \frac{3}{2})

X = \left(-2+0 \quad 1+\frac{1}{2} \quad 4+\frac{3}{2}\right)

X = \left(-2 \quad \frac{2+1}{2} \quad \frac{8+3}{2}\right)

X = \left(-2 \quad \frac{3}{2} \quad \frac{11}{2}\right)

c) Determine razonadamente la dimensión de la matriz

D

que permita realizar la operación

B \cdot A + D \cdot C^t \cdot B

.

Analizamos las dimensiones de las matrices dadas:

A \text{ es de dimensión } 3 \times 3

B \text{ es de dimensión } 1 \times 3

C \text{ es de dimensión } 1 \times 3

Para que la operación $B \cdot A + D \cdot C^t \cdot B$ sea posible, debemos seguir las reglas de multiplicación y suma de matrices.1. Dimensión de $B \cdot A$ :

\text{dim}(B) = 1 \times 3

\text{dim}(A) = 3 \times 3

El producto $B \cdot A$ es posible y su dimensión es $1 \times 3$ .

\text{dim}(B \cdot A) = 1 \times 3

2. Dimensión de $C^t$ :

\text{dim}(C) = 1 \times 3 \implies \text{dim}(C^t) = 3 \times 1

3. Dimensión de $C^t \cdot B$ :

\text{dim}(C^t) = 3 \times 1

\text{dim}(B) = 1 \times 3

El producto $C^t \cdot B$ es posible y su dimensión es $3 \times 3$ .

\text{dim}(C^t \cdot B) = 3 \times 3

4. Dimensión de $D \cdot C^t \cdot B$ : Sea $D$ una matriz de dimensión $m \times n$ . Para que el producto $D \cdot (C^t \cdot B)$ sea posible, el número de columnas de $D$ debe ser igual al número de filas de $(C^t \cdot B)$ .

n = 3

Así, la matriz $D$ tiene dimensión $m \times 3$ . El resultado del producto $D \cdot C^t \cdot B$ tendrá dimensión $m \times 3$ .

\text{dim}(D \cdot C^t \cdot B) = m \times 3

5. Dimensión de la suma $B \cdot A + D \cdot C^t \cdot B$ : Para que la suma de dos matrices sea posible, ambas deben tener la misma dimensión. Hemos determinado que:

\text{dim}(B \cdot A) = 1 \times 3

\text{dim}(D \cdot C^t \cdot B) = m \times 3

Por lo tanto, para que la suma sea posible, $m$ debe ser igual a $1$ .

m = 1

Concluimos que la dimensión de la matriz $D$ debe ser $1 \times 3$ .

T1: Matrices y determinantes

Ecuaciones matriciales

Problema

2024 · Ordinaria · Reserva

1

EJERCICIO 1

Se consideran las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \text{ y } C = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}

a) Resuelva la siguiente ecuación

A \cdot B \cdot X \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

.b) Halle las dimensiones de las matrices

D

y

E

para que tenga sentido la igualdad

A \cdot D = E \cdot B

MatricesEcuación matricialDimensiones

a) Resuelva la siguiente ecuación

A \cdot B \cdot X \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

.

Primero, calculamos el producto $A \cdot B$ :

A \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (1)(0)+(-1)(1)+(1)(-1) & (1)(-1)+(-1)(0)+(1)(2) \\ (-2)(0)+(1)(1)+(0)(-1) & (-2)(-1)+(1)(0)+(0)(2) \end{pmatrix}

A \cdot B = \begin{pmatrix} 0-1-1 & -1+0+2 \\ 0+1+0 & 2+0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}

Denominamos $P = A \cdot B$ . La ecuación se transforma en $P \cdot X \cdot C = R$ , donde $R = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ . Para resolver para $X$ , necesitamos las inversas de $P$ y $C$ . La matriz $P$ es de $2 \times 2$ y la matriz $C$ es de $3 \times 3$ . La matriz $R$ es de $2 \times 3$ . Para que la ecuación tenga sentido, las dimensiones de $X$ deben ser $2 \times 3$ (ya que $(P_{2 \times 2} \cdot X_{2 \times 3} \cdot C_{3 \times 3})_{2 \times 3} = R_{2 \times 3}$ ).Calculamos la inversa de $P = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ :

\det(P) = (-2)(2) - (1)(1) = -4 - 1 = -5

P^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/5 & 1/5 \\ 1/5 & 2/5 \end{pmatrix}

Calculamos la inversa de $C = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ :

\det(C) = 1(1 \cdot 1 - 1 \cdot 3) - 3(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + 2(1 \cdot 3 - 1 \cdot 0) \\ = 1(1-3) - 3(1-0) + 2(3-0) \\ = 1(-2) - 3(1) + 2(3) = -2 - 3 + 6 = 1

Calculamos la matriz de cofactores de $C$ :

Cof(C) = \begin{pmatrix} +(1-3) & -(1-0) & +(3-0) \\ -(3-6) & +(1-0) & -(3-0) \\ +(3-2) & -(1-2) & +(1-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}

La adjunta de $C$ es la traspuesta de la matriz de cofactores:

adj(C) = Cof(C)^T = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & -3 & -2 \end{pmatrix}

La inversa de $C$ es:

C^{-1} = \frac{1}{\det(C)} adj(C) = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} -2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & -3 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & -3 & -2 \end{pmatrix}

La ecuación $P \cdot X \cdot C = R$ se resuelve como $X = P^{-1} \cdot R \cdot C^{-1}$ . Primero, calculamos $P^{-1} \cdot R$ :

P^{-1} \cdot R = \begin{pmatrix} -2/5 & 1/5 \\ 1/5 & 2/5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2/5 & 1/5 & 0 \\ 1/5 & 2/5 & 0 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos $X = (P^{-1} \cdot R) \cdot C^{-1}$ :

X = \begin{pmatrix} -2/5 & 1/5 & 0 \\ 1/5 & 2/5 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & -3 & -2 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} (-2/5)(-2)+(1/5)(-1)+(0)(3) & (-2/5)(3)+(1/5)(1)+(0)(-3) & (-2/5)(1)+(1/5)(1)+(0)(-2) \\ (1/5)(-2)+(2/5)(-1)+(0)(3) & (1/5)(3)+(2/5)(1)+(0)(-3) & (1/5)(1)+(2/5)(1)+(0)(-2) \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} 4/5-1/5+0 & -6/5+1/5+0 & -2/5+1/5+0 \\ -2/5-2/5+0 & 3/5+2/5+0 & 1/5+2/5+0 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} 3/5 & -5/5 & -1/5 \\ -4/5 & 5/5 & 3/5 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} 3/5 & -1 & -1/5 \\ -4/5 & 1 & 3/5 \end{pmatrix}

b) Halle las dimensiones de las matrices

D

y

E

para que tenga sentido la igualdad

A \cdot D = E \cdot B

.

Las dimensiones de las matrices dadas son: $A$ : $2 \times 3$ $B$ : $3 \times 2$ Para que el producto $A \cdot D$ esté definido, el número de columnas de $A$ debe ser igual al número de filas de $D$ . Por lo tanto, si $D$ tiene dimensiones $r_D \times c_D$ , entonces $r_D = 3$ . La matriz resultante $A \cdot D$ tendrá dimensiones $2 \times c_D$ .Para que el producto $E \cdot B$ esté definido, el número de columnas de $E$ debe ser igual al número de filas de $B$ . Por lo tanto, si $E$ tiene dimensiones $r_E \times c_E$ , entonces $c_E = 3$ . La matriz resultante $E \cdot B$ tendrá dimensiones $r_E \times 2$ .Para que la igualdad $A \cdot D = E \cdot B$ tenga sentido, las matrices resultantes deben tener las mismas dimensiones. Es decir, $(A \cdot D)_{2 \times c_D}$ debe ser igual a $(E \cdot B)_{r_E \times 2}$ . Esto implica que: $2 = r_E$ $c_D = 2$ Por lo tanto, las dimensiones de $D$ son $3 \times 2$ (ya que $r_D = 3$ y $c_D = 2$ ). Y las dimensiones de $E$ son $2 \times 3$ (ya que $r_E = 2$ y $c_E = 3$ ). Verificación: $A_{2 \times 3} \cdot D_{3 \times 2} \rightarrow (A \cdot D)_{2 \times 2}$ $E_{2 \times 3} \cdot B_{3 \times 2} \rightarrow (E \cdot B)_{2 \times 2}$ Las dimensiones son consistentes.

T1: Matrices y determinantes

Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

1

Se consideran las matrices

P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \quad J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

a) Halle la matriz

A

que satisface la ecuación

P^{-1} \cdot A \cdot P = J

.b) Compruebe que

A^3 = P \cdot J^3 \cdot P^{-1}

.

MatricesEcuación matricialDiagonalización

Resolución del ejercicio de Matrices

a) Halle la matriz

A

que satisface la ecuación

P^{-1} \cdot A \cdot P = J

.

Para hallar la matriz $A$ , debemos despejarla de la ecuación dada. Multiplicando por $P$ por la izquierda y por $P^{-1}$ por la derecha en ambos lados de la ecuación, obtenemos:

P \cdot (P^{-1} \cdot A \cdot P) \cdot P^{-1} = P \cdot J \cdot P^{-1}

(P \cdot P^{-1}) \cdot A \cdot (P \cdot P^{-1}) = P \cdot J \cdot P^{-1}

I \cdot A \cdot I = P \cdot J \cdot P^{-1}

A = P \cdot J \cdot P^{-1}

Primero, calculamos la inversa de la matriz $P$ , $P^{-1}$ .

P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}

Calculamos el determinante de $P$ :

\det(P) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} - 0 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} + 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

\det(P) = 1 \cdot (1 \cdot (-1) - 0 \cdot (-1)) - 0 + 1 \cdot (0 \cdot (-1) - 1 \cdot 1)

\det(P) = 1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-1) = -1 - 1 = -2

Calculamos la matriz de cofactores de $P$ :

C_{11} = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = -1

C_{12} = -\det\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = 0

C_{13} = \det\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = -1

C_{21} = -\det\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = -(0 - (-1)) = -1

C_{22} = \det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = -1 - 1 = -2

C_{23} = -\det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = -(-1 - 0) = 1

C_{31} = \det\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -1

C_{32} = -\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0

C_{33} = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1

La matriz de cofactores es:

C = \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -1 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

La matriz adjunta de $P$ es la traspuesta de la matriz de cofactores:

\text{adj}(P) = C^T = \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Finalmente, la inversa de $P$ es:

P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \text{adj}(P) = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} -1 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/2 & -1/2 & -1/2 \end{pmatrix}

Ahora, calculamos $A = P \cdot J \cdot P^{-1}$ .Primero, calculamos el producto $P \cdot J$ :

P \cdot J = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

P \cdot J = \begin{pmatrix} (1\cdot 2 + 0\cdot 0 + 1\cdot 0) & (1\cdot 1 + 0\cdot 2 + 1\cdot 0) & (1\cdot 0 + 0\cdot 0 + 1\cdot (-1)) \\ (0\cdot 2 + 1\cdot 0 + 0\cdot 0) & (0\cdot 1 + 1\cdot 2 + 0\cdot 0) & (0\cdot 0 + 1\cdot 0 + 0\cdot (-1)) \\ (1\cdot 2 + (-1)\cdot 0 + (-1)\cdot 0) & (1\cdot 1 + (-1)\cdot 2 + (-1)\cdot 0) & (1\cdot 0 + (-1)\cdot 0 + (-1)\cdot (-1)) \end{pmatrix}

P \cdot J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos $A = (P \cdot J) \cdot P^{-1}$ :

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/2 & -1/2 & -1/2 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} (2\cdot 1/2 + 1\cdot 0 - 1\cdot 1/2) & (2\cdot 1/2 + 1\cdot 1 - 1\cdot (-1/2)) & (2\cdot 1/2 + 1\cdot 0 - 1\cdot (-1/2)) \\ (0\cdot 1/2 + 2\cdot 0 + 0\cdot 1/2) & (0\cdot 1/2 + 2\cdot 1 + 0\cdot (-1/2)) & (0\cdot 1/2 + 2\cdot 0 + 0\cdot (-1/2)) \\ (2\cdot 1/2 - 1\cdot 0 + 1\cdot 1/2) & (2\cdot 1/2 - 1\cdot 1 + 1\cdot (-1/2)) & (2\cdot 1/2 - 1\cdot 0 + 1\cdot (-1/2)) \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 1 - 1/2 & 1 + 1 + 1/2 & 1 + 1/2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 + 1/2 & 1 - 1 - 1/2 & 1 - 1/2 \end{pmatrix}

A = \begin{pmatrix} 1/2 & 5/2 & 3/2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3/2 & -1/2 & 1/2 \end{pmatrix}

b) Compruebe que

A^3 = P \cdot J^3 \cdot P^{-1}

.

