T1: Matrices y determinantes · Operaciones con matrices y sistemas de ecuaciones matriciales — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2025

Operaciones con matrices y sistemas de ecuaciones matriciales

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

Se considera la matriz:

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}

a) Resuelva el sistema de ecuaciones matriciales:

(A + I_3) \cdot X + Y = A - I_3

X - Y = I_3

b) Halle el rango de las matrices

A + I_3

A - I_3

. ¿Son matrices invertibles?

MatricesSistemas de ecuaciones matricialesRango+1

a) Resuelva el sistema de ecuaciones matriciales:

Tenemos el sistema de ecuaciones matriciales:

\begin{cases} (A + I_3) \cdot X + Y = A - I_3 \quad (1) \\ X - Y = I_3 \quad (2) \end{cases}

De la ecuación (2), despejamos $Y$ : $Y = X - I_3$ . Sustituimos esta expresión de $Y$ en la ecuación (1):

(A + I_3) \cdot X + (X - I_3) = A - I_3

Distribuimos y agrupamos términos con $X$ :

(A + I_3)X + I_3 X = A - I_3 + I_3 \\ (A + I_3 + I_3)X = A \\ (A + 2I_3)X = A

Ahora calculamos la matriz $A + 2I_3$ :

A + 2I_3 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}

Para resolver $X = (A + 2I_3)^{-1}A$ , primero calculamos el determinante de $(A + 2I_3)$ :

\det(A + 2I_3) = \det\begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix} = 4(3 \cdot 4 - 2 \cdot 2) - 1(0 \cdot 4 - 2 \cdot 2) + 0 = 4(12 - 4) - 1(0 - 4) = 4(8) - (-4) = 32 + 4 = 36

Como el determinante es $36 \neq 0$ , la matriz $(A + 2I_3)$ es invertible. Ahora calculamos su inversa. Primero, la matriz de cofactores:

C = \begin{pmatrix} +(12-4) & -(0-4) & +(0-6) \\ -(4-0) & +(16-0) & -(8-2) \\ +(2-0) & -(8-0) & +(12-0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 4 & -6 \\ -4 & 16 & -6 \\ 2 & -8 & 12 \end{pmatrix}

Luego, la matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores:

\text{Adj}(A + 2I_3) = C^T = \begin{pmatrix} 8 & -4 & 2 \\ 4 & 16 & -8 \\ -6 & -6 & 12 \end{pmatrix}

Y la inversa es:

(A + 2I_3)^{-1} = \frac{1}{36} \begin{pmatrix} 8 & -4 & 2 \\ 4 & 16 & -8 \\ -6 & -6 & 12 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos $X = (A + 2I_3)^{-1}A$ :

X = \frac{1}{36} \begin{pmatrix} 8 & -4 & 2 \\ 4 & 16 & -8 \\ -6 & -6 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} \\ X = \frac{1}{36} \begin{pmatrix} 8(2)-4(0)+2(2) & 8(1)-4(1)+2(2) & 8(0)-4(2)+2(2) \\ 4(2)+16(0)-8(2) & 4(1)+16(1)-8(2) & 4(0)+16(2)-8(2) \\ -6(2)-6(0)+12(2) & -6(1)-6(1)+12(2) & -6(0)-6(2)+12(2) \end{pmatrix} \\ X = \frac{1}{36} \begin{pmatrix} 16+0+4 & 8-4+4 & 0-8+4 \\ 8+0-16 & 4+16-16 & 0+32-16 \\ -12+0+24 & -6-6+24 & 0-12+24 \end{pmatrix} \\ X = \frac{1}{36} \begin{pmatrix} 20 & 8 & -4 \\ -8 & 4 & 16 \\ 12 & 12 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 20/36 & 8/36 & -4/36 \\ -8/36 & 4/36 & 16/36 \\ 12/36 & 12/36 & 12/36 \end{pmatrix} \\ X = \begin{pmatrix} 5/9 & 2/9 & -1/9 \\ -2/9 & 1/9 & 4/9 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{pmatrix}

Ahora calculamos $Y = X - I_3$ :

Y = \begin{pmatrix} 5/9 & 2/9 & -1/9 \\ -2/9 & 1/9 & 4/9 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \\ Y = \begin{pmatrix} 5/9 - 1 & 2/9 & -1/9 \\ -2/9 & 1/9 - 1 & 4/9 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4/9 & 2/9 & -1/9 \\ -2/9 & -8/9 & 4/9 \\ 1/3 & 1/3 & -2/3 \end{pmatrix}

b) Halle el rango de las matrices

A + I_3

A - I_3

. ¿Son matrices invertibles?

Primero, calculamos $A + I_3$ :

A + I_3 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}

Para determinar el rango y la invertibilidad, calculamos su determinante:

\det(A + I_3) = 3(2 \cdot 3 - 2 \cdot 2) - 1(0 \cdot 3 - 2 \cdot 2) + 0 = 3(6 - 4) - 1(0 - 4) = 3(2) - (-4) = 6 + 4 = 10

Dado que $\det(A + I_3) = 10 \neq 0$ , el rango de $A + I_3$ es 3. Una matriz cuadrada es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Por lo tanto, $A + I_3$ es invertible.Ahora, calculamos $A - I_3$ :

A - I_3 = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}

Calculamos su determinante:

\det(A - I_3) = 1(0 \cdot 1 - 2 \cdot 2) - 1(0 \cdot 1 - 2 \cdot 2) + 0 = 1(0 - 4) - 1(0 - 4) = -4 - (-4) = -4 + 4 = 0

Dado que $\det(A - I_3) = 0$ , el rango de $A - I_3$ no es 3. Para encontrar el rango, buscamos un menor de orden 2 con determinante distinto de cero. Consideramos el menor formado por las filas 1 y 2 y las columnas 1 y 3:

\det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 - 0 \cdot 0 = 2

Como existe un menor de orden 2 con determinante $2 \neq 0$ , el rango de $A - I_3$ es 2. Dado que el determinante es cero, $A - I_3$ no es invertible.