T1: Matrices y determinantes · Operaciones con matrices, inversa y ecuaciones matriciales — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2024

Operaciones con matrices, inversa y ecuaciones matriciales

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

BLOQUE A

Se consideran las matrices

M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad N = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \\ 7 & 4 & 0 \end{pmatrix}, \quad V = \begin{pmatrix} 5 - a^2 \\ a - 1 \\ a^2 \end{pmatrix}

, siendo $a$ un número real.

a) Halle el valor de

a

para que se verifique que

M^t \cdot V = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 5 \end{pmatrix}^t

.b) Calcule

M^{-1}

y resuelva la ecuación matricial

X \cdot M - I_3 = N

.c) Razone si las operaciones

2 \cdot V \cdot N^t

(N + M^t) \cdot V

se pueden realizar y, en aquellos casos en que sea posible, indique la dimensión de la matriz resultante.

ÁlgebraMatricesEcuación matricial+1

a) Para hallar el valor de

a

, primero calculamos la traspuesta de la matriz

M

M^t

M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \implies M^t = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Ahora, realizamos el producto matricial $M^t \cdot V$ :

M^t \cdot V = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 - a^2 \\ a - 1 \\ a^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(5-a^2) + 2(a-1) + 1(a^2) \\ 0(5-a^2) + 1(a-1) + 1(a^2) \\ 1(5-a^2) + 0(a-1) + 1(a^2) \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 5 - a^2 + 2a - 2 + a^2 \\ a - 1 + a^2 \\ 5 - a^2 + a^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2a + 3 \\ a^2 + a - 1 \\ 5 \end{pmatrix}

Se nos indica que este producto debe ser igual a $\begin{pmatrix} 5 & 1 & 5 \end{pmatrix}^t = \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$ . Igualando las matrices, obtenemos un sistema de ecuaciones:

\begin{cases} 2a + 3 = 5 \\ a^2 + a - 1 = 1 \\ 5 = 5 \end{cases}

Resolvemos la primera ecuación:

2a + 3 = 5 \implies 2a = 2 \implies a = 1

Resolvemos la segunda ecuación:

a^2 + a - 1 = 1 \implies a^2 + a - 2 = 0

Usando la fórmula cuadrática $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ :

a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}

a_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \quad ; \quad a_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2

Para que se verifiquen ambas ecuaciones, el valor de $a$ debe ser $1$ .

b) Primero calculamos la inversa de

M

M^{-1}

. Para ello, calculamos el determinante de

M

\det(M) = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 1(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - 0(2 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + 1(2 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = 1(1) - 0 + 1(1) = 2

Como $\det(M) = 2 \neq 0$ , la matriz $M$ tiene inversa. Calculamos la matriz de cofactores:

C = \begin{pmatrix} +\det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & -\det\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & +\det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ -\det\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & +\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & -\det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ +\det\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} & -\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} & +\det\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}

C = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}

La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores:

\text{Adj}(M) = C^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

Finalmente, la inversa de $M$ es $M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \text{Adj}(M)$ :

M^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & 1/2 & -1/2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1/2 & -1/2 & 1/2 \end{pmatrix}

Ahora, resolvemos la ecuación matricial $X \cdot M - I_3 = N$ . Primero despejamos $X$ :

X \cdot M = N + I_3

Multiplicamos por $M^{-1}$ por la derecha en ambos lados de la ecuación:

X \cdot M \cdot M^{-1} = (N + I_3) \cdot M^{-1}

X = (N + I_3) \cdot M^{-1}

Calculamos $N + I_3$ :

N + I_3 = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \\ 7 & 4 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 5 & 3 & 1 \\ 7 & 4 & 1 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos $X = (N + I_3) \cdot M^{-1}$ :

X = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 5 & 3 & 1 \\ 7 & 4 & 1 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4(1)+2(-2)+2(1) & 4(1)+2(0)+2(-1) & 4(-1)+2(2)+2(1) \\ 5(1)+3(-2)+1(1) & 5(1)+3(0)+1(-1) & 5(-1)+3(2)+1(1) \\ 7(1)+4(-2)+1(1) & 7(1)+4(0)+1(-1) & 7(-1)+4(2)+1(1) \end{pmatrix}

X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4-4+2 & 4+0-2 & -4+4+2 \\ 5-6+1 & 5+0-1 & -5+6+1 \\ 7-8+1 & 7+0-1 & -7+8+1 \end{pmatrix}

X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 0 & 4 & 2 \\ 0 & 6 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}

c) Analizamos la operación

2 \cdot V \cdot N^t

Las dimensiones de las matrices son:

V: 3 \times 1

N: 3 \times 3 \implies N^t: 3 \times 3

Para que el producto $V \cdot N^t$ sea posible, el número de columnas de $V$ debe ser igual al número de filas de $N^t$ . Es decir, $1 = 3$ . Esto no es cierto.Por lo tanto, la operación $2 \cdot V \cdot N^t$ no se puede realizar.Analizamos la operación $(N + M^t) \cdot V$ :Las dimensiones de las matrices son:

N: 3 \times 3

M: 3 \times 3 \implies M^t: 3 \times 3

V: 3 \times 1

Primero, la suma $N + M^t$ : para que la suma sea posible, las matrices deben tener las mismas dimensiones. Ambas son $3 \times 3$ , por lo que la suma es posible y la matriz resultante $N + M^t$ tendrá dimensiones $3 \times 3$ .Luego, el producto $(N + M^t) \cdot V$ : se multiplicaría una matriz de $3 \times 3$ por una matriz de $3 \times 1$ . El número de columnas de la primera matriz (3) coincide con el número de filas de la segunda matriz (3), por lo que el producto es posible.La dimensión de la matriz resultante será el número de filas de la primera matriz por el número de columnas de la segunda matriz, es decir, $3 \times 1$ .