Sabemos del apartado anterior que $A = P \cdot J \cdot P^{-1}$ . Podemos calcular $A^2$ y $A^3$ usando esta relación.

A^2 = A \cdot A = (P \cdot J \cdot P^{-1}) \cdot (P \cdot J \cdot P^{-1})

Dado que la multiplicación de matrices es asociativa y $P^{-1} \cdot P = I$ (matriz identidad):

A^2 = P \cdot J \cdot (P^{-1} \cdot P) \cdot J \cdot P^{-1}

A^2 = P \cdot J \cdot I \cdot J \cdot P^{-1}

A^2 = P \cdot J^2 \cdot P^{-1}

Ahora, calculamos $A^3$ :

A^3 = A^2 \cdot A = (P \cdot J^2 \cdot P^{-1}) \cdot (P \cdot J \cdot P^{-1})

A^3 = P \cdot J^2 \cdot (P^{-1} \cdot P) \cdot J \cdot P^{-1}

A^3 = P \cdot J^2 \cdot I \cdot J \cdot P^{-1}

A^3 = P \cdot J^3 \cdot P^{-1}

De este modo, queda comprobado que $A^3 = P \cdot J^3 \cdot P^{-1}$ .

T1: Matrices y determinantes

Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

Problema

2024 · Extraordinaria · Reserva

1

Se consideran las matrices

A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

a) Determine las matrices

X

e

Y

que satisfacen simultáneamente las ecuaciones

2 \cdot X - Y = 4 \cdot A

y

X + Y = B

b) Calcule la matriz

C^{2024}

.c) Si

D

es una matriz de dimensión

2 \times 3

, razone si las siguientes operaciones se pueden realizar y, en aquellos casos en los que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante:

A^t \cdot B + D \cdot D^t \quad D \cdot B^t + A \quad D^t \cdot A^t + D

Ecuaciones matricialesPotencia de una matrizDimensión de matrices

a) Determine las matrices

X

e

Y

que satisfacen simultáneamente las ecuaciones

2 \cdot X - Y = 4 \cdot A

y

X + Y = B

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones matriciales:

\begin{cases} 2X - Y = 4A \quad (1) \\ X + Y = B \quad \,(2) \end{cases}

Sumamos la ecuación (1) y la ecuación (2):

(2X - Y) + (X + Y) = 4A + B

3X = 4A + B

X = \frac{1}{3}(4A + B)

Primero, calculamos $4A$ :

4A = 4 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}

Ahora, calculamos $4A + B$ :

4A + B = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+3 & 4+2 \\ 4+2 & 0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}

Por lo tanto, la matriz $X$ es:

X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}

Para hallar la matriz $Y$ , utilizamos la ecuación (2): $Y = B - X$ .

Y = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-1 & 2-2 \\ 2-2 & 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

Las matrices son:

X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

b) Calcule la matriz

C^{2024}

.

Tenemos la matriz $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ . Calculamos las primeras potencias de $C$ para buscar un patrón:

C^1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

C^2 = C \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

C^3 = C^2 \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}

Observamos un patrón: $C^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{pmatrix}$ .Aplicando este patrón para $n=2024$ :

C^{2024} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2024 & 1 \end{pmatrix}

c) Si

D

es una matriz de dimensión

2 \times 3

, razone si las siguientes operaciones se pueden realizar y, en aquellos casos en los que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante:

Las dimensiones de las matrices dadas son:

\text{dim}(A) = 2 \times 2

\text{dim}(B) = 2 \times 2

\text{dim}(D) = 2 \times 3

Las dimensiones de las matrices traspuestas son:

\text{dim}(A^t) = 2 \times 2

\text{dim}(B^t) = 2 \times 2

\text{dim}(D^t) = 3 \times 2

Primera operación: $A^t \cdot B + D \cdot D^t$

Para el producto $A^t \cdot B$ :

\text{dim}(A^t) = 2 \times 2, \quad \text{dim}(B) = 2 \times 2

El número de columnas de $A^t$ (2) coincide con el número de filas de $B$ (2), por lo tanto, el producto es posible. La dimensión de $A^t \cdot B$ es $2 \times 2$ .Para el producto $D \cdot D^t$ :

\text{dim}(D) = 2 \times 3, \quad \text{dim}(D^t) = 3 \times 2

El número de columnas de $D$ (3) coincide con el número de filas de $D^t$ (3), por lo tanto, el producto es posible. La dimensión de $D \cdot D^t$ es $2 \times 2$ .Para la suma de los resultados:

\text{dim}(A^t \cdot B) = 2 \times 2, \quad \text{dim}(D \cdot D^t) = 2 \times 2

Ambas matrices resultantes tienen la misma dimensión, por lo tanto, la suma es posible. La dimensión de la matriz resultante es $2 \times 2$ .

Segunda operación: $D \cdot B^t + A$

Para el producto $D \cdot B^t$ :

\text{dim}(D) = 2 \times 3, \quad \text{dim}(B^t) = 2 \times 2

El número de columnas de $D$ (3) NO coincide con el número de filas de $B^t$ (2). Por lo tanto, el producto $D \cdot B^t$ NO es posible.Dado que el producto $D \cdot B^t$ no se puede realizar, la operación completa $D \cdot B^t + A$ NO es posible.

Tercera operación: $D^t \cdot A^t + D$

Para el producto $D^t \cdot A^t$ :

\text{dim}(D^t) = 3 \times 2, \quad \text{dim}(A^t) = 2 \times 2

El número de columnas de $D^t$ (2) coincide con el número de filas de $A^t$ (2), por lo tanto, el producto es posible. La dimensión de $D^t \cdot A^t$ es $3 \times 2$ .Para la suma $D^t \cdot A^t + D$ :

\text{dim}(D^t \cdot A^t) = 3 \times 2, \quad \text{dim}(D) = 2 \times 3

Las matrices resultantes NO tienen la misma dimensión ( $3 \times 2 \neq 2 \times 3$ ), por lo tanto, la suma NO es posible.

T1: Matrices y determinantes

Operaciones con matrices, inversa y ecuaciones matriciales

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

1

BLOQUE A

Se consideran las matrices

M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \\ 7 & 4 & 0 \end{pmatrix}, \quad V = \begin{pmatrix} 5 - a^2 \\ a - 1 \\ a^2 \end{pmatrix}

, siendo $a$ un número real.

a) Halle el valor de

a

para que se verifique que

M^t \cdot V = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 5 \end{pmatrix}^t

.b) Calcule

M^{-1}

y resuelva la ecuación matricial

X \cdot M - I_3 = N

.c) Razone si las operaciones

2 \cdot V \cdot N^t

y

(N + M^t) \cdot V

se pueden realizar y, en aquellos casos en que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante.

ÁlgebraMatricesEcuación matricial+1

a) Para hallar el valor de

a

, primero calculamos la traspuesta de la matriz

M

,

M^t

.

M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \implies M^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Ahora, realizamos el producto matricial $M^t \cdot V$ :

M^t \cdot V = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 - a^2 \\ a - 1 \\ a^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(5-a^2) + 2(a-1) + 1(a^2) \\ 0(5-a^2) + 1(a-1) + 1(a^2) \\ 1(5-a^2) + 0(a-1) + 1(a^2) \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 5 - a^2 + 2a - 2 + a^2 \\ a - 1 + a^2 \\ 5 - a^2 + a^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + 3 \\ a^2 + a - 1 \\ 5 \end{pmatrix}

Se nos indica que este producto debe ser igual a $\begin{pmatrix} 5 & 1 & 5 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$ . Igualando las matrices, obtenemos un sistema de ecuaciones:

\begin{cases} 2a + 3 = 5 \\ a^2 + a - 1 = 1 \\ 5 = 5 \end{cases}

Resolvemos la primera ecuación:

2a + 3 = 5 \implies 2a = 2 \implies a = 1

Resolvemos la segunda ecuación:

a^2 + a - 1 = 1 \implies a^2 + a - 2 = 0

Usando la fórmula cuadrática $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ :

a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}

a_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \quad ; \quad a_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2

Para que se verifiquen ambas ecuaciones, el valor de $a$ debe ser $1$ .

b) Primero calculamos la inversa de

M

,

M^{-1}

. Para ello, calculamos el determinante de

M

:

\det(M) = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 1(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - 0(2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + 1(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = 1(1) - 0 + 1(1) = 2

Como $\det(M) = 2 \neq 0$ , la matriz $M$ tiene inversa. Calculamos la matriz de cofactores:

C = \begin{pmatrix} +\det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & -\det\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & +\det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ -\det\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & +\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & -\det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ +\det\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} & -\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} & +\det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores:

\text{Adj}(M) = C^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

Finalmente, la inversa de $M$ es $M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \text{Adj}(M)$ :

M^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & -1/2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 \end{pmatrix}

Ahora, resolvemos la ecuación matricial $X \cdot M - I_3 = N$ . Primero despejamos $X$ :

X \cdot M = N + I_3

Multiplicamos por $M^{-1}$ por la derecha en ambos lados de la ecuación:

X \cdot M \cdot M^{-1} = (N + I_3) \cdot M^{-1}

X = (N + I_3) \cdot M^{-1}

Calculamos $N + I_3$ :

N + I_3 = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \\ 7 & 4 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 5 & 3 & 1 \\ 7 & 4 & 1 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos $X = (N + I_3) \cdot M^{-1}$ :

X = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 5 & 3 & 1 \\ 7 & 4 & 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4(1)+2(-2)+2(1) & 4(1)+2(0)+2(-1) & 4(-1)+2(2)+2(1) \\ 5(1)+3(-2)+1(1) & 5(1)+3(0)+1(-1) & 5(-1)+3(2)+1(1) \\ 7(1)+4(-2)+1(1) & 7(1)+4(0)+1(-1) & 7(-1)+4(2)+1(1) \end{pmatrix}

X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4-4+2 & 4+0-2 & -4+4+2 \\ 5-6+1 & 5+0-1 & -5+6+1 \\ 7-8+1 & 7+0-1 & -7+8+1 \end{pmatrix}

X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 6 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}

c) Analizamos la operación

2 \cdot V \cdot N^t

:

Las dimensiones de las matrices son:

V: 3 \times 1

N: 3 \times 3 \implies N^t: 3 \times 3

Para que el producto $V \cdot N^t$ sea posible, el número de columnas de $V$ debe ser igual al número de filas de $N^t$ . Es decir, $1 = 3$ . Esto no es cierto.Por lo tanto, la operación $2 \cdot V \cdot N^t$ no se puede realizar.Analizamos la operación $(N + M^t) \cdot V$ :Las dimensiones de las matrices son:

N: 3 \times 3

M: 3 \times 3 \implies M^t: 3 \times 3

V: 3 \times 1

Primero, la suma $N + M^t$ : para que la suma sea posible, las matrices deben tener las mismas dimensiones. Ambas son $3 \times 3$ , por lo que la suma es posible y la matriz resultante $N + M^t$ tendrá dimensiones $3 \times 3$ .Luego, el producto $(N + M^t) \cdot V$ : se multiplicaría una matriz de $3 \times 3$ por una matriz de $3 \times 1$ . El número de columnas de la primera matriz (3) coincide con el número de filas de la segunda matriz (3), por lo que el producto es posible.La dimensión de la matriz resultante será el número de filas de la primera matriz por el número de columnas de la segunda matriz, es decir, $3 \times 1$ .

T1: Matrices y determinantes

Ecuaciones matriciales

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

1

Dada la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}

resuelva la ecuación

A^2 \cdot X + A^4 = A

MatricesEcuación matricialÁlgebra lineal

Dada la ecuación matricial $A^2 \cdot X + A^4 = A$ , nuestro objetivo es despejar la matriz $X$ . Primero, reorganizamos la ecuación para aislar $X$ :

A^2 \cdot X = A - A^4

Para poder despejar $X$ , necesitamos determinar si la matriz $A$ es invertible. Calculamos su determinante:

\det(A) = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Usando la regla de Sarrus o el desarrollo por cofactores:

\det(A) = 1 \cdot ((-1)(1) - (2)(0)) - 2 \cdot ((0)(1) - (2)(-2)) + 0 \cdot ((0)(0) - (-1)(-2)) \\ \det(A) = 1 \cdot (-1 - 0) - 2 \cdot (0 - (-4)) + 0 \\ \det(A) = -1 - 2 \cdot 4 \\ \det(A) = -1 - 8 = -9

Dado que $\det(A) = -9 \neq 0$ , la matriz $A$ es invertible. Por lo tanto, también lo es $A^2$ , y podemos multiplicar por $(A^2)^{-1} = (A^{-1})^2$ por la izquierda:

X = (A^{-1})^2 \cdot (A - A^4) \\ X = (A^{-1})^2 \cdot A - (A^{-1})^2 \cdot A^4 \\ X = A^{-1} \cdot A^{-1} \cdot A - A^{-1} \cdot A^{-1} \cdot A^4 \\ X = A^{-1} \cdot I - A^{-1} \cdot A^3 \\ X = A^{-1} - A^2

Ahora, calculamos $A^2$ y $A^{-1}$ .

Cálculo de $A^2$

A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ A^2 = \begin{pmatrix} 1(1)+2(0)+0(-2) & 1(2)+2(-1)+0(0) & 1(0)+2(2)+0(1) \\ 0(1)+(-1)(0)+2(-2) & 0(2)+(-1)(-1)+2(0) & 0(0)+(-1)(2)+2(1) \\ (-2)(1)+0(0)+1(-2) & (-2)(2)+0(-1)+1(0) & (-2)(0)+0(2)+1(1) \end{pmatrix} \\ A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -4 & 1 & 0 \\ -4 & -4 & 1 \end{pmatrix}

Cálculo de $A^{-1}$

La inversa de una matriz se calcula como $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot (\text{adj}(A))^T$ . Ya tenemos $\det(A) = -9$ . Calculamos la matriz de cofactores $C_{ij}$ .

C_{11} = (-1)^{1+1} \det \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -1 \\ C_{12} = (-1)^{1+2} \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = -4 \\ C_{13} = (-1)^{1+3} \det \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = -2 \\ C_{21} = (-1)^{2+1} \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -2 \\ C_{22} = (-1)^{2+2} \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = 1 \\ C_{23} = (-1)^{2+3} \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} = -4 \\ C_{31} = (-1)^{3+1} \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = 4 \\ C_{32} = (-1)^{3+2} \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = -2 \\ C_{33} = (-1)^{3+3} \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -1

La matriz de cofactores es:

C = \begin{pmatrix} -1 & -4 & -2 \\ -2 & 1 & -4 \\ 4 & -2 & -1 \end{pmatrix}

La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores:

\text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 4 \\ -4 & 1 & -2 \\ -2 & -4 & -1 \end{pmatrix}

Ahora, calculamos $A^{-1}$ :

A^{-1} = -\frac{1}{9} \begin{pmatrix} -1 & -2 & 4 \\ -4 & 1 & -2 \\ -2 & -4 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/9 & 2/9 & -4/9 \\ 4/9 & -1/9 & 2/9 \\ 2/9 & 4/9 & 1/9 \end{pmatrix}

Cálculo de $X = A^{-1} - A^2$

X = \begin{pmatrix} 1/9 & 2/9 & -4/9 \\ 4/9 & -1/9 & 2/9 \\ 2/9 & 4/9 & 1/9 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 \\ -4 & 1 & 0 \\ -4 & -4 & 1 \end{pmatrix} \\ X = \begin{pmatrix} 1/9 - 1 & 2/9 - 0 & -4/9 - 4 \\ 4/9 - (-4) & -1/9 - 1 & 2/9 - 0 \\ 2/9 - (-4) & 4/9 - (-4) & 1/9 - 1 \end{pmatrix} \\ X = \begin{pmatrix} 1/9 - 9/9 & 2/9 & -4/9 - 36/9 \\ 4/9 + 36/9 & -1/9 - 9/9 & 2/9 \\ 2/9 + 36/9 & 4/9 + 36/9 & 1/9 - 9/9 \end{pmatrix} \\ X = \begin{pmatrix} -8/9 & 2/9 & -40/9 \\ 40/9 & -10/9 & 2/9 \\ 38/9 & 40/9 & -8/9 \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Álgebra de matrices

Problema

2023 · Ordinaria · Reserva

1

BLOQUE A

a) Un agricultor vende la producción de tres tipos de uva, Tempranillo, Garnacha y Macabeo, de dos de sus fincas. La matriz

Q = \begin{pmatrix} 50 & 40 & 35 \\ 0 & 60 & 55 \end{pmatrix}

recoge la producción, en miles de kilogramos, de estos tipos de uva en cada finca. El precio de venta por kilogramo, en céntimos de euro, según el tipo de uva y la finca, viene dado por la matriz

P = \begin{pmatrix} 40 & 38 & 42 \\ 34 & 37 & 40 \end{pmatrix}

.

Calcule el producto $Q \cdot P^t$ y explique el significado económico de los elementos de la diagonal principal del resultado. Indique también la cantidad total de dinero que ha obtenido el agricultor por la venta de la cosecha de las dos fincas.

b) Dada la siguiente ecuación matricial

M \cdot X + N = V

:b1) Suponiendo que

M

sea invertible, despeje la matriz

X

en la ecuación anterior.b2) Para

M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

,

N = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}

y

V = \begin{pmatrix} 8 & 7 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}

, calcule la matriz

X

.

MatricesEcuación matricialDiagonal principal

a) Calcule el producto

Q \cdot P^t

y explique el significado económico de los elementos de la diagonal principal del resultado. Indique también la cantidad total de dinero que ha obtenido el agricultor por la venta de la cosecha de las dos fincas.

Dadas las matrices de producción $Q$ y de precios $P$ :

Q = \begin{pmatrix} 50 & 40 & 35 \\ 0 & 60 & 55 \end{pmatrix}

P = \begin{pmatrix} 40 & 38 & 42 \\ 34 & 37 & 40 \end{pmatrix}

Primero calculamos la transpuesta de $P$ , $P^t$ :

P^t = \begin{pmatrix} 40 & 34 \\ 38 & 37 \\ 42 & 40 \end{pmatrix}

Ahora realizamos el producto $Q \cdot P^t$ :

Q \cdot P^t = \begin{pmatrix} 50 & 40 & 35 \\ 0 & 60 & 55 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 40 & 34 \\ 38 & 37 \\ 42 & 40 \end{pmatrix}

Q \cdot P^t = \begin{pmatrix} (50 \cdot 40 + 40 \cdot 38 + 35 \cdot 42) & (50 \cdot 34 + 40 \cdot 37 + 35 \cdot 40) \\ (0 \cdot 40 + 60 \cdot 38 + 55 \cdot 42) & (0 \cdot 34 + 60 \cdot 37 + 55 \cdot 40) \end{pmatrix}

Q \cdot P^t = \begin{pmatrix} (2000 + 1520 + 1470) & (1700 + 1480 + 1400) \\ (0 + 2280 + 2310) & (0 + 2220 + 2200) \end{pmatrix}

Q \cdot P^t = \begin{pmatrix} 4990 & 4580 \\ 4590 & 4420 \end{pmatrix}

El significado económico de los elementos de la diagonal principal es el siguiente:* El elemento $C_{11} = 4990$ representa el ingreso total (en céntimos de euro) de la Finca 1, obtenido al vender su propia producción (Tempranillo, Garnacha y Macabeo) a los precios correspondientes a la Finca 1.* El elemento $C_{22} = 4420$ representa el ingreso total (en céntimos de euro) de la Finca 2, obtenido al vender su propia producción a los precios correspondientes a la Finca 2.La cantidad total de dinero que ha obtenido el agricultor por la venta de la cosecha de las dos fincas es la suma de los ingresos de cada finca con sus respectivos precios:

\text{Total de dinero} = C_{11} + C_{22} = 4990 + 4420 = 9410 \text{ céntimos de euro}

Esto equivale a $94,10$ euros.

b) Dada la siguiente ecuación matricial

M \cdot X + N = V

:b1) Suponiendo que

M

sea invertible, despeje la matriz

X

en la ecuación anterior.

Dada la ecuación matricial $M \cdot X + N = V$ :

M \cdot X + N = V

Restamos la matriz $N$ en ambos lados de la ecuación:

M \cdot X = V - N

Como $M$ es invertible, multiplicamos por la inversa de $M$ ( $M^{-1}$ ) por la izquierda en ambos lados:

M^{-1} \cdot (M \cdot X) = M^{-1} \cdot (V - N)

Sabiendo que $M^{-1} \cdot M = I$ (matriz identidad), la ecuación queda:

I \cdot X = M^{-1} \cdot (V - N)

Por lo tanto, la matriz $X$ es:

X = M^{-1} \cdot (V - N)

b2) Para

M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

,

N = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}

y

V = \begin{pmatrix} 8 & 7 \\ 6 & 5 \end{pmatrix}

, calcule la matriz

X

.

Primero calculamos la inversa de $M$ , $M^{-1}$ .

M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

El determinante de $M$ es $det(M) = (1 \cdot 1) - (0 \cdot 1) = 1$ . Como $det(M) \neq 0$ , $M$ es invertible.La inversa de una matriz $2 \times 2$ , $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ , es $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ .

M^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

Ahora calculamos la diferencia $V - N$ :

V - N = \begin{pmatrix} 8 & 7 \\ 6 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8-5 & 7-4 \\ 6-3 & 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos $X = M^{-1} \cdot (V - N)$ :

X = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} (1 \cdot 3 + 0 \cdot 3) & (1 \cdot 3 + 0 \cdot 3) \\ (-1 \cdot 3 + 1 \cdot 3) & (-1 \cdot 3 + 1 \cdot 3) \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} (3 + 0) & (3 + 0) \\ (-3 + 3) & (-3 + 3) \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Matrices

Problema

2023 · Ordinaria · Suplente

2

a) Se considera la matriz

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & m & -2 \\ 1 & m & 4 \end{pmatrix}

a1) Obtenga para qué valores de

m

la matriz

A

tiene inversa.a2) Calcule, en caso de existir, la inversa de

A

para

m = 1

.b) Despeje y simplifique

X

en la ecuación

X \cdot B - B^2 + B = 0

, sabiendo que la matriz

B

es invertible.

MatricesInversa de una matrizEcuaciones matriciales

a1) Obtenga para qué valores de

m

la matriz

A

tiene inversa.

Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$ :

\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & m & -2 \\ 1 & m & 4 \end{vmatrix}

\det(A) = 1(m \cdot 4 - (-2) \cdot m) - (-1)(0 \cdot 4 - (-2) \cdot 1) + 0(0 \cdot m - m \cdot 1)

\det(A) = 1(4m + 2m) + 1(0 + 2) + 0

\det(A) = 6m + 2

Para que la matriz $A$ tenga inversa, el determinante debe ser distinto de cero:

6m + 2 \neq 0

6m \neq -2

m \neq -\frac{2}{6}

m \neq -\frac{1}{3}

La matriz $A$ tiene inversa para todos los valores de $m \in \mathbb{R}$ tales que $m \neq -\frac{1}{3}$ .

a2) Calcule, en caso de existir, la inversa de

A

para

m = 1

.

Dado que $m = 1 \neq -\frac{1}{3}$ , la inversa existe. Sustituimos $m = 1$ en la matriz $A$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}

Calculamos el determinante para $m=1$ :

\det(A) = 6(1) + 2 = 8

Ahora calculamos la matriz de adjuntos $C = (A_{ij})$ :

A_{11} = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - (-2) \cdot 1 = 4 + 2 = 6

A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = -(0 \cdot 4 - (-2) \cdot 1) = -(0 + 2) = -2

A_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0 \cdot 1 - 1 \cdot 1 = 0 - 1 = -1

A_{21} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = -((-1) \cdot 4 - 0 \cdot 1) = -(-4 - 0) = 4

A_{22} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 - 0 \cdot 1 = 4 - 0 = 4

A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) = -(1 + 1) = -2

A_{31} = \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (-1) \cdot (-2) - 0 \cdot 1 = 2 - 0 = 2

A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -(1 \cdot (-2) - 0 \cdot 0) = -(-2 - 0) = 2

A_{33} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 0 = 1 - 0 = 1

La matriz de cofactores es:

C = \begin{pmatrix} 6 & -2 & -1 \\ 4 & 4 & -2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}

La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores:

Adj(A) = C^T = \begin{pmatrix} 6 & 4 & 2 \\ -2 & 4 & 2 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}

Finalmente, la inversa de $A$ es $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A)$ :

A^{-1} = \frac{1}{8} \begin{pmatrix} 6 & 4 & 2 \\ -2 & 4 & 2 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}

A^{-1} = \begin{pmatrix} 6/8 & 4/8 & 2/8 \\ -2/8 & 4/8 & 2/8 \\ -1/8 & -2/8 & 1/8 \end{pmatrix}

A^{-1} = \begin{pmatrix} 3/4 & 1/2 & 1/4 \\ -1/4 & 1/2 & 1/4 \\ -1/8 & -1/4 & 1/8 \end{pmatrix}

b) Despeje y simplifique

X

en la ecuación

X \cdot B - B^2 + B = 0

, sabiendo que la matriz

B

es invertible.

Partimos de la ecuación dada:

X \cdot B - B^2 + B = 0

Sumamos $B^2$ y restamos $B$ a ambos lados de la ecuación para aislar el término con $X$ :

X \cdot B = B^2 - B

Dado que la matriz $B$ es invertible, podemos multiplicar por su inversa $B^{-1}$ por la derecha en ambos lados de la ecuación. Es crucial mantener el orden de la multiplicación, ya que la multiplicación de matrices no es conmutativa:

(X \cdot B) \cdot B^{-1} = (B^2 - B) \cdot B^{-1}

Aplicamos la propiedad asociativa $X \cdot (B \cdot B^{-1})$ a la izquierda y la propiedad distributiva $B^2 \cdot B^{-1} - B \cdot B^{-1}$ a la derecha:

X \cdot (B \cdot B^{-1}) = B^2 \cdot B^{-1} - B \cdot B^{-1}

Sabiendo que $B \cdot B^{-1} = I$ (matriz identidad):

X \cdot I = B^2 \cdot B^{-1} - I

Como $X \cdot I = X$ y $B^2 \cdot B^{-1} = B \cdot (B \cdot B^{-1}) = B \cdot I = B$ :

X = B - I

La expresión simplificada para $X$ es $X = B - I$ , donde $I$ es la matriz identidad del mismo orden que $B$ .

T1: Matrices y determinantes

Ecuaciones matriciales

Problema

2023 · Ordinaria · Titular

2

BLOQUE A - EJERCICIO 2

Dadas las matrices:

A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ a & -1 \\ \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ \end{pmatrix}

a) Calcule los valores del parámetro

a

para los que tanto

A

como

B

admitan inversa.b) Para

a = 1

, halle una matriz

X

que satisfaga

A \cdot X \cdot B = C

.

MatricesMatriz InversaEcuación Matricial

a) Calcule los valores del parámetro

a

para los que tanto

A

como

B

admitan inversa.

Para que una matriz admita inversa, su determinante debe ser distinto de cero.Calculamos el determinante de la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}$ :

\det(A) = a \begin{vmatrix} a & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 0 \begin{vmatrix} 0 & a \\ 0 & 1 \end{vmatrix}

\det(A) = a(a \cdot 1 - 2 \cdot 1) - 1(0 - 0) + 0 = a(a-2)

Para que $A$ tenga inversa, $\det(A) \neq 0$ , lo que implica:

a(a-2) \neq 0 \implies a \neq 0 \quad \text{y} \quad a \neq 2

Ahora calculamos el determinante de la matriz $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ a & -1 \\ \end{pmatrix}$ :

\det(B) = (2)(-1) - (-1)(a) = -2 + a

Para que $B$ tenga inversa, $\det(B) \neq 0$ , lo que implica:

-2 + a \neq 0 \implies a \neq 2

Para que ambas matrices, $A$ y $B$ , admitan inversa, se deben cumplir todas las condiciones simultáneamente.

a \neq 0 \quad \text{y} \quad a \neq 2

b) Para

a = 1

, halle una matriz

X

que satisfaga

A \cdot X \cdot B = C

.

Sustituimos $a=1$ en las matrices $A$ y $B$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ \end{pmatrix}

La ecuación a resolver es $A \cdot X \cdot B = C$ . Para despejar $X$ , multiplicamos por la inversa de $A$ por la izquierda y por la inversa de $B$ por la derecha:

A^{-1} \cdot (A \cdot X \cdot B) \cdot B^{-1} = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}

(A^{-1} \cdot A) \cdot X \cdot (B \cdot B^{-1}) = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}

I \cdot X \cdot I = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}

X = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}

Calculamos $A^{-1}$ para $a=1$ :

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}

Ya hemos calculado $\det(A) = a(a-2)$ . Para $a=1$ , $\det(A) = 1(1-2) = -1$ .Calculamos la matriz de cofactores $M_{cof}$ :

M_{cof} = \begin{pmatrix} +(-1) & -(0) & +(0) \\ -(1) & +(1) & -(-1) \\ +(2) & -(-2) & +(1) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}

La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores:

\text{adj}(A) = M_{cof}^T = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix}

La matriz inversa $A^{-1}$ es:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & -1 \\ \end{pmatrix}

Revisando adjunta, $M_{23} = -((1)(1) - (0)(1)) = -1$ , entonces $M_{cof_{23}} = -(-1) = 1$ . $M_{32} = -((1)(2) - (0)(0)) = -2$ , $M_{cof_{32}} = -(-2) = 2$ . Así que adjunta es:

\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix}

Calculamos $B^{-1}$ para $a=1$ :

B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \\ \end{pmatrix}

Ya hemos calculado $\det(B) = -2 + a$ . Para $a=1$ , $\det(B) = -2 + 1 = -1$ .

B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \text{adj}(B) = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -2 \\ \end{pmatrix}

Ahora calculamos el producto $A^{-1} \cdot C$ :

A^{-1} \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \\ 2 & 0 \\ \end{pmatrix}

A^{-1} \cdot C = \begin{pmatrix} (1)(2)+(1)(1)+(-2)(2) & (1)(-1)+(1)(-1)+(-2)(0) \\ (0)(2)+(-1)(1)+(2)(2) & (0)(-1)+(-1)(-1)+(2)(0) \\ (0)(2)+(1)(1)+(-1)(2) & (0)(-1)+(1)(-1)+(-1)(0) \\ \end{pmatrix}

A^{-1} \cdot C = \begin{pmatrix} 2+1-4 & -1-1+0 \\ 0-1+4 & 0+1+0 \\ 0+1-2 & 0-1+0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 1 \\ -1 & -1 \\ \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos $X = (A^{-1} \cdot C) \cdot B^{-1}$ :

X = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 1 \\ -1 & -1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -2 \\ \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} (-1)(1)+(-2)(1) & (-1)(-1)+(-2)(-2) \\ (3)(1)+(1)(1) & (3)(-1)+(1)(-2) \\ (-1)(1)+(-1)(1) & (-1)(-1)+(-1)(-2) \\ \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} -1-2 & 1+4 \\ 3+1 & -3-2 \\ -1-1 & 1+2 \\ \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 4 & -5 \\ -2 & 3 \\ \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Matrices y problemas con matrices

Problema

2023 · Extraordinaria · Reserva

1

Una conservera fabrica latas de pisto con tomate, cebolla y pimiento siguiendo dos recetas distintas. La matriz $\begin{pmatrix} 500 & 300 & 200 \\ 600 & 100 & 300 \end{pmatrix}$ indica los gramos necesarios de cada producto para conseguir una lata de cada receta. Se dispone de dos proveedores, siendo la matriz de precios en euros por kilo de cada producto $\begin{pmatrix} 0.5 & 0.4 & 0.6 \\ 0.4 & 0.5 & 0.7 \end{pmatrix}$ . Los costes de producción de cada receta en euros por lata vienen dados por la matriz $(0.11 \quad 0.09)$ . Los costes de transporte en euros por lata según cada proveedor vienen dados por la matriz $(0.02 \quad 0.03)$ . La conservera quiere obtener un beneficio de 5 céntimos por lata. Una distribuidora compra 11000 latas de la primera receta, siendo 5000 del primer proveedor, y otras 11000 de la segunda receta, siendo 6000 del primer proveedor. ¿Cuánto debe cobrar la conservera por el pedido de esta distribuidora?

