a) Resuelva la siguiente ecuación matricial A t − X ⋅ A = 3 I 3 A^t - X \cdot A = 3I_3 A t − X ⋅ A = 3 I 3 . Primero, despejamos la matriz X X X de la ecuación:
A t − X ⋅ A = 3 I 3 A^t - X \cdot A = 3I_3 A t − X ⋅ A = 3 I 3 X ⋅ A = A t − 3 I 3 X \cdot A = A^t - 3I_3 X ⋅ A = A t − 3 I 3 Para aislar X X X , multiplicamos por la inversa de A A A , A − 1 A^{-1} A − 1 , por la derecha (si existe):
X = ( A t − 3 I 3 ) ⋅ A − 1 X = (A^t - 3I_3) \cdot A^{-1} X = ( A t − 3 I 3 ) ⋅ A − 1 Calculamos A t A^t A t y 3 I 3 3I_3 3 I 3 :
A t = ( 7 3 − 5 − 6 1 0 − 2 4 − 4 ) A^t = \begin{pmatrix} 7 & 3 & -5 \\ -6 & 1 & 0 \\ -2 & 4 & -4 \end{pmatrix} A t = 7 − 6 − 2 3 1 4 − 5 0 − 4 3 I 3 = 3 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) = ( 3 0 0 0 3 0 0 0 3 ) 3I_3 = 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} 3 I 3 = 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 3 0 0 0 3 0 0 0 3 Ahora calculamos la expresión ( A t − 3 I 3 ) (A^t - 3I_3) ( A t − 3 I 3 ) :
A t − 3 I 3 = ( 7 3 − 5 − 6 1 0 − 2 4 − 4 ) − ( 3 0 0 0 3 0 0 0 3 ) = ( 4 3 − 5 − 6 − 2 0 − 2 4 − 7 ) A^t - 3I_3 = \begin{pmatrix} 7 & 3 & -5 \\ -6 & 1 & 0 \\ -2 & 4 & -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & -5 \\ -6 & -2 & 0 \\ -2 & 4 & -7 \end{pmatrix} A t − 3 I 3 = 7 − 6 − 2 3 1 4 − 5 0 − 4 − 3 0 0 0 3 0 0 0 3 = 4 − 6 − 2 3 − 2 4 − 5 0 − 7 A continuación, calculamos la inversa de A A A , A − 1 A^{-1} A − 1 . Primero, el determinante de A A A :
A = ( 7 − 6 − 2 3 1 4 − 5 0 − 4 ) A = \begin{pmatrix} 7 & -6 & -2 \\ 3 & 1 & 4 \\ -5 & 0 & -4 \end{pmatrix} A = 7 3 − 5 − 6 1 0 − 2 4 − 4 det ( A ) = 7 ( 1 ⋅ ( − 4 ) − 4 ⋅ 0 ) − ( − 6 ) ( 3 ⋅ ( − 4 ) − 4 ⋅ ( − 5 ) ) + ( − 2 ) ( 3 ⋅ 0 − 1 ⋅ ( − 5 ) ) \det(A) = 7(1 \cdot (-4) - 4 \cdot 0) - (-6)(3 \cdot (-4) - 4 \cdot (-5)) + (-2)(3 \cdot 0 - 1 \cdot (-5)) det ( A ) = 7 ( 1 ⋅ ( − 4 ) − 4 ⋅ 0 ) − ( − 6 ) ( 3 ⋅ ( − 4 ) − 4 ⋅ ( − 5 )) + ( − 2 ) ( 3 ⋅ 0 − 1 ⋅ ( − 5 )) det ( A ) = 7 ( − 4 ) + 6 ( − 12 + 20 ) − 2 ( 5 ) = − 28 + 6 ( 8 ) − 10 = − 28 + 48 − 10 = 10 \det(A) = 7(-4) + 6(-12 + 20) - 2(5) = -28 + 6(8) - 10 = -28 + 48 - 10 = 10 det ( A ) = 7 ( − 4 ) + 6 ( − 12 + 20 ) − 2 ( 5 ) = − 28 + 6 ( 8 ) − 10 = − 28 + 48 − 10 = 10 Como det ( A ) = 10 ≠ 0 \det(A) = 10 \neq 0 det ( A ) = 10 = 0 , la inversa A − 1 A^{-1} A − 1 existe. Calculamos la matriz de cofactores de A A A :
C 11 = − 4 C 12 = − 8 C 13 = 5 C_{11} = -4 \quad C_{12} = -8 \quad C_{13} = 5 C 11 = − 4 C 12 = − 8 C 13 = 5 C 21 = − 24 C 22 = − 38 C 23 = 30 C_{21} = -24 \quad C_{22} = -38 \quad C_{23} = 30 C 21 = − 24 C 22 = − 38 C 23 = 30 C 31 = − 22 C 32 = − 34 C 33 = 25 C_{31} = -22 \quad C_{32} = -34 \quad C_{33} = 25 C 31 = − 22 C 32 = − 34 C 33 = 25 A d j ( A ) = ( − 4 − 24 − 22 − 8 − 38 − 34 5 30 25 ) Adj(A) = \begin{pmatrix} -4 & -24 & -22 \\ -8 & -38 & -34 \\ 5 & 30 & 25 \end{pmatrix} A d j ( A ) = − 4 − 8 5 − 24 − 38 30 − 22 − 34 25 La inversa de A A A es:
A − 1 = 1 10 ( − 4 − 24 − 22 − 8 − 38 − 34 5 30 25 ) A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -4 & -24 & -22 \\ -8 & -38 & -34 \\ 5 & 30 & 25 \end{pmatrix} A − 1 = 10 1 − 4 − 8 5 − 24 − 38 30 − 22 − 34 25 Finalmente, calculamos X = ( A t − 3 I 3 ) A − 1 X = (A^t - 3I_3)A^{-1} X = ( A t − 3 I 3 ) A − 1 :
X = ( 4 3 − 5 − 6 − 2 0 − 2 4 − 7 ) ⋅ 1 10 ( − 4 − 24 − 22 − 8 − 38 − 34 5 30 25 ) X = \begin{pmatrix} 4 & 3 & -5 \\ -6 & -2 & 0 \\ -2 & 4 & -7 \end{pmatrix} \cdot \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -4 & -24 & -22 \\ -8 & -38 & -34 \\ 5 & 30 & 25 \end{pmatrix} X = 4 − 6 − 2 3 − 2 4 − 5 0 − 7 ⋅ 10 1 − 4 − 8 5 − 24 − 38 30 − 22 − 34 25 X = 1 10 ( − 65 − 360 − 315 40 220 200 − 59 − 314 − 267 ) X = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -65 & -360 & -315 \\ 40 & 220 & 200 \\ -59 & -314 & -267 \end{pmatrix} X = 10 1 − 65 40 − 59 − 360 220 − 314 − 315 200 − 267 X = ( − 6.5 − 36 − 31.5 4 22 20 − 5.9 − 31.4 − 26.7 ) X = \begin{pmatrix} -6.5 & -36 & -31.5 \\ 4 & 22 & 20 \\ -5.9 & -31.4 & -26.7 \end{pmatrix} X = − 6.5 4 − 5.9 − 36 22 − 31.4 − 31.5 20 − 26.7 b) ¿Existe algún valor del parámetro a a a para el que se verifique C t ⋅ D = B C^t \cdot D = B C t ⋅ D = B ? En caso afirmativo, calcule dicho valor. Dadas las matrices:
C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -2 & -3 & 0 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} a^2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & a \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 5 & 3 & 4 \\ -4 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Primero, calculamos la traspuesta de C C C , C t C^t C t :
C t = ( 1 − 2 2 − 3 − 1 0 ) C^t = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} C t = 1 2 − 1 − 2 − 3 0 Ahora realizamos el producto matricial C t ⋅ D C^t \cdot D C t ⋅ D :
C t ⋅ D = ( 1 − 2 2 − 3 − 1 0 ) ⋅ ( a 2 0 − 1 1 − 1 a ) C^t \cdot D = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -3 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a^2 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & a \end{pmatrix} C t ⋅ D = 1 2 − 1 − 2 − 3 0 ⋅ ( a 2 1 0 − 1 − 1 a ) C t ⋅ D = ( 1 ⋅ a 2 + ( − 2 ) ⋅ 1 1 ⋅ 0 + ( − 2 ) ⋅ ( − 1 ) 1 ⋅ ( − 1 ) + ( − 2 ) ⋅ a 2 ⋅ a 2 + ( − 3 ) ⋅ 1 2 ⋅ 0 + ( − 3 ) ⋅ ( − 1 ) 2 ⋅ ( − 1 ) + ( − 3 ) ⋅ a ( − 1 ) ⋅ a 2 + 0 ⋅ 1 ( − 1 ) ⋅ 0 + 0 ⋅ ( − 1 ) ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) + 0 ⋅ a ) C^t \cdot D = \begin{pmatrix} 1 \cdot a^2 + (-2) \cdot 1 & 1 \cdot 0 + (-2) \cdot (-1) & 1 \cdot (-1) + (-2) \cdot a \\ 2 \cdot a^2 + (-3) \cdot 1 & 2 \cdot 0 + (-3) \cdot (-1) & 2 \cdot (-1) + (-3) \cdot a \\ (-1) \cdot a^2 + 0 \cdot 1 & (-1) \cdot 0 + 0 \cdot (-1) & (-1) \cdot (-1) + 0 \cdot a \end{pmatrix} C t ⋅ D = 1 ⋅ a 2 + ( − 2 ) ⋅ 1 2 ⋅ a 2 + ( − 3 ) ⋅ 1 ( − 1 ) ⋅ a 2 + 0 ⋅ 1 1 ⋅ 0 + ( − 2 ) ⋅ ( − 1 ) 2 ⋅ 0 + ( − 3 ) ⋅ ( − 1 ) ( − 1 ) ⋅ 0 + 0 ⋅ ( − 1 ) 1 ⋅ ( − 1 ) + ( − 2 ) ⋅ a 2 ⋅ ( − 1 ) + ( − 3 ) ⋅ a ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) + 0 ⋅ a C t ⋅ D = ( a 2 − 2 2 − 1 − 2 a 2 a 2 − 3 3 − 2 − 3 a − a 2 0 1 ) C^t \cdot D = \begin{pmatrix} a^2 - 2 & 2 & -1 - 2a \\ 2a^2 - 3 & 3 & -2 - 3a \\ -a^2 & 0 & 1 \end{pmatrix} C t ⋅ D = a 2 − 2 2 a 2 − 3 − a 2 2 3 0 − 1 − 2 a − 2 − 3 a 1 Para que se verifique C t ⋅ D = B C^t \cdot D = B C t ⋅ D = B , igualamos las matrices elemento a elemento:
( a 2 − 2 2 − 1 − 2 a 2 a 2 − 3 3 − 2 − 3 a − a 2 0 1 ) = ( 2 2 3 5 3 4 − 4 0 1 ) \begin{pmatrix} a^2 - 2 & 2 & -1 - 2a \\ 2a^2 - 3 & 3 & -2 - 3a \\ -a^2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 5 & 3 & 4 \\ -4 & 0 & 1 \end{pmatrix} a 2 − 2 2 a 2 − 3 − a 2 2 3 0 − 1 − 2 a − 2 − 3 a 1 = 2 5 − 4 2 3 0 3 4 1 De la comparación obtenemos las siguientes ecuaciones para a a a :
a 2 − 2 = 2 ⟹ a 2 = 4 ⟹ a = ± 2 a^2 - 2 = 2 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2 a 2 − 2 = 2 ⟹ a 2 = 4 ⟹ a = ± 2 − 1 − 2 a = 3 ⟹ − 2 a = 4 ⟹ a = − 2 -1 - 2a = 3 \implies -2a = 4 \implies a = -2 − 1 − 2 a = 3 ⟹ − 2 a = 4 ⟹ a = − 2 2 a 2 − 3 = 5 ⟹ 2 a 2 = 8 ⟹ a 2 = 4 ⟹ a = ± 2 2a^2 - 3 = 5 \implies 2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2 2 a 2 − 3 = 5 ⟹ 2 a 2 = 8 ⟹ a 2 = 4 ⟹ a = ± 2 − 2 − 3 a = 4 ⟹ − 3 a = 6 ⟹ a = − 2 -2 - 3a = 4 \implies -3a = 6 \implies a = -2 − 2 − 3 a = 4 ⟹ − 3 a = 6 ⟹ a = − 2 − a 2 = − 4 ⟹ a 2 = 4 ⟹ a = ± 2 -a^2 = -4 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2 − a 2 = − 4 ⟹ a 2 = 4 ⟹ a = ± 2 Para que la igualdad C t ⋅ D = B C^t \cdot D = B C t ⋅ D = B se cumpla, a a a debe satisfacer todas las ecuaciones simultáneamente. Las ecuaciones − 1 − 2 a = 3 -1 - 2a = 3 − 1 − 2 a = 3 y − 2 − 3 a = 4 -2 - 3a = 4 − 2 − 3 a = 4 implican que a = − 2 a = -2 a = − 2 . Verificamos si este valor es consistente con las otras ecuaciones ( a 2 = 4 a^2 = 4 a 2 = 4 ):
Esto es consistente. Si hubiéramos tomado a = 2 a = 2 a = 2 , no se cumplirían las ecuaciones − 1 − 2 a = 3 -1 - 2a = 3 − 1 − 2 a = 3 (ya que − 1 − 2 ( 2 ) = − 5 ≠ 3 -1 - 2(2) = -5 \neq 3 − 1 − 2 ( 2 ) = − 5 = 3 ) ni − 2 − 3 a = 4 -2 - 3a = 4 − 2 − 3 a = 4 (ya que − 2 − 3 ( 2 ) = − 8 ≠ 4 -2 - 3(2) = -8 \neq 4 − 2 − 3 ( 2 ) = − 8 = 4 ). Por lo tanto, el único valor de a a a para el que se verifica la igualdad es:
