Sistemas eléctricos y electrónicos

Se transcribe la tabla de verdad a un mapa de Karnaugh, considerando las variables de entrada como A (más significativo) hasta D (menos significativo), y utilizando los estados indiferentes (X) para simplificar la expresión.

Fórmulas: Para la simplificación se agrupan los '1' y los estados indiferentes 'X' en la mayor cantidad posible de potencias de 2 (2, 4, 8, etc.), buscando grupos que maximicen la eliminación de variables.Sustitución:Se identifican los siguientes grupos:

Resultado:

Datos: La función simplificada obtenida en el apartado anterior es $F = BD + AC\bar{D}$.Fórmulas: Se utilizan las puertas lógicas NOT, AND y OR para implementar la función.Sustitución: La implementación requiere:

Resultado: El circuito lógico es el siguiente:

Datos: Definiciones y conceptos de sistemas de control.Fórmulas: No aplica en este apartado teórico.Sustitución: No aplica en este apartado teórico.Resultado:Se entiende por perturbaciones en un sistema de control a aquellas señales o factores externos no deseados que actúan sobre el sistema y tienden a modificar el valor de la variable controlada, alejándola del valor de referencia o consigna. Estas perturbaciones no forman parte de la señal de control ni de la referencia, y su efecto es indeseado.Las causas de las perturbaciones pueden ser diversas, incluyendo:

El tipo de sistema de control capaz de corregir el efecto de las perturbaciones en la variable controlada es el sistema de control de lazo cerrado (o sistema de control realimentado).Razón de la respuesta: Los sistemas de control de lazo cerrado operan comparando la variable controlada (la salida real del sistema) con la variable de referencia (la salida deseada). Esta comparación genera una señal de error. El controlador utiliza esta señal de error para ajustar la acción de control sobre el sistema, de manera que la variable controlada se aproxime a la referencia. Cuando una perturbación intenta desviar la variable controlada de su valor deseado, el sensor detecta esta desviación, se genera un error y el controlador actúa para corregirla. Por el contrario, un sistema de control de lazo abierto no mide la salida ni la compara con la referencia, por lo que no tiene capacidad para detectar ni corregir los efectos de las perturbaciones.

Variables de entrada y salida del sistema:

Principio de funcionamiento: Los sensores inductivos basan su operación en el fenómeno de la inducción electromagnética. Constan de un devanado (bobina) y un núcleo de ferrita que, alimentados por un oscilador, generan un campo magnético alterno de alta frecuencia que emerge de la cara activa del sensor. Cuando un objeto metálico (conductor) se introduce en este campo, se generan en su superficie corrientes parásitas o de Foucault. Estas corrientes extraen energía del circuito oscilador, provocando una amortiguación de la amplitud de la señal oscilante. Un circuito detector evalúa esta variación y, mediante un disparador de Schmitt, conmuta la salida del sensor cuando se alcanza un determinado umbral.Aplicaciones principales: - Detección de presencia, posición o conteo de piezas metálicas en líneas de producción. - Sensores de final de carrera en máquinas herramienta y brazos robóticos. - Captadores de velocidad (tacómetros) detectando el paso de los dientes de un engranaje metálico. - Discriminación entre metales férricos y no férricos (según el diseño del sensor).

Definición de variables: - $A, B, C, D$: Variables binarias de entrada. - $S$: Variable binaria de salida.Identificación de los miniterminos a partir de las conexiones del diagrama lógico:

La función lógica canónica es la suma de los miniterminos anteriores:

Mapa de Karnaugh para simplificación:

Realizamos las agrupaciones de unos (agrupamos en grupos de 4 unos): - Grupo 1 (columna $C=1, D=1$): El término resultante es $C \cdot D$. - Grupo 2 (filas $A=1$ y columnas $D=1$): El término resultante es $A \cdot D$.La función simplificada es:

Implementación del circuito lógico final: El circuito se implementa con una puerta OR de dos entradas para las variables $A$ y $C$, cuya salida se conecta a una entrada de una puerta AND de dos entradas. La otra entrada de la puerta AND se conecta a la variable $D$.

Se definen las entradas $P_1, P_2, P_3$ y las salidas $S_1, S_2, S_3$ según las condiciones dadas:- $S_1 = 1$ si $P_1=1$, $P_2=1$ y $P_3=1$.- $S_2 = 1$ si $P_1=0$, $P_2=0$ y $P_3=0$.- $S_3 = 1$ si el número de entradas a '1' es mayor que el número de entradas a '0'.

Se aplica el método de Karnaugh a cada función de salida.

Datos: Un sistema de control de lazo abierto es aquel en el que la acción de control es independiente de la salida del sistema.Características principales:- Ausencia de retroalimentación: La señal de salida no se mide ni se compara con la señal de entrada o referencia.- Simplicidad: Son más sencillos en diseño y construcción, y generalmente más económicos.- Sensibilidad a perturbaciones: No pueden compensar las perturbaciones externas o cambios en las propiedades del sistema, lo que puede llevar a una salida imprecisa.- Menor precisión: La precisión de la salida depende de la calibración inicial y la fiabilidad de sus componentes.- Ejemplos: Tostadora (el tiempo de tostado no depende de lo tostado que esté el pan), lavadora (basada en ciclos preestablecidos).