MatricesCostes de producciónOperaciones con matrices

Definimos las matrices dadas y realizamos las conversiones de unidades necesarias. La matriz de ingredientes está dada en gramos, por lo que la convertiremos a kilogramos para que sea compatible con la matriz de precios.

M_{ingredientes} = \begin{pmatrix} 500 & 300 & 200 \\ 600 & 100 & 300 \end{pmatrix} \text{ (gramos por lata)}

M'_{ingredientes} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.3 & 0.2 \\ 0.6 & 0.1 & 0.3 \end{pmatrix} \text{ (kilogramos por lata)}

M_{precios} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.4 & 0.6 \\ 0.4 & 0.5 & 0.7 \end{pmatrix} \text{ (euros por kilogramo, por proveedor)}

M_{costes\_producción} = \begin{pmatrix} 0.11 & 0.09 \end{pmatrix} \text{ (euros por lata, por receta)}

M_{costes\_transporte} = \begin{pmatrix} 0.02 & 0.03 \end{pmatrix} \text{ (euros por lata, por proveedor)}

El beneficio deseado es de $0.05$ euros por lata.

Paso 1: Cálculo del coste de ingredientes por lata

Para calcular el coste de los ingredientes por lata para cada receta y cada proveedor, multiplicamos la matriz de ingredientes en kilogramos ( $M'_{ingredientes}$ ) por la traspuesta de la matriz de precios ( $M_{precios}^T$ ). Las filas de $M'_{ingredientes}$ representan las recetas y las columnas los ingredientes. Las filas de $M_{precios}$ representan los proveedores y las columnas los precios de los ingredientes. Para obtener el coste de ingredientes por lata (Receta, Proveedor), realizamos el siguiente producto matricial:

C_{ingredientes} = M'_{ingredientes} \cdot M_{precios}^T

C_{ingredientes} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.3 & 0.2 \\ 0.6 & 0.1 & 0.3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.5 & 0.4 \\ 0.4 & 0.5 \\ 0.6 & 0.7 \end{pmatrix}

C_{ingredientes} = \begin{pmatrix} (0.5\cdot0.5) + (0.3\cdot0.4) + (0.2\cdot0.6) & (0.5\cdot0.4) + (0.3\cdot0.5) + (0.2\cdot0.7) \\ (0.6\cdot0.5) + (0.1\cdot0.4) + (0.3\cdot0.6) & (0.6\cdot0.4) + (0.1\cdot0.5) + (0.3\cdot0.7) \end{pmatrix}

C_{ingredientes} = \begin{pmatrix} 0.25 + 0.12 + 0.12 & 0.20 + 0.15 + 0.14 \\ 0.30 + 0.04 + 0.18 & 0.24 + 0.05 + 0.21 \end{pmatrix}

C_{ingredientes} = \begin{pmatrix} 0.49 & 0.49 \\ 0.52 & 0.50 \end{pmatrix} \text{ (euros por lata, por receta y proveedor)}

Paso 2: Cálculo del coste total por lata

El coste total por lata se obtiene sumando el coste de los ingredientes, el coste de producción (dependiente de la receta) y el coste de transporte (dependiente del proveedor). Los costes de producción se aplican por receta, y los de transporte por proveedor.

C_{total}(i,j) = C_{ingredientes}(i,j) + M_{costes\_producción}(i) + M_{costes\_transporte}(j)

C_{total}(1,1) = 0.49 + 0.11 + 0.02 = 0.62 \text{ (Receta 1, Proveedor 1)}

C_{total}(1,2) = 0.49 + 0.11 + 0.03 = 0.63 \text{ (Receta 1, Proveedor 2)}

C_{total}(2,1) = 0.52 + 0.09 + 0.02 = 0.63 \text{ (Receta 2, Proveedor 1)}

C_{total}(2,2) = 0.50 + 0.09 + 0.03 = 0.62 \text{ (Receta 2, Proveedor 2)}

C_{total} = \begin{pmatrix} 0.62 & 0.63 \\ 0.63 & 0.62 \end{pmatrix} \text{ (euros por lata)}

Paso 3: Cálculo del precio de venta por lata

Para obtener el precio de venta por lata, sumamos el beneficio deseado ( $0.05$ euros) al coste total por lata.

P_{venta}(i,j) = C_{total}(i,j) + 0.05

P_{venta}(1,1) = 0.62 + 0.05 = 0.67

P_{venta}(1,2) = 0.63 + 0.05 = 0.68

P_{venta}(2,1) = 0.63 + 0.05 = 0.68

P_{venta}(2,2) = 0.62 + 0.05 = 0.67

P_{venta} = \begin{pmatrix} 0.67 & 0.68 \\ 0.68 & 0.67 \end{pmatrix} \text{ (euros por lata)}

Paso 4: Cálculo del importe total del pedido

La distribuidora compra: - 11000 latas de la primera receta, de las cuales 5000 son del primer proveedor y el resto (6000) del segundo proveedor. - 11000 latas de la segunda receta, de las cuales 6000 son del primer proveedor y el resto (5000) del segundo proveedor.

\text{Importe total} = (5000 \cdot P_{venta}(1,1)) + (6000 \cdot P_{venta}(1,2)) + (6000 \cdot P_{venta}(2,1)) + (5000 \cdot P_{venta}(2,2))

\text{Importe total} = (5000 \cdot 0.67) + (6000 \cdot 0.68) + (6000 \cdot 0.68) + (5000 \cdot 0.67)

\text{Importe total} = 3350 + 4080 + 4080 + 3350

\text{Importe total} = 14860 \text{ euros}

La conservera debe cobrar $14860$ euros por el pedido de esta distribuidora.

T1: Matrices y determinantes

Operaciones con matrices y sistemas matriciales

Problema

2023 · Extraordinaria · Titular

2

Se consideran las matrices

A = \begin{pmatrix} 5 & -7 & 6 \\ 7 & 0 & 4 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -9 \\ -2 & 0 & 11 \\ 0 & 4 & -7 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}

a) Halle las dimensiones de las siguientes matrices

C^tAC, ACC^tB

.b) Calcule, en caso de existir, las inversas de las matrices

A

y

B

.c) Resuelva el siguiente sistema matricial

\begin{cases} 2X + 3Y = A \\ -3X + 4Y = B \end{cases}

MatricesMatriz inversaEcuación matricial

a) Halle las dimensiones de las siguientes matrices

C^tAC, ACC^tB

.

Las dimensiones de las matrices dadas son: $A$ es de dimensión $3 \times 3$ $B$ es de dimensión $3 \times 3$ $C$ es de dimensión $3 \times 1$ Por lo tanto, $C^t$ es de dimensión $1 \times 3$ .Para $C^tAC$ :

(1 \times 3) \cdot (3 \times 3) \cdot (3 \times 1) \rightarrow (1 \times 3) \cdot (3 \times 1) \rightarrow 1 \times 1

La dimensión de $C^tAC$ es $1 \times 1$ .Para $ACC^tB$ :

(3 \times 3) \cdot (3 \times 1) \cdot (1 \times 3) \cdot (3 \times 3)

Primero, calculemos las dimensiones de los productos intermedios: $C C^t$ : $(3 \times 1) \cdot (1 \times 3) \rightarrow 3 \times 3$ Entonces, $A(CC^t)B$ : $(3 \times 3) \cdot (3 \times 3) \cdot (3 \times 3) \rightarrow (3 \times 3) \cdot (3 \times 3) \rightarrow 3 \times 3$ La dimensión de $ACC^tB$ es $3 \times 3$ .

b) Calcule, en caso de existir, las inversas de las matrices

A

y

B

.

Cálculo de la inversa de $A$ :

A = \begin{pmatrix} 5 & -7 & 6 \\ 7 & 0 & 4 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}

Primero, calculamos el determinante de $A$ :

\det(A) = 5 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} - (-7) \cdot \det\begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} + 6 \cdot \det\begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}

\det(A) = 5(0 \cdot (-1) - 4 \cdot 3) + 7(7 \cdot (-1) - 4 \cdot 0) + 6(7 \cdot 3 - 0 \cdot 0)

\det(A) = 5(-12) + 7(-7) + 6(21)

\det(A) = -60 - 49 + 126 = 17

Dado que $\det(A) = 17 \neq 0$ , la matriz $A$ tiene inversa.A continuación, calculamos la matriz de cofactores $C_{ij}$ :

C_{11} = -12, \quad C_{12} = 7, \quad C_{13} = 21

C_{21} = 11, \quad C_{22} = -5, \quad C_{23} = -15

C_{31} = -28, \quad C_{32} = 22, \quad C_{33} = 49

La matriz adjunta $Adj(A)$ es la traspuesta de la matriz de cofactores:

Adj(A) = \begin{pmatrix} -12 & 11 & -28 \\ 7 & -5 & 22 \\ 21 & -15 & 49 \end{pmatrix}

Finalmente, la inversa de $A$ es:

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} Adj(A) = \frac{1}{17} \begin{pmatrix} -12 & 11 & -28 \\ 7 & -5 & 22 \\ 21 & -15 & 49 \end{pmatrix}

Cálculo de la inversa de $B$ :

B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -9 \\ -2 & 0 & 11 \\ 0 & 4 & -7 \end{pmatrix}

Calculamos el determinante de $B$ :

\det(B) = 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 11 \\ 4 & -7 \end{pmatrix} - 2 \cdot \det\begin{pmatrix} -2 & 11 \\ 0 & -7 \end{pmatrix} + (-9) \cdot \det\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

\det(B) = 1(0 \cdot (-7) - 11 \cdot 4) - 2((-2) \cdot (-7) - 11 \cdot 0) - 9((-2) \cdot 4 - 0 \cdot 0)

\det(B) = 1(-44) - 2(14) - 9(-8)

\det(B) = -44 - 28 + 72

\det(B) = 0

Dado que $\det(B) = 0$ , la matriz $B$ no tiene inversa.

c) Resuelva el siguiente sistema matricial

\begin{cases} 2X + 3Y = A \\ -3X + 4Y = B \end{cases}

Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por 2 para eliminar $X$ :

\begin{cases} 6X + 9Y = 3A \\ -6X + 8Y = 2B \end{cases}

Sumando ambas ecuaciones:

(6X + 9Y) + (-6X + 8Y) = 3A + 2B

17Y = 3A + 2B

Y = \frac{1}{17}(3A + 2B)

Ahora, sustituimos $Y$ en la primera ecuación para despejar $X$ :

2X = A - 3Y

X = \frac{1}{2}(A - 3Y)

X = \frac{1}{2}\left(A - 3\left(\frac{1}{17}(3A + 2B)\right)\right)

X = \frac{1}{2}\left(A - \frac{9}{17}A - \frac{6}{17}B\right)

X = \frac{1}{2}\left(\frac{17A - 9A}{17} - \frac{6B}{17}\right)

X = \frac{1}{2}\left(\frac{8A}{17} - \frac{6B}{17}\right)

X = \frac{4A}{17} - \frac{3B}{17} = \frac{1}{17}(4A - 3B)

Calculamos $3A + 2B$ :

3A = 3 \begin{pmatrix} 5 & -7 & 6 \\ 7 & 0 & 4 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 & -21 & 18 \\ 21 & 0 & 12 \\ 0 & 9 & -3 \end{pmatrix}

