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Sea $x$ el precio de la entrada para el taller de repostería.Sea $y$ el precio de la entrada para la demostración de cocina gourmet.Sea $z$ el precio de la entrada para la cata de vinos.A partir de la información proporcionada, establecemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:1. El total recaudado por la venta de entradas es de $6460 \text{ \,\text{euros}}$:

Dividiendo por 10, simplificamos la ecuación a:

2. El precio de 10 entradas para el taller de repostería coincide con la suma de 2 entradas para la cata de vinos y 1 entrada para la demostración de cocina gourmet:

Reordenando la ecuación:

3. El coste de 2 entradas para el taller y 1 entrada para la cata de vinos supera en $6 \text{ \,\text{euros}}$ al de 2 entradas para la demostración de cocina gourmet:

Reordenando la ecuación:

Ahora, resolvemos el sistema de ecuaciones:

De la ecuación (2), despejamos $y$: $y = 10x - 2z$.Sustituimos $y$ en la ecuación (1):

Sustituimos $y$ en la ecuación (3):

Tenemos un nuevo sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Restamos la ecuación (B) de la ecuación (A):

Sustituimos $x = 8$ en la ecuación (B):

Finalmente, sustituimos $x = 8$ y $z = 30$ en la expresión para $y$:

Por lo tanto, los precios de las entradas son:Entrada para el taller de repostería: $8 \text{ \,\text{euros}}$.Entrada para la demostración de cocina gourmet: $20 \text{ \,\text{euros}}$.Entrada para la cata de vinos: $30 \text{ \,\text{euros}}$.

Para calcular el rango de $A$, primero calculamos su determinante. Si $\det(A) \neq 0$, el rango es 3. Si $\det(A) = 0$, el rango es menor que 3.

Dado que $\det(A) = 0$, el rango de $A$ es menor que 3. Ahora buscamos un menor de orden 2 cuyo determinante no sea cero.Consideramos el menor formado por las primeras dos filas y columnas:

Como existe un menor de orden 2 con determinante no nulo, el rango de $A$ es 2.

Ahora, calculamos $A^2 = A \cdot A$:

Para calcular el rango de $A^2$, observamos que la primera columna de $A^2$ es una columna de ceros. Esto implica que $\det(A^2) = 0$, por lo que $\text{rank}(A^2) < 3$.Además, las columnas 2 y 3 de $A^2$ son idénticas, lo que significa que son linealmente dependientes ($C_3 = C_2$). Esto implica que no puede haber dos columnas linealmente independientes entre la segunda y la tercera.Considerando las filas, la fila 2 es $F_2 = -5F_1$, ya que $(0, 10, 10) = -5(0, -2, -2)$. De manera similar, la fila 3 es $F_3 = -3F_1$, ya que $(0, 6, 6) = -3(0, -2, -2)$. Esto indica que solo hay una fila linealmente independiente no nula.Para ser más formal, realizamos operaciones elementales por filas para encontrar el rango:

La matriz reducida tiene solo una fila no nula. Por lo tanto, el rango de $A^2$ es 1.

Definimos las variables del problema basándonos en las cantidades de cada electrodoméstico a revisar:$x$: número de lavadoras a revisar. $y$: número de frigoríficos a revisar.

Convertimos el tiempo disponible a minutos: $26 \text{ h y } 40 \text{ min} = 26 \cdot 60 + 40 = 1560 + 40 = 1600 \text{ minutos}$. Las restricciones son:

El ingreso se calcula en función del tiempo trabajado a razón de $50 \text{ \,\text{euros}/hora}$ ($5/6 \text{ \,\text{euros}/minuto}$):

Calculamos los vértices de la región factible mediante el sistema de desigualdades:

Evaluamos $I(x, y)$ en cada vértice para hallar el máximo:

Se obtiene un ingreso máximo de $1333,33 \text{ \,\text{euros}}$. Este valor se alcanza en cualquier punto del segmento que une los vértices $(8, 16)$ y $(12, 8)$. Considerando valores enteros, el servicio técnico puede elegir cualquiera de las siguientes combinaciones:

La función del índice de audiencia es $f(t) = at^2 + bt + c$.Sabemos que cuando comienza el programa ($t=0$), el índice de audiencia es 20 puntos. Por lo tanto, $f(0) = 20$:

La función ahora es $f(t) = at^2 + bt + 20$. También sabemos que a los 40 minutos se alcanza el máximo índice de audiencia, que es 36 puntos. Esto significa que $f(40) = 36$ y que la derivada en ese punto es cero, $f'(40) = 0$.Primero, calculamos la derivada de $f(t)$:

Aplicamos la condición $f'(40) = 0$:

Ahora aplicamos la condición $f(40) = 36$:

Sustituimos $b = -80a$ en la ecuación anterior:

Con el valor de $a$, calculamos $b$:

Por lo tanto, los valores de los coeficientes son:

La función obtenida es:

Representación gráfica de la función:La función es una parábola que se abre hacia abajo (porque $a < 0$). Los puntos clave para la representación en el intervalo $[0, 60]$ son:1. El punto inicial: $f(0) = 20$. Coordenada $(0, 20)$. 2. El máximo: a $t=40$ minutos, $f(40) = 36$. Coordenada $(40, 36)$. 3. El punto final del intervalo: $t=60$ minutos.

