T1: Matrices y determinantes · Matrices y problemas con matrices — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2023

Matrices y problemas con matrices

Problema

2023 · Extraordinaria · Reserva

Una conservera fabrica latas de pisto con tomate, cebolla y pimiento siguiendo dos recetas distintas. La matriz $\begin{pmatrix} 500 & 300 & 200 \\ 600 & 100 & 300 \end{pmatrix}$ indica los gramos necesarios de cada producto para conseguir una lata de cada receta. Se dispone de dos proveedores, siendo la matriz de precios en euros por kilo de cada producto $\begin{pmatrix} 0.5 & 0.4 & 0.6 \\ 0.4 & 0.5 & 0.7 \end{pmatrix}$ . Los costes de producción de cada receta en euros por lata vienen dados por la matriz $(0.11 \quad 0.09)$ . Los costes de transporte en euros por lata según cada proveedor vienen dados por la matriz $(0.02 \quad 0.03)$ . La conservera quiere obtener un beneficio de 5 céntimos por lata. Una distribuidora compra 11000 latas de la primera receta, siendo 5000 del primer proveedor, y otras 11000 de la segunda receta, siendo 6000 del primer proveedor. ¿Cuánto debe cobrar la conservera por el pedido de esta distribuidora?

MatricesCostes de producciónOperaciones con matrices

Definimos las matrices dadas y realizamos las conversiones de unidades necesarias. La matriz de ingredientes está dada en gramos, por lo que la convertiremos a kilogramos para que sea compatible con la matriz de precios.

M_{ingredientes} = \begin{pmatrix} 500 & 300 & 200 \\ 600 & 100 & 300 \end{pmatrix} \text{ (gramos por lata)}

M'_{ingredientes} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.3 & 0.2 \\ 0.6 & 0.1 & 0.3 \end{pmatrix} \text{ (kilogramos por lata)}

M_{precios} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.4 & 0.6 \\ 0.4 & 0.5 & 0.7 \end{pmatrix} \text{ (euros por kilogramo, por proveedor)}

M_{costes\_producción} = \begin{pmatrix} 0.11 & 0.09 \end{pmatrix} \text{ (euros por lata, por receta)}

M_{costes\_transporte} = \begin{pmatrix} 0.02 & 0.03 \end{pmatrix} \text{ (euros por lata, por proveedor)}

El beneficio deseado es de $0.05$ euros por lata.

Paso 1: Cálculo del coste de ingredientes por lata

Para calcular el coste de los ingredientes por lata para cada receta y cada proveedor, multiplicamos la matriz de ingredientes en kilogramos ( $M'_{ingredientes}$ ) por la traspuesta de la matriz de precios ( $M_{precios}^T$ ). Las filas de $M'_{ingredientes}$ representan las recetas y las columnas los ingredientes. Las filas de $M_{precios}$ representan los proveedores y las columnas los precios de los ingredientes. Para obtener el coste de ingredientes por lata (Receta, Proveedor), realizamos el siguiente producto matricial:

C_{ingredientes} = M'_{ingredientes} \cdot M_{precios}^T

C_{ingredientes} = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.3 & 0.2 \\ 0.6 & 0.1 & 0.3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0.5 & 0.4 \\ 0.4 & 0.5 \\ 0.6 & 0.7 \end{pmatrix}

C_{ingredientes} = \begin{pmatrix} (0.5\cdot0.5) + (0.3\cdot0.4) + (0.2\cdot0.6) & (0.5\cdot0.4) + (0.3\cdot0.5) + (0.2\cdot0.7) \\ (0.6\cdot0.5) + (0.1\cdot0.4) + (0.3\cdot0.6) & (0.6\cdot0.4) + (0.1\cdot0.5) + (0.3\cdot0.7) \end{pmatrix}

C_{ingredientes} = \begin{pmatrix} 0.25 + 0.12 + 0.12 & 0.20 + 0.15 + 0.14 \\ 0.30 + 0.04 + 0.18 & 0.24 + 0.05 + 0.21 \end{pmatrix}

C_{ingredientes} = \begin{pmatrix} 0.49 & 0.49 \\ 0.52 & 0.50 \end{pmatrix} \text{ (euros por lata, por receta y proveedor)}

Paso 2: Cálculo del coste total por lata

El coste total por lata se obtiene sumando el coste de los ingredientes, el coste de producción (dependiente de la receta) y el coste de transporte (dependiente del proveedor). Los costes de producción se aplican por receta, y los de transporte por proveedor.

C_{total}(i,j) = C_{ingredientes}(i,j) + M_{costes\_producción}(i) + M_{costes\_transporte}(j)

C_{total}(1,1) = 0.49 + 0.11 + 0.02 = 0.62 \text{ (Receta 1, Proveedor 1)}

C_{total}(1,2) = 0.49 + 0.11 + 0.03 = 0.63 \text{ (Receta 1, Proveedor 2)}

C_{total}(2,1) = 0.52 + 0.09 + 0.02 = 0.63 \text{ (Receta 2, Proveedor 1)}

C_{total}(2,2) = 0.50 + 0.09 + 0.03 = 0.62 \text{ (Receta 2, Proveedor 2)}

C_{total} = \begin{pmatrix} 0.62 & 0.63 \\ 0.63 & 0.62 \end{pmatrix} \text{ (euros por lata)}

Paso 3: Cálculo del precio de venta por lata

Para obtener el precio de venta por lata, sumamos el beneficio deseado ( $0.05$ euros) al coste total por lata.

P_{venta}(i,j) = C_{total}(i,j) + 0.05

P_{venta}(1,1) = 0.62 + 0.05 = 0.67

P_{venta}(1,2) = 0.63 + 0.05 = 0.68

P_{venta}(2,1) = 0.63 + 0.05 = 0.68

P_{venta}(2,2) = 0.62 + 0.05 = 0.67

P_{venta} = \begin{pmatrix} 0.67 & 0.68 \\ 0.68 & 0.67 \end{pmatrix} \text{ (euros por lata)}

Paso 4: Cálculo del importe total del pedido

La distribuidora compra: - 11000 latas de la primera receta, de las cuales 5000 son del primer proveedor y el resto (6000) del segundo proveedor. - 11000 latas de la segunda receta, de las cuales 6000 son del primer proveedor y el resto (5000) del segundo proveedor.

\text{Importe total} = (5000 \cdot P_{venta}(1,1)) + (6000 \cdot P_{venta}(1,2)) + (6000 \cdot P_{venta}(2,1)) + (5000 \cdot P_{venta}(2,2))

\text{Importe total} = (5000 \cdot 0.67) + (6000 \cdot 0.68) + (6000 \cdot 0.68) + (5000 \cdot 0.67)

\text{Importe total} = 3350 + 4080 + 4080 + 3350

\text{Importe total} = 14860 \text{ euros}

La conservera debe cobrar $14860$ euros por el pedido de esta distribuidora.