2B = 2 \begin{pmatrix} 1 & 2 & -9 \\ -2 & 0 & 11 \\ 0 & 4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & -18 \\ -4 & 0 & 22 \\ 0 & 8 & -14 \end{pmatrix}

3A + 2B = \begin{pmatrix} 15+2 & -21+4 & 18-18 \\ 21-4 & 0+0 & 12+22 \\ 0+0 & 9+8 & -3-14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 & -17 & 0 \\ 17 & 0 & 34 \\ 0 & 17 & -17 \end{pmatrix}

Por lo tanto, la matriz $Y$ es:

Y = \frac{1}{17} \begin{pmatrix} 17 & -17 & 0 \\ 17 & 0 & 34 \\ 0 & 17 & -17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}

Calculamos $4A - 3B$ :

4A = 4 \begin{pmatrix} 5 & -7 & 6 \\ 7 & 0 & 4 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20 & -28 & 24 \\ 28 & 0 & 16 \\ 0 & 12 & -4 \end{pmatrix}

3B = 3 \begin{pmatrix} 1 & 2 & -9 \\ -2 & 0 & 11 \\ 0 & 4 & -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 & -27 \\ -6 & 0 & 33 \\ 0 & 12 & -21 \end{pmatrix}

4A - 3B = \begin{pmatrix} 20-3 & -28-6 & 24-(-27) \\ 28-(-6) & 0-0 & 16-33 \\ 0-0 & 12-12 & -4-(-21) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 & -34 & 51 \\ 34 & 0 & -17 \\ 0 & 0 & 17 \end{pmatrix}

Por lo tanto, la matriz $X$ es:

X = \frac{1}{17} \begin{pmatrix} 17 & -34 & 51 \\ 34 & 0 & -17 \\ 0 & 0 & 17 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

Problema

2022 · Ordinaria · Reserva

1

BLOQUE A

Se consideran las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix}

a) Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones y realice las que sean posibles:

C \cdot A, A + B, C^t \cdot B^t

.b) Resuelva la ecuación matricial

A \cdot X = B \cdot X + C

.

MatricesEcuación matricialInversa de una matriz

Resolución del ejercicio

Se tienen las matrices:

A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix}

Las dimensiones de estas matrices son:

\text{dim}(A) = 3 \times 3 \quad \text{dim}(B) = 3 \times 3 \quad \text{dim}(C) = 3 \times 1

a) Razone si se pueden efectuar las siguientes operaciones y realice las que sean posibles:

C \cdot A, A + B, C^t \cdot B^t

.

Para la operación $C \cdot A$ :

\text{dim}(C) = 3 \times 1 \quad \text{dim}(A) = 3 \times 3

El número de columnas de $C$ (1) no coincide con el número de filas de $A$ (3). Por lo tanto, la operación $C \cdot A$ no se puede efectuar.Para la operación $A + B$ :

\text{dim}(A) = 3 \times 3 \quad \text{dim}(B) = 3 \times 3

Ambas matrices tienen las mismas dimensiones. Por lo tanto, la operación $A + B$ se puede efectuar. El resultado es:

A + B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 & 0-1 & 1+1 \\ -1-1 & -1-1 & 1-1 \\ 2+1 & -1-1 & 0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ -2 & -2 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{pmatrix}

Para la operación $C^t \cdot B^t$ :Primero, calculamos las matrices transpuestas:

C^t = \begin{pmatrix} 3 & -7 & -2 \end{pmatrix} \quad \text{dim}(C^t) = 1 \times 3

B^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{dim}(B^t) = 3 \times 3

El número de columnas de $C^t$ (3) coincide con el número de filas de $B^t$ (3). Por lo tanto, la operación $C^t \cdot B^t$ se puede efectuar. El resultado es:

C^t \cdot B^t = \begin{pmatrix} 3 & -7 & -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 3(1)+(-7)(-1)+(-2)(1) & 3(-1)+(-7)(-1)+(-2)(-1) & 3(1)+(-7)(-1)+(-2)(1) \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 3+7-2 & -3+7+2 & 3+7-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 6 & 8 \end{pmatrix}

b) Resuelva la ecuación matricial

A \cdot X = B \cdot X + C

.

Reordenamos la ecuación para aislar $X$ :

A \cdot X - B \cdot X = C

(A - B) \cdot X = C

Sea $D = A - B$ . Calculamos $D$ :

D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & 0-(-1) & 1-1 \\ -1-(-1) & -1-(-1) & 1-(-1) \\ 2-1 & -1-(-1) & 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}

Ahora, la ecuación es $D \cdot X = C$ . Para resolverla, necesitamos la inversa de $D$ , $D^{-1}$ . Primero, calculamos el determinante de $D$ para verificar si es invertible:

\det(D) = 0 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} - 1 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} + 0 \cdot \det\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

\det(D) = 0 - 1(0 - 2) + 0 = -1(-2) = 2

Dado que $\det(D) = 2 \neq 0$ , la matriz $D$ es invertible.Calculamos la matriz de cofactores de $D$ :

C_{11} = 0 \quad C_{12} = -(-2) = 2 \quad C_{13} = 0

C_{21} = -(-1) = 1 \quad C_{22} = 0 \quad C_{23} = -(-1) = 1

C_{31} = 2 \quad C_{32} = -0 = 0 \quad C_{33} = 0

\text{cof}(D) = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}

La matriz adjunta es la transpuesta de la matriz de cofactores:

\text{adj}(D) = (\text{cof}(D))^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

La matriz inversa $D^{-1}$ es:

D^{-1} = \frac{1}{\det(D)} \text{adj}(D) = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}

Finalmente, resolvemos para $X = D^{-1} \cdot C$ :

X = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -7 \\ -2 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} (0)(3) + (1/2)(-7) + (1)(-2) \\ (1)(3) + (0)(-7) + (0)(-2) \\ (0)(3) + (1/2)(-7) + (0)(-2) \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} 0 - 7/2 - 2 \\ 3 + 0 + 0 \\ 0 - 7/2 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -11/2 \\ 3 \\ -7/2 \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Ecuaciones matriciales

Operacional

2022 · Ordinaria · Suplente

2

Se consideran las matrices

A = \begin{pmatrix} 7 & -6 & -2 \\ 3 & 1 & 4 \\ -5 & 0 & -4 \end{pmatrix} , B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 5 & 3 & 4 \\ -4 & 0 & 1 \end{pmatrix} , C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -2 & -3 & 0 \end{pmatrix} D = \begin{pmatrix} a^2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & a \end{pmatrix}

a) Resuelva la siguiente ecuación matricial

A^t - X \cdot A = 3I_3

.b) ¿Existe algún valor del parámetro

a

para el que se verifique

C^t \cdot D = B

? En caso afirmativo, calcule dicho valor.

MatricesEcuación matricialParámetros

a) Resuelva la siguiente ecuación matricial

A^t - X \cdot A = 3I_3

.

Primero, despejamos la matriz $X$ de la ecuación:

A^t - X \cdot A = 3I_3

X \cdot A = A^t - 3I_3

Para aislar $X$ , multiplicamos por la inversa de $A$ , $A^{-1}$ , por la derecha (si existe):

X = (A^t - 3I_3) \cdot A^{-1}

Calculamos $A^t$ y $3I_3$ :

A^t = \begin{pmatrix} 7 & 3 & -5 \\ -6 & 1 & 0 \\ -2 & 4 & -4 \end{pmatrix}

3I_3 = 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}

Ahora calculamos la expresión $(A^t - 3I_3)$ :

A^t - 3I_3 = \begin{pmatrix} 7 & 3 & -5 \\ -6 & 1 & 0 \\ -2 & 4 & -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & -5 \\ -6 & -2 & 0 \\ -2 & 4 & -7 \end{pmatrix}

A continuación, calculamos la inversa de $A$ , $A^{-1}$ . Primero, el determinante de $A$ :

A = \begin{pmatrix} 7 & -6 & -2 \\ 3 & 1 & 4 \\ -5 & 0 & -4 \end{pmatrix}

\det(A) = 7(1 \cdot (-4) - 4 \cdot 0) - (-6)(3 \cdot (-4) - 4 \cdot (-5)) + (-2)(3 \cdot 0 - 1 \cdot (-5))

\det(A) = 7(-4) + 6(-12 + 20) - 2(5) = -28 + 6(8) - 10 = -28 + 48 - 10 = 10

Como $\det(A) = 10 \neq 0$ , la inversa $A^{-1}$ existe. Calculamos la matriz de cofactores de $A$ :

C_{11} = -4 \quad C_{12} = -8 \quad C_{13} = 5

C_{21} = -24 \quad C_{22} = -38 \quad C_{23} = 30

C_{31} = -22 \quad C_{32} = -34 \quad C_{33} = 25

Adj(A) = \begin{pmatrix} -4 & -24 & -22 \\ -8 & -38 & -34 \\ 5 & 30 & 25 \end{pmatrix}

La inversa de $A$ es:

A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -4 & -24 & -22 \\ -8 & -38 & -34 \\ 5 & 30 & 25 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos $X = (A^t - 3I_3)A^{-1}$ :

X = \begin{pmatrix} 4 & 3 & -5 \\ -6 & -2 & 0 \\ -2 & 4 & -7 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -4 & -24 & -22 \\ -8 & -38 & -34 \\ 5 & 30 & 25 \end{pmatrix}

X = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -65 & -360 & -315 \\ 40 & 220 & 200 \\ -59 & -314 & -267 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} -6.5 & -36 & -31.5 \\ 4 & 22 & 20 \\ -5.9 & -31.4 & -26.7 \end{pmatrix}

b) ¿Existe algún valor del parámetro

a

para el que se verifique

C^t \cdot D = B

? En caso afirmativo, calcule dicho valor.

Dadas las matrices:

C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} a^2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & a \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 5 & 3 & 4 \\ -4 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Primero, calculamos la traspuesta de $C$ , $C^t$ :

C^t = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}

Ahora realizamos el producto matricial $C^t \cdot D$ :

C^t \cdot D = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a^2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & a \end{pmatrix}

C^t \cdot D = \begin{pmatrix} 1 \cdot a^2 + (-2) \cdot 1 & 1 \cdot 0 + (-2) \cdot (-1) & 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot a \\ 2 \cdot a^2 + (-3) \cdot 1 & 2 \cdot 0 + (-3) \cdot (-1) & 2 \cdot (-1) + (-3) \cdot a \\ (-1) \cdot a^2 + 0 \cdot 1 & (-1) \cdot 0 + 0 \cdot (-1) & (-1) \cdot (-1) + 0 \cdot a \end{pmatrix}

C^t \cdot D = \begin{pmatrix} a^2 - 2 & 2 & -1 - 2a \\ 2a^2 - 3 & 3 & -2 - 3a \\ -a^2 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Para que se verifique $C^t \cdot D = B$ , igualamos las matrices elemento a elemento:

\begin{pmatrix} a^2 - 2 & 2 & -1 - 2a \\ 2a^2 - 3 & 3 & -2 - 3a \\ -a^2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 5 & 3 & 4 \\ -4 & 0 & 1 \end{pmatrix}

De la comparación obtenemos las siguientes ecuaciones para $a$ :

a^2 - 2 = 2 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2

-1 - 2a = 3 \implies -2a = 4 \implies a = -2

2a^2 - 3 = 5 \implies 2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2

-2 - 3a = 4 \implies -3a = 6 \implies a = -2

-a^2 = -4 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2

Para que la igualdad $C^t \cdot D = B$ se cumpla, $a$ debe satisfacer todas las ecuaciones simultáneamente. Las ecuaciones $-1 - 2a = 3$ y $-2 - 3a = 4$ implican que $a = -2$ . Verificamos si este valor es consistente con las otras ecuaciones ( $a^2 = 4$ ):

(-2)^2 = 4

Esto es consistente. Si hubiéramos tomado $a = 2$ , no se cumplirían las ecuaciones $-1 - 2a = 3$ (ya que $-1 - 2(2) = -5 \neq 3$ ) ni $-2 - 3a = 4$ (ya que $-2 - 3(2) = -8 \neq 4$ ). Por lo tanto, el único valor de $a$ para el que se verifica la igualdad es:

a = -2

T1: Matrices y determinantes

Cálculo matricial y ecuaciones

Problema

2022 · Ordinaria · Titular

2

Se consideran las matrices

A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} , B = (2 & -1 & 0), C = (1 & 3 & -1)

donde $a$ es un número real.

a) Halle los valores del parámetro

a

para que la matriz

A

tenga inversa.b) Para

a = 2

, calcule la matriz inversa de

A

.c) Para

a = 2

, resuelva la ecuación matricial

X \cdot A + I_3 = B^t \cdot C

.