Coordenada $(60, 32)$. La gráfica es una parábola con vértice en $(40, 36)$, que pasa por $(0, 20)$ y $(60, 32)$. Se eleva desde $t=0$ hasta $t=40$ y luego desciende suavemente hasta $t=60$.

Para $g(x) = \ln\left(\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right)$:Primero, usamos las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión:

Ahora, derivamos usando la regla de la cadena, donde $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$:

Combinamos los términos en una sola fracción:

Para $h(x) = (2x - 1)e^{x^2 - x}$:Usamos la regla del producto $(uv)' = u'v + uv'$, donde $u = 2x - 1$ y $v = e^{x^2 - x}$.Calculamos las derivadas de $u$ y $v$:

Para $v'$, usamos la regla de la cadena para la función exponencial, $(e^w)' = e^w \cdot w'$:

Ahora aplicamos la regla del producto:

Factorizamos $e^{x^2 - x}$:

Expandimos el término cuadrático:

Sustituimos y simplificamos:

Para que $f(x)$ sea continua en $x = -2$, se deben cumplir las siguientes condiciones:1. $f(-2)$ debe existir.

2. Los límites laterales en $x = -2$ deben existir e ser iguales.

Dado que $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) = 5$, el límite de $f(x)$ cuando $x \to -2$ existe y es $5$.3. El valor de la función en el punto debe ser igual al límite.

Por lo tanto, la función $f(x)$ es continua en $x = -2$.

Primero, calculamos la función derivada $f'(x)$ por tramos:

Para que $f(x)$ sea derivable en $x = -2$, las derivadas laterales deben ser iguales:

Dado que $f'(-2^-) = \frac{5}{2}$ y $f'(-2^+) = -4$, las derivadas laterales no son iguales ($rac{5}{2} \ne -4$). Por lo tanto, la función $f(x)$ no es derivable en $x = -2$.

La pendiente de la recta tangente es $m = f'(x) = -1$. Analizamos cada tramo de la función derivada:1. Para $x < -2$: $f'(x) = \frac{5}{2}$. Como $\frac{5}{2} \ne -1$, no hay puntos de tangencia en este tramo.2. Para $-2 < x < 2$: $f'(x) = 2x$. Igualamos a $-1$:

Este valor de $x = -\frac{1}{2}$ está en el intervalo $(-2, 2)$, por lo que es un punto válido. Calculamos el valor de la función en este punto:

El punto de tangencia es $\left(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right)$. La ecuación de la recta tangente es $y - y_0 = m(x - x_0)$:

3. Para $x > 2$: $f'(x) = -\frac{5}{2}$. Como $-\frac{5}{2} \ne -1$, no hay puntos de tangencia en este tramo.La ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ con pendiente $-1$ es $y = -x + \frac{3}{4}$.

Para representar la función, analizamos cada tramo y sus intersecciones con el eje X (es decir, cuando $f(x)=0$):1. Para $x \le -2$: $f(x) = 10 + \frac{5x}{2}$. Es una recta. Intersección con el eje X:

Puntos de interés: $(-4, 0)$, y en $x=-2$, $f(-2)=5$, por lo que $(-2, 5)$.2. Para $-2 < x < 2$: $f(x) = x^2 + 1$. Es una parábola con vértice en $(0,1)$. Intersección con el eje X:

No tiene soluciones reales, lo que significa que este tramo de la parábola está siempre por encima del eje X. Puntos de interés: en $x=-2$, $f(-2)=5$; en $x=2$, $f(2)=5$, por lo que $(-2, 5)$, $(0,1)$ y $(2, 5)$.3. Para $x \ge 2$: $f(x) = 10 - \frac{5x}{2}$. Es una recta. Intersección con el eje X:

Puntos de interés: $(4, 0)$, y en $x=2$, $f(2)=5$, por lo que $(2, 5)$.La región acotada se encuentra entre $x=-4$ y $x=4$.

El área total $A$ se calcula como la suma de tres integrales definidas, correspondientes a cada tramo de la función:

Calculamos la primera integral:

Calculamos la segunda integral:

Calculamos la tercera integral:

Sumamos las áreas de los tres tramos:

El área de la región es $\frac{58}{3}$ unidades cuadradas.

Definimos los siguientes sucesos:$M$: la persona es mujer.$H$: la persona es hombre.$N$: la persona utiliza cosmética natural.$N'$: la persona no utiliza cosmética natural.A partir de los datos proporcionados, tenemos las siguientes probabilidades: