AndalucíaAndalucía
MadridMadrid
CataluñaCataluña
GaliciaGalicia
MurciaMurcia
ValenciaValencia
En construcciónAñadimos comunidades, materias, años y soluciones de forma progresiva y constante.
T1: Matrices y determinantes
Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales
Problema
2024 · Extraordinaria · Reserva
1
Examen

Se consideran las matrices

A=(0110)B=(3220)C=(1011)A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
a) Determine las matrices XX e YY que satisfacen simultáneamente las ecuaciones 2⋅X−Y=4⋅A2 \cdot X - Y = 4 \cdot A y X+Y=BX + Y = Bb) Calcule la matriz C2024C^{2024}.c) Si DD es una matriz de dimensión 2×32 \times 3, razone si las siguientes operaciones se pueden realizar y, en aquellos casos en los que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante:
At⋅B+D⋅DtD⋅Bt+ADt⋅At+DA^t \cdot B + D \cdot D^t \quad D \cdot B^t + A \quad D^t \cdot A^t + D
Ecuaciones matricialesPotencia de una matrizDimensión de matrices
a) Determine las matrices XX e YY que satisfacen simultáneamente las ecuaciones 2⋅X−Y=4⋅A2 \cdot X - Y = 4 \cdot A y X+Y=BX + Y = B

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones matriciales:

{2X−Y=4A(1)X+Y=B (2)\begin{cases} 2X - Y = 4A \quad (1) \\ X + Y = B \quad \,(2) \end{cases}

Sumamos la ecuación (1) y la ecuación (2):

(2X−Y)+(X+Y)=4A+B(2X - Y) + (X + Y) = 4A + B
3X=4A+B3X = 4A + B
X=13(4A+B)X = \frac{1}{3}(4A + B)

Primero, calculamos 4A4A:

4A=4(0110)=(0440)4A = 4 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix}

Ahora, calculamos 4A+B4A + B:

4A+B=(0440)+(3220)=(0+34+24+20+0)=(3660)4A + B = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0+3 & 4+2 \\ 4+2 & 0+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}

Por lo tanto, la matriz XX es:

X=13(3660)=(1220)X = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}

Para hallar la matriz YY, utilizamos la ecuación (2): Y=B−XY = B - X.

Y=(3220)−(1220)=(3−12−22−20−0)=(2000)Y = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-1 & 2-2 \\ 2-2 & 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}

Las matrices son:

X=(1220),Y=(2000)X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
b) Calcule la matriz C2024C^{2024}.

Tenemos la matriz C=(1011)C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. Calculamos las primeras potencias de CC para buscar un patrón:

C1=(1011)C^1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
C2=C⋅C=(1011)(1011)=(1⋅1+0⋅11⋅0+0⋅11⋅1+1⋅11⋅0+1⋅1)=(1021)C^2 = C \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}
C3=C2⋅C=(1021)(1011)=(1⋅1+0⋅11⋅0+0⋅12⋅1+1⋅12⋅0+1⋅1)=(1031)C^3 = C^2 \cdot C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 & 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 \\ 2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 & 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}

Observamos un patrón: Cn=(10n1)C^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ n & 1 \end{pmatrix}.Aplicando este patrón para n=2024n=2024:

C2024=(1020241)C^{2024} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2024 & 1 \end{pmatrix}
c) Si DD es una matriz de dimensión 2×32 \times 3, razone si las siguientes operaciones se pueden realizar y, en aquellos casos en los que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante:

Las dimensiones de las matrices dadas son:

dim(A)=2×2\text{dim}(A) = 2 \times 2
dim(B)=2×2\text{dim}(B) = 2 \times 2
dim(D)=2×3\text{dim}(D) = 2 \times 3

Las dimensiones de las matrices traspuestas son:

dim(At)=2×2\text{dim}(A^t) = 2 \times 2
dim(Bt)=2×2\text{dim}(B^t) = 2 \times 2
dim(Dt)=3×2\text{dim}(D^t) = 3 \times 2
Primera operación: $A^t \cdot B + D \cdot D^t$

Para el producto At⋅BA^t \cdot B:

dim(At)=2×2,dim(B)=2×2\text{dim}(A^t) = 2 \times 2, \quad \text{dim}(B) = 2 \times 2

El número de columnas de AtA^t (2) coincide con el número de filas de BB (2), por lo tanto, el producto es posible. La dimensión de At⋅BA^t \cdot B es 2×22 \times 2.Para el producto D⋅DtD \cdot D^t:

dim(D)=2×3,dim(Dt)=3×2\text{dim}(D) = 2 \times 3, \quad \text{dim}(D^t) = 3 \times 2

El número de columnas de DD (3) coincide con el número de filas de DtD^t (3), por lo tanto, el producto es posible. La dimensión de D⋅DtD \cdot D^t es 2×22 \times 2.Para la suma de los resultados:

dim(At⋅B)=2×2,dim(D⋅Dt)=2×2\text{dim}(A^t \cdot B) = 2 \times 2, \quad \text{dim}(D \cdot D^t) = 2 \times 2

Ambas matrices resultantes tienen la misma dimensión, por lo tanto, la suma es posible. La dimensión de la matriz resultante es 2×22 \times 2.

Segunda operación: $D \cdot B^t + A$

Para el producto D⋅BtD \cdot B^t:

dim(D)=2×3,dim(Bt)=2×2\text{dim}(D) = 2 \times 3, \quad \text{dim}(B^t) = 2 \times 2

El número de columnas de DD (3) NO coincide con el número de filas de BtB^t (2). Por lo tanto, el producto D⋅BtD \cdot B^t NO es posible.Dado que el producto D⋅BtD \cdot B^t no se puede realizar, la operación completa D⋅Bt+AD \cdot B^t + A NO es posible.

Tercera operación: $D^t \cdot A^t + D$

Para el producto Dt⋅AtD^t \cdot A^t:

dim(Dt)=3×2,dim(At)=2×2\text{dim}(D^t) = 3 \times 2, \quad \text{dim}(A^t) = 2 \times 2

El número de columnas de DtD^t (2) coincide con el número de filas de AtA^t (2), por lo tanto, el producto es posible. La dimensión de Dt⋅AtD^t \cdot A^t es 3×23 \times 2.Para la suma Dt⋅At+DD^t \cdot A^t + D:

dim(Dt⋅At)=3×2,dim(D)=2×3\text{dim}(D^t \cdot A^t) = 3 \times 2, \quad \text{dim}(D) = 2 \times 3

Las matrices resultantes NO tienen la misma dimensión (3×2≠2×33 \times 2 \neq 2 \times 3), por lo tanto, la suma NO es posible.