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T1: Matrices y determinantes
Cálculo matricial y ecuaciones
Problema
2022 · Ordinaria · Titular
2
Examen

Se consideran las matrices

A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix} , B = (2 & -1 & 0), C = (1 & 3 & -1)

donde aa es un número real.

a) Halle los valores del parámetro aa para que la matriz AA tenga inversa.b) Para a=2a = 2, calcule la matriz inversa de AA.c) Para a=2a = 2, resuelva la ecuación matricial X⋅A+I3=Bt⋅CX \cdot A + I_3 = B^t \cdot C.
MatricesDeterminantesEcuaciones matriciales
a) Halle los valores del parámetro aa para que la matriz AA tenga inversa.

Una matriz tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de AA:

det⁡(A)=det⁡(a100a1341)\det(A) = \det \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}
det⁡(A)=a(a⋅1−1⋅4)−1(0⋅1−1⋅3)+0(0⋅4−a⋅3)\det(A) = a(a \cdot 1 - 1 \cdot 4) - 1(0 \cdot 1 - 1 \cdot 3) + 0(0 \cdot 4 - a \cdot 3)
det⁡(A)=a(a−4)−1(−3)+0\det(A) = a(a - 4) - 1(-3) + 0
det⁡(A)=a2−4a+3\det(A) = a^2 - 4a + 3

Para que AA no tenga inversa, el determinante debe ser cero:

a2−4a+3=0a^2 - 4a + 3 = 0

Resolvemos la ecuación cuadrática:

(a−1)(a−3)=0(a - 1)(a - 3) = 0

Los valores de aa para los cuales la matriz AA no tiene inversa son a=1a = 1 y a=3a = 3. Por lo tanto, la matriz AA tiene inversa para todos los valores de a∈Ra \in \mathbb{R} excepto a=1a = 1 y a=3a = 3.

a≠1ya≠3a \neq 1 \quad \text{y} \quad a \neq 3
b) Para a=2a = 2, calcule la matriz inversa de AA.

Sustituimos a=2a = 2 en la matriz AA:

A=(210021341)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 1 \end{pmatrix}

Calculamos el determinante para a=2a = 2:

det⁡(A)=(2)2−4(2)+3=4−8+3=−1\det(A) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1

Ahora calculamos la matriz de cofactores CC:

C11=det⁡(2141)=2−4=−2C_{11} = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = 2 - 4 = -2
C12=−det⁡(0131)=−(0−3)=3C_{12} = -\det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = -(0 - 3) = 3
C13=det⁡(0234)=0−6=−6C_{13} = \det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = 0 - 6 = -6
C21=−det⁡(1041)=−(1−0)=−1C_{21} = -\det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} = -(1 - 0) = -1
C22=det⁡(2031)=2−0=2C_{22} = \det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} = 2 - 0 = 2
C23=−det⁡(2134)=−(8−3)=−5C_{23} = -\det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = -(8 - 3) = -5
C31=det⁡(1021)=1−0=1C_{31} = \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 1 - 0 = 1
C32=−det⁡(2001)=−(2−0)=−2C_{32} = -\det \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -(2 - 0) = -2
C33=det⁡(2102)=4−0=4C_{33} = \det \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} = 4 - 0 = 4

La matriz de cofactores es:

C=(−23−6−12−51−24)C = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -6 \\ -1 & 2 & -5 \\ 1 & -2 & 4 \end{pmatrix}

La matriz adjunta es la traspuesta de la matriz de cofactores:

Adj(A)=Ct=(−2−1132−2−6−54)\text{Adj}(A) = C^t = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \\ -6 & -5 & 4 \end{pmatrix}

Finalmente, la matriz inversa es A−1=1det⁡(A)Adj(A)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{Adj}(A):

A−1=1−1(−2−1132−2−6−54)=(21−1−3−2265−4)A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -2 \\ -6 & -5 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 2 \\ 6 & 5 & -4 \end{pmatrix}
c) Para a=2a = 2, resuelva la ecuación matricial X⋅A+I3=Bt⋅CX \cdot A + I_3 = B^t \cdot C.

Primero, despejamos XX de la ecuación:

X⋅A=Bt⋅C−I3X \cdot A = B^t \cdot C - I_3

Multiplicamos por A−1A^{-1} por la derecha:

X=(Bt⋅C−I3)⋅A−1X = (B^t \cdot C - I_3) \cdot A^{-1}

Calculamos Bt⋅CB^t \cdot C:

Bt=(2−10)B^t = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}
Bt⋅C=(2−10)(13−1)=(26−2−1−31000)B^t \cdot C = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6 & -2 \\ -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Ahora, calculamos Bt⋅C−I3B^t \cdot C - I_3:

Bt⋅C−I3=(26−2−1−31000)−(100010001)=(16−2−1−4100−1)B^t \cdot C - I_3 = \begin{pmatrix} 2 & 6 & -2 \\ -1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -2 \\ -1 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

Finalmente, calculamos X=(Bt⋅C−I3)⋅A−1X = (B^t \cdot C - I_3) \cdot A^{-1}:

X=(16−2−1−4100−1)(21−1−3−2265−4)X = \begin{pmatrix} 1 & 6 & -2 \\ -1 & -4 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -3 & -2 & 2 \\ 6 & 5 & -4 \end{pmatrix}
X=(1(2)+6(−3)+(−2)(6)1(1)+6(−2)+(−2)(5)1(−1)+6(2)+(−2)(−4)(−1)(2)+(−4)(−3)+1(6)(−1)(1)+(−4)(−2)+1(5)(−1)(−1)+(−4)(2)+1(−4)0(2)+0(−3)+(−1)(6)0(1)+0(−2)+(−1)(5)0(−1)+0(2)+(−1)(−4))X = \begin{pmatrix} 1(2)+6(-3)+(-2)(6) & 1(1)+6(-2)+(-2)(5) & 1(-1)+6(2)+(-2)(-4) \\ (-1)(2)+(-4)(-3)+1(6) & (-1)(1)+(-4)(-2)+1(5) & (-1)(-1)+(-4)(2)+1(-4) \\ 0(2)+0(-3)+(-1)(6) & 0(1)+0(-2)+(-1)(5) & 0(-1)+0(2)+(-1)(-4) \end{pmatrix}
X=(2−18−121−12−10−1+12+8−2+12+6−1+8+51−8−40+0−60+0−50+0+4)X = \begin{pmatrix} 2 - 18 - 12 & 1 - 12 - 10 & -1 + 12 + 8 \\ -2 + 12 + 6 & -1 + 8 + 5 & 1 - 8 - 4 \\ 0 + 0 - 6 & 0 + 0 - 5 & 0 + 0 + 4 \end{pmatrix}
X=(−28−21191612−11−6−54)X = \begin{pmatrix} -28 & -21 & 19 \\ 16 & 12 & -11 \\ -6 & -5 & 4 \end{pmatrix}