T1: Matrices y determinantes · Ecuaciones matriciales — MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Ecuaciones matriciales

Problema

2021 · Ordinaria · Reserva

Se considera la ecuación matricial $(10 I_3 - A) \cdot X = B$ , donde $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}$ y $B$ es una matriz con tres filas y una columna.

a) Razone qué dimensión ha de tener la matriz

X

.b) ¿Tiene solución la ecuación matricial anterior para cualquier matriz

B

de orden

3 \times 1

? ¿Por qué?c) Resuelva dicha ecuación matricial si

B = (5 \quad 20 \quad -3)^t

Ecuación matricialDimensión de matrizMatriz inversa

Primero, vamos a calcular la matriz $C = 10I_3 - A$ .

C = 10 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & -1 & 0 \\ -4 & 8 & 0 \\ -2 & -2 & 5 \end{pmatrix}

a) Razone qué dimensión ha de tener la matriz

X

. La ecuación matricial es

C \cdot X = B

. La matriz

C

es de dimensión

3 \times 3

. La matriz

B

es de dimensión

3 \times 1

. Para que el producto matricial

C \cdot X

esté definido, el número de columnas de

C

debe ser igual al número de filas de

X

. Además, la matriz resultante

C \cdot X

debe tener la misma dimensión que

B

. Por lo tanto, si

C_{3 \times 3}

X_{m \times n}

, el producto

C \cdot X

será de dimensión

3 \times n

. Como

C \cdot X

debe ser

3 \times 1

, entonces

n=1

. Y para que el producto

C \cdot X

sea válido,

m

debe ser igual al número de columnas de

C

, es decir,

m=3

. Por lo tanto, la matriz

X

debe tener dimensión

3 \times 1

.b) ¿Tiene solución la ecuación matricial anterior para cualquier matriz

B

de orden

3 \times 1

? ¿Por qué? La ecuación matricial

C \cdot X = B

tiene solución para cualquier matriz

B

si y solo si la matriz

C

es invertible. Una matriz es invertible si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de

C

\det(C) = \det\begin{pmatrix} 8 & -1 & 0 \\ -4 & 8 & 0 \\ -2 & -2 & 5 \end{pmatrix}

Desarrollamos el determinante por la tercera columna, ya que tiene dos ceros:

\det(C) = 0 \cdot C_{13} + 0 \cdot C_{23} + 5 \cdot C_{33} = 5 \cdot \begin{vmatrix} 8 & -1 \\ -4 & 8 \end{vmatrix}

\det(C) = 5 \cdot (8 \cdot 8 - (-1) \cdot (-4)) = 5 \cdot (64 - 4) = 5 \cdot 60 = 300

Dado que $\det(C) = 300 \neq 0$ , la matriz $C$ es invertible. Por lo tanto, la ecuación matricial $C \cdot X = B$ tiene una solución única $X = C^{-1} \cdot B$ para cualquier matriz $B$ de orden $3 \times 1$ .

c) Resuelva dicha ecuación matricial si

B = (5 \quad 20 \quad -3)^t

. La matriz

B

B = \begin{pmatrix} 5 \\ 20 \\ -3 \end{pmatrix}

. La ecuación es

C \cdot X = B

, donde

X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}

. Podemos escribir esto como un sistema de ecuaciones lineales:

\begin{pmatrix} 8 & -1 & 0 \\ -4 & 8 & 0 \\ -2 & -2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 20 \\ -3 \end{pmatrix}

Esto nos da el siguiente sistema de ecuaciones:

\begin{cases} 8x - y = 5 & (1) \\ -4x + 8y = 20 & (2) \\ -2x - 2y + 5z = -3 & (3) \end{cases}

De la ecuación (1), despejamos $y$ : $y = 8x - 5$ . Sustituimos esta expresión de $y$ en la ecuación (2):

-4x + 8(8x - 5) = 20

-4x + 64x - 40 = 20

60x = 60

x = 1

Ahora, sustituimos el valor de $x$ en la expresión de $y$ :

y = 8(1) - 5 = 8 - 5 = 3

Finalmente, sustituimos los valores de $x$ e $y$ en la ecuación (3) para encontrar $z$ :

-2(1) - 2(3) + 5z = -3

-2 - 6 + 5z = -3

-8 + 5z = -3

5z = 5

z = 1

Por lo tanto, la matriz $X$ es:

X = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}