MatricesDeterminantesEcuaciones matriciales

a) Halle los valores del parámetro

a

para que la matriz

A

tenga inversa.

Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$ :

\det(A) = \det \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}

\det(A) = a(a \cdot 1 - 1 \cdot 4) - 1(0 \cdot 1 - 1 \cdot 3) + 0(0 \cdot 4 - a \cdot 3)

\det(A) = a(a - 4) - 1(-3) + 0

\det(A) = a^2 - 4a + 3

Para que $A$ no tenga inversa, el determinante debe ser cero:

a^2 - 4a + 3 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática:

(a - 1)(a - 3) = 0

Los valores de $a$ para los cuales la matriz $A$ no tiene inversa son $a = 1$ y $a = 3$ . Por lo tanto, la matriz $A$ tiene inversa para todos los valores de $a \in \mathbb{R}$ excepto $a = 1$ y $a = 3$ .

a \neq 1 \quad \text{y} \quad a \neq 3

b) Para

a = 2

, calcule la matriz inversa de

A

.

Sustituimos $a = 2$ en la matriz $A$ :

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}

Calculamos el determinante para $a = 2$ :

\det(A) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1

Ahora calculamos la matriz de cofactores $C$ :

C_{11} = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = 2 - 4 = -2

C_{12} = -\det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = -(0 - 3) = 3

C_{13} = \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 0 - 6 = -6

C_{21} = -\det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = -(1 - 0) = -1

C_{22} = \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 2 - 0 = 2

C_{23} = -\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = -(8 - 3) = -5

C_{31} = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 1 - 0 = 1

C_{32} = -\det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -(2 - 0) = -2

C_{33} = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 4 - 0 = 4

La matriz de cofactores es:

C = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -6 \\ -1 & 2 & -5 \\ 1 & -2 & 4 \end{pmatrix}

La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores:

\text{Adj}(A) = C^t = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \\ -6 & -5 & 4 \end{pmatrix}

Finalmente, la matriz inversa es $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A)$ :

A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \\ -6 & -5 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 2 \\ 6 & 5 & -4 \end{pmatrix}

c) Para

a = 2

, resuelva la ecuación matricial

X \cdot A + I_3 = B^t \cdot C

.

Primero, despejamos $X$ de la ecuación:

X \cdot A = B^t \cdot C - I_3

Multiplicamos por $A^{-1}$ por la derecha:

X = (B^t \cdot C - I_3) \cdot A^{-1}

Calculamos $B^t \cdot C$ :

B^t = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}

B^t \cdot C = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6 & -2 \\ -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Ahora, calculamos $B^t \cdot C - I_3$ :

B^t \cdot C - I_3 = \begin{pmatrix} 2 & 6 & -2 \\ -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -2 \\ -1 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos $X = (B^t \cdot C - I_3) \cdot A^{-1}$ :

X = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -2 \\ -1 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 2 \\ 6 & 5 & -4 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} 1(2)+6(-3)+(-2)(6) & 1(1)+6(-2)+(-2)(5) & 1(-1)+6(2)+(-2)(-4) \\ (-1)(2)+(-4)(-3)+1(6) & (-1)(1)+(-4)(-2)+1(5) & (-1)(-1)+(-4)(2)+1(-4) \\ 0(2)+0(-3)+(-1)(6) & 0(1)+0(-2)+(-1)(5) & 0(-1)+0(2)+(-1)(-4) \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} 2 - 18 - 12 & 1 - 12 - 10 & -1 + 12 + 8 \\ -2 + 12 + 6 & -1 + 8 + 5 & 1 - 8 - 4 \\ 0 + 0 - 6 & 0 + 0 - 5 & 0 + 0 + 4 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} -28 & -21 & 19 \\ 16 & 12 & -11 \\ -6 & -5 & 4 \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Matrices con parámetros, potencias de matrices y ecuaciones matriciales

Problema

2022 · Extraordinaria · Reserva

1

Considere la matriz

A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -a - 1 \\ -1 & a & a + 1 \\ 1 & -3 & -a \end{pmatrix}

donde $a$ es un número real. Determine de manera justificada:

a) Los valores de

a

para los que la matriz

A

tiene inversa.b) Las matrices

A^2

,

A^3

y

A^{2022}

para

a = 4

.c) La matriz

X

que verifica que

X \cdot A = I_3

para

a = 3

.

Inversa de una matrizPotencia de una matrizEcuación matricial

a) Los valores de

a

para los que la matriz

A

tiene inversa.

Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$ .

\det(A) = \begin{vmatrix} 2 & -3 & -a - 1 \\ -1 & a & a + 1 \\ 1 & -3 & -a \end{vmatrix}

\\det(A) = 2(a(-a) - (a+1)(-3)) - (-3)((-1)(-a) - (a+1)(1)) + (-a-1)((-1)(-3) - a(1))

\\det(A) = 2(-a^2 + 3a + 3) + 3(a - a - 1) + (-a-1)(3-a)

\\det(A) = -2a^2 + 6a + 6 + 3(-1) + (-3a + a^2 - 3 + a)

\det(A) = -2a^2 + 6a + 6 - 3 + a^2 - 2a - 3

\det(A) = -a^2 + 4a

Para que la matriz $A$ tenga inversa, el determinante debe ser no nulo:

-a^2 + 4a \neq 0

-a(a - 4) \neq 0

Esto implica que $a \neq 0$ y $a \neq 4$ .La matriz $A$ tiene inversa para todos los valores de $a \in \mathbb{R}$ excepto $a = 0$ y $a = 4$ .

b) Las matrices

A^2

,

A^3

y

A^{2022}

para

a = 4

.

Sustituimos $a = 4$ en la matriz $A$ :

A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -4 - 1 \\ -1 & 4 & 4 + 1 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}

Calculamos $A^2 = A \cdot A$ :

A^2 = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}

A^2 = \begin{pmatrix} 2(2)-3(-1)-5(1) & 2(-3)-3(4)-5(-3) & 2(-5)-3(5)-5(-4) \\ -1(2)+4(-1)+5(1) & -1(-3)+4(4)+5(-3) & -1(-5)+4(5)+5(-4) \\ 1(2)-3(-1)-4(1) & 1(-3)-3(4)-4(-3) & 1(-5)-3(5)-4(-4) \end{pmatrix}

A^2 = \begin{pmatrix} 4+3-5 & -6-12+15 & -10-15+20 \\ -2-4+5 & 3+16-15 & 5+20-20 \\ 2+3-4 & -3-12+12 & -5-15+16 \end{pmatrix}

A^2 = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}

Observamos que $A^2 = A$ .Por lo tanto, $A^3 = A \cdot A^2 = A \cdot A = A^2 = A$ .En general, para cualquier entero positivo $n$ , $A^n = A$ . Así, $A^{2022} = A$ .

A^2 = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}

A^3 = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}

A^{2022} = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}

c) La matriz

X

que verifica que

X \cdot A = I_3

para

a = 3

.

La ecuación $X \cdot A = I_3$ implica que $X = A^{-1}$ . Debemos calcular la inversa de $A$ para $a = 3$ .Sustituimos $a = 3$ en la matriz $A$ :

A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -3 - 1 \\ -1 & 3 & 3 + 1 \\ 1 & -3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -3 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -3 & -3 \end{pmatrix}

Calculamos el determinante de $A$ para $a=3$ usando la expresión de la parte a):

\det(A) = -a^2 + 4a = -(3)^2 + 4(3) = -9 + 12 = 3

Como $\det(A) = 3 \neq 0$ , la inversa existe. Calculamos la matriz de cofactores de $A$ :

C_{11} = \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -3 & -3 \end{vmatrix} = -9 - (-12) = 3

C_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = - (3 - 4) = 1

C_{13} = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = 3 - 3 = 0

C_{21} = -\begin{vmatrix} -3 & -4 \\ -3 & -3 \end{vmatrix} = - (9 - 12) = 3

C_{22} = \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -6 - (-4) = -2

C_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = - (-6 - (-3)) = 3

C_{31} = \begin{vmatrix} -3 & -4 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -12 - (-12) = 0

C_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = - (8 - 4) = -4

C_{33} = \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 3 = 3

La matriz de cofactores $C$ es:

C = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 3 \\ 0 & -4 & 3 \end{pmatrix}

La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores:

\text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & -4 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}

Finalmente, la inversa $A^{-1}$ es:

X = A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 3 & 0 \\ 1 & -2 & -4 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1/3 & -2/3 & -4/3 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Inversa de una matriz

Problema

2022 · Extraordinaria · Suplente

2

Se consideran las matrices $A = \begin{pmatrix} a & 2 & 0 \\ 8 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 10 \end{pmatrix}$ , donde $a$ es un número real.

a) Determine los valores de

a

para que la matriz

A

sea no invertible.b) Para

a = 5

, calcule la inversa de la matriz

A

.c) Para

a = 5

, resuelva la ecuación matricial

A \cdot X = B

.

Matriz invertibleEcuación matricialDeterminante

a) Determine los valores de

a

para que la matriz

A

sea no invertible.

Una matriz es no invertible (o singular) si su determinante es igual a cero. Calculamos el determinante de la matriz $A$ :

\det(A) = \begin{vmatrix} a & 2 & 0 \\ 8 & a & 0 \\ 0 & 0 & a \end{vmatrix}

\det(A) = a \cdot \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & a \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 8 & 0 \\ 0 & a \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 8 & a \\ 0 & 0 \end{vmatrix}

\det(A) = a(a \cdot a - 0 \cdot 0) - 2(8 \cdot a - 0 \cdot 0) + 0

\det(A) = a(a^2) - 2(8a) = a^3 - 16a

Ahora, igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ :

a^3 - 16a = 0

a(a^2 - 16) = 0

a(a - 4)(a + 4) = 0

Los valores de $a$ para los cuales la matriz $A$ no es invertible son $a = 0$ , $a = 4$ y $a = -4$ .

b) Para

a = 5

, calcule la inversa de la matriz

A

.

Para $a = 5$ , la matriz $A$ es:

A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 0 \\ 8 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

El determinante para $a=5$ es:

\det(A) = 5^3 - 16(5) = 125 - 80 = 45

Calculamos la matriz de cofactores $C$ :

C_{11} = \begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 25 \quad C_{12} = -\begin{vmatrix} 8 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = -40 \quad C_{13} = \begin{vmatrix} 8 & 5 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0

C_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = -10 \quad C_{22} = \begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{vmatrix} = 25 \quad C_{23} = -\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0

C_{31} = \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad C_{32} = -\begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 8 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad C_{33} = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 8 & 5 \end{vmatrix} = 25 - 16 = 9

La matriz de cofactores es:

C = \begin{pmatrix} 25 & -40 & 0 \\ -10 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}

La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores:

\text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} 25 & -10 & 0 \\ -40 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}

Finalmente, la matriz inversa $A^{-1}$ se calcula como $\frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)$ :

A^{-1} = \frac{1}{45} \begin{pmatrix} 25 & -10 & 0 \\ -40 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}

A^{-1} = \begin{pmatrix} 25/45 & -10/45 & 0/45 \\ -40/45 & 25/45 & 0/45 \\ 0/45 & 0/45 & 9/45 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/9 & -2/9 & 0 \\ -8/9 & 5/9 & 0 \\ 0 & 0 & 1/5 \end{pmatrix}

c) Para

a = 5

, resuelva la ecuación matricial

A \cdot X = B

.

Para resolver la ecuación $A \cdot X = B$ , podemos multiplicar por la izquierda por la matriz inversa $A^{-1}$ (calculada en el apartado anterior, ya que $a=5$ ):

A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot B

I \cdot X = A^{-1} \cdot B

X = A^{-1} \cdot B

Sustituimos $A^{-1}$ y $B$ :

X = \begin{pmatrix} 5/9 & -2/9 & 0 \\ -8/9 & 5/9 & 0 \\ 0 & 0 & 1/5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 10 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} (5/9)(1) + (-2/9)(-2) + (0)(10) \\ (-8/9)(1) + (5/9)(-2) + (0)(10) \\ (0)(1) + (0)(-2) + (1/5)(10) \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} 5/9 + 4/9 + 0 \\ -8/9 - 10/9 + 0 \\ 0 + 0 + 10/5 \end{pmatrix}

X = \begin{pmatrix} 9/9 \\ -18/9 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}

T1: Matrices y determinantes

Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

Problema

2022 · Extraordinaria · Titular

1

EJERCICIO 1

Se consideran las matrices

A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}

a) Determine la matriz

X

que verifica

A \cdot X + B = A^2 \cdot C

.b) Determine las dimensiones de dos matrices

P

y

Q

sabiendo que

A \cdot P^t + C = C \cdot (Q \cdot B)

.

MatricesEcuación matricialDimensión de matrices

a) Determine la matriz

X

que verifica

A \cdot X + B = A^2 \cdot C

.

La ecuación matricial es $A \cdot X + B = A^2 \cdot C$ . Despejamos $X$ :

A \cdot X = A^2 \cdot C - B

Primero, calculamos el determinante de $A$ para verificar si es invertible:

|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 1(0 - (-1)) - 1((-2)(-1) - 0(1)) + 2((-2)(-1) - 0(0))

|A| = 1(1) - 1(2) + 2(2) = 1 - 2 + 4 = 3

Como $|A| = 3 \neq 0$ , la matriz $A$ es invertible, por lo que podemos multiplicar por $A^{-1}$ por la izquierda:

X = A^{-1} (A^2 \cdot C - B)

Calculamos $A^2$ :

A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2+0 & 1+0-2 & 2+1-2 \\ -2+0+0 & -2+0-1 & -4+0-1 \\ 0+2+0 & 0+0+1 & 0-1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -2 & -3 & -5 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Calculamos $A^2 \cdot C$ :

A^2 \cdot C = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -2 & -3 & -5 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1+1-2 & -2+1+3 \\ -2+3+10 & -4+3-15 \\ 2-1+0 & 4-1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 11 & -16 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

Calculamos $A^2 \cdot C - B$ :

A^2 \cdot C - B = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ 11 & -16 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2-(-2) & 2-1 \\ 11-3 & -16-1 \\ 1-0 & 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 8 & -17 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

Calculamos la inversa de $A$ , $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$ :La matriz de cofactores es:

Cof(A) = \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} & -\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} & \begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \\ 1 & -5 & 2 \end{pmatrix}

La adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores:

\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}

A^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos $X$ :

X = A^{-1} (A^2 \cdot C - B) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -2 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 8 & -17 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}

X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} (1)(0)+(-1)(8)+(1)(1) & (1)(1)+(-1)(-17)+(1)(1) \\ (-2)(0)+(-1)(8)+(-5)(1) & (-2)(1)+(-1)(-17)+(-5)(1) \\ (2)(0)+(1)(8)+(2)(1) & (2)(1)+(1)(-17)+(2)(1) \end{pmatrix}

X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -7 & 19 \\ -13 & 10 \\ 10 & -13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7/3 & 19/3 \\ -13/3 & 10/3 \\ 10/3 & -13/3 \end{pmatrix}

b) Determine las dimensiones de dos matrices

P

y

Q

sabiendo que

A \cdot P^t + C = C \cdot (Q \cdot B)

.

Dadas las dimensiones de las matrices:

A_{3 \times 3}, \quad B_{3 \times 2}, \quad C_{3 \times 2}

Sea $P$ una matriz de dimensión $m \times n$ . Entonces $P^t$ tendrá dimensión $n \times m$ .Para que el producto $A \cdot P^t$ sea posible, el número de columnas de $A$ debe ser igual al número de filas de $P^t$ .

A_{3 \times 3} \cdot P^t_{n \times m} \implies n=3

La matriz resultante $A \cdot P^t$ tendrá dimensión $3 \times m$ .Para que la suma $A \cdot P^t + C$ sea posible, $A \cdot P^t$ y $C$ deben tener las mismas dimensiones.

(A \cdot P^t)_{3 \times m} = C_{3 \times 2} \implies m=2

Por lo tanto, $P^t$ tiene dimensión $3 \times 2$ , lo que significa que $P$ tiene dimensión $2 \times 3$ .Ahora, consideremos el lado derecho de la ecuación: $C \cdot (Q \cdot B)$ .Sea $Q$ una matriz de dimensión $r \times s$ .Para que el producto $Q \cdot B$ sea posible, el número de columnas de $Q$ debe ser igual al número de filas de $B$ .

Q_{r \times s} \cdot B_{3 \times 2} \implies s=3

La matriz resultante $Q \cdot B$ tendrá dimensión $r \times 2$ .Para que el producto $C \cdot (Q \cdot B)$ sea posible, el número de columnas de $C$ debe ser igual al número de filas de $Q \cdot B$ .

C_{3 \times 2} \cdot (Q \cdot B)_{r \times 2} \implies r=2

La matriz resultante $C \cdot (Q \cdot B)$ tendrá dimensión $3 \times 2$ .Ambos lados de la ecuación tienen la misma dimensión ( $3 \times 2$ ), lo cual es consistente.Resumiendo las dimensiones encontradas:

\text{La matriz } P \text{ tiene dimensión } 2 \times 3.

\text{La matriz } Q \text{ tiene dimensión } 2 \times 3.

T1: Matrices y determinantes

Ecuaciones matriciales

Problema

2021 · Ordinaria · Reserva

2

Se considera la ecuación matricial $(10 I_3 - A) \cdot X = B$ , donde $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}$ y $B$ es una matriz con tres filas y una columna.

a) Razone qué dimensión ha de tener la matriz

X

.b) ¿Tiene solución la ecuación matricial anterior para cualquier matriz

B

de orden

3 \times 1

? ¿Por qué?c) Resuelva dicha ecuación matricial si

B = (5 \quad 20 \quad -3)^t

.

Ecuación matricialDimensión de matrizMatriz inversa

Primero, vamos a calcular la matriz $C = 10I_3 - A$ .

C = 10 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -1 & 0 \\ -4 & 8 & 0 \\ -2 & -2 & 5 \end{pmatrix}

a) Razone qué dimensión ha de tener la matriz

X

. La ecuación matricial es

C \cdot X = B

. La matriz

C

es de dimensión

3 \times 3

. La matriz

B

es de dimensión

3 \times 1

. Para que el producto matricial

C \cdot X

esté definido, el número de columnas de

C

debe ser igual al número de filas de

X

. Además, la matriz resultante

C \cdot X

debe tener la misma dimensión que

B

. Por lo tanto, si

C_{3 \times 3}

y

X_{m \times n}

, el producto

C \cdot X

será de dimensión

3 \times n

. Como

C \cdot X

debe ser

3 \times 1

, entonces

n=1

. Y para que el producto

C \cdot X

sea válido,

m

debe ser igual al número de columnas de

C

, es decir,

m=3

. Por lo tanto, la matriz

X

debe tener dimensión

3 \times 1

.b) ¿Tiene solución la ecuación matricial anterior para cualquier matriz

B

de orden

3 \times 1

? ¿Por qué? La ecuación matricial

C \cdot X = B

tiene solución para cualquier matriz

B

si y solo si la matriz

C

es invertible. Una matriz es invertible si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de

C

:

\det(C) = \det\begin{pmatrix} 8 & -1 & 0 \\ -4 & 8 & 0 \\ -2 & -2 & 5 \end{pmatrix}

Desarrollamos el determinante por la tercera columna, ya que tiene dos ceros:

\det(C) = 0 \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{23} + 5 \cdot C_{33} = 5 \cdot \begin{vmatrix} 8 & -1 \\ -4 & 8 \end{vmatrix}

\det(C) = 5 \cdot (8 \cdot 8 - (-1) \cdot (-4)) = 5 \cdot (64 - 4) = 5 \cdot 60 = 300

Dado que $\det(C) = 300 \neq 0$ , la matriz $C$ es invertible. Por lo tanto, la ecuación matricial $C \cdot X = B$ tiene una solución única $X = C^{-1} \cdot B$ para cualquier matriz $B$ de orden $3 \times 1$ .

c) Resuelva dicha ecuación matricial si

B = (5 \quad 20 \quad -3)^t

. La matriz

B

es

B = \begin{pmatrix} 5 \\ 20 \\ -3 \end{pmatrix}

. La ecuación es

C \cdot X = B

, donde

X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

. Podemos escribir esto como un sistema de ecuaciones lineales:

\begin{pmatrix} 8 & -1 & 0 \\ -4 & 8 & 0 \\ -2 & -2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 20 \\ -3 \end{pmatrix}

Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{cases} 8x - y = 5 & (1) \\ -4x + 8y = 20 & (2) \\ -2x - 2y + 5z = -3 & (3) \end{cases}

De la ecuación (1), despejamos $y$ : $y = 8x - 5$ . Sustituimos esta expresión de $y$ en la ecuación (2):

-4x + 8(8x - 5) = 20

-4x + 64x - 40 = 20

60x = 60

x = 1

Ahora, sustituimos el valor de $x$ en la expresión de $y$ :

y = 8(1) - 5 = 8 - 5 = 3

Finalmente, sustituimos los valores de $x$ e $y$ en la ecuación (3) para encontrar $z$ :

-2(1) - 2(3) + 5z = -3

-2 - 6 + 5z = -3

-8 + 5z = -3

5z = 5

z = 1

Por lo tanto, la matriz $X$ es:

X = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}