Datos: Un sistema de control de lazo cerrado es aquel en el que la acción de control depende de la salida del sistema, mediante un mecanismo de retroalimentación.Características principales:- Retroalimentación: La señal de salida se mide (variable controlada) y se compara con la señal de entrada deseada (referencia). La diferencia (error) se utiliza para ajustar la acción de control.- Complejidad: Son más complejos en diseño y construcción, y generalmente más caros.- Robustez frente a perturbaciones: Pueden detectar y corregir errores causados por perturbaciones externas o variaciones en el sistema, manteniendo la salida cerca del valor deseado.- Mayor precisión: Ofrecen una mayor precisión y estabilidad, ya que corrigen continuamente cualquier desviación de la salida respecto al valor deseado.- Ejemplos: Termostato de una calefacción (la temperatura medida afecta la acción del calentador), sistema de control de crucero de un coche (la velocidad real se compara con la deseada), el cuerpo humano (regulación de la temperatura corporal).

Analizando el circuito lógico proporcionado, identificamos las entradas de cada puerta AND y la posterior puerta OR que genera la salida F. Las entradas directas son A, B, C y sus negadas $\bar{A}$, $\bar{B}$, $\bar{C}$.

Se evalúa la función F para todas las $2^3 = 8$ posibles combinaciones de las entradas A, B y C para construir la tabla de verdad.

Se aplica el método de Karnaugh para la simplificación de funciones booleanas de 3 variables, buscando agrupar los '1' adyacentes en el mapa en potencias de 2 (2, 4, etc.).

Se construye el mapa de Karnaugh utilizando los valores de la tabla de verdad y se agrupan los unos para obtener la expresión simplificada.

El circuito correspondiente a la función lógica simplificada $F = C \cdot (A + B)$ se implementa utilizando las siguientes puertas lógicas: \begin{itemize} \item Una puerta OR de dos entradas (A y B) para obtener $(A+B)$. \item Una puerta AND de dos entradas (la salida de la OR y C) para obtener $C \cdot (A+B)$. \end{itemize} El circuito consta de una puerta OR y una puerta AND.

Se obtiene la expresión lógica de F a partir del circuito, identificando las salidas intermedias de cada puerta:

Sustituyendo las expresiones de $S_1$ y $S_2$ en F:

Aplicando las leyes de De Morgan para simplificar F:

Dado que la propiedad de Boole establece que $B \cdot \overline{B} = 0$ (una variable AND su complemento es siempre falso):

La salida F es siempre 0, independientemente de las entradas A, B y C. La tabla de verdad es la siguiente:

Simplificación por el método de Karnaugh:Dado que la salida F es siempre 0 para todas las combinaciones de entrada, el mapa de Karnaugh estará completamente lleno de ceros:

Al no haber ningún '1' en el mapa, no es posible realizar agrupaciones. Por lo tanto, la expresión simplificada es:

Implementación mediante un circuito con puertas lógicas NAND:Para obtener una salida lógica '0' utilizando una puerta NAND, se deben aplicar entradas lógicas '1' a ambas entradas de la puerta (por ejemplo, conectando ambas entradas a VCC o a una fuente de nivel lógico alto). La puerta NAND realiza la operación $\overline{1 \cdot 1} = \overline{1} = 0$.

Se analiza el diagrama de bloques para obtener la función de transferencia $C/E$ mediante la reducción de bloques.Paso 1: Determinar la señal de salida del primer punto sumador, $S_1$. Este punto recibe la señal $E \cdot G_1$ (positiva) y la señal de entrada $E$ (negativa).

Paso 2: La señal $S_1$ es la entrada del bloque $G_2$. La salida de este bloque, $S_2$, se calcula como:

Paso 3: La señal de entrada $E$ también se dirige al bloque $G_3$. La salida de este bloque, $S_3$, es:

Paso 4: El punto sumador final genera la salida $C$. Recibe $S_2$ y $S_3$ con signo positivo.

Sustituyendo las expresiones de $S_2$ y $S_3$:

Paso 5: Agrupar la entrada $E$ para obtener la función de transferencia $C/E$.

Las funciones lógicas de las alarmas A y B, según el enunciado, se definen como:

A partir de estas expresiones, se construye la siguiente tabla de verdad para las 16 combinaciones posibles de las cuatro variables de entrada (X, Y, Z, W):

Para la función A, $A = \overline{X} + (Y \cdot Z)$:El mapa de Karnaugh se construye con los valores de la columna A de la tabla de verdad, donde los 1s corresponden a los minterms: $m_0, m_1, m_2, m_3, m_4, m_5, m_6, m_7, m_{14}, m_{15}$.

Agrupaciones en el mapa de Karnaugh para A:1. Un octeto de 1s formado por todas las celdas de las filas $XY = 00$ y $XY = 01$ (es decir, cuando $X=0$). Este grupo simplifica al término $\overline{X}$.2. Un cuarteto de 1s formado por las celdas $m_6 (0110), m_7 (0111), m_{14} (1110)$ y $m_{15} (1111)$. Este grupo simplifica al término $Y \cdot Z$.La expresión simplificada para la alarma A es $A = \overline{X} + Y \cdot Z$, lo que confirma que la expresión original ya estaba en su forma mínima de suma de productos.Para la función B, $B = W + (\overline{X} \cdot Z)$:El mapa de Karnaugh se construye con los valores de la columna B de la tabla de verdad, donde los 1s corresponden a los minterms: $m_1, m_2, m_3, m_5, m_6, m_7, m_9, m_{11}, m_{13}, m_{15}$.

Agrupaciones en el mapa de Karnaugh para B:1. Un octeto de 1s formado por todas las celdas de las columnas $ZW = 01$ y $ZW = 11$ (es decir, cuando $W=1$). Este grupo simplifica al término $W$.2. Un cuarteto de 1s formado por las celdas $m_2 (0010), m_3 (0011), m_6 (0110)$ y $m_7 (0111)$. Este grupo simplifica al término $\overline{X} \cdot Z$.La expresión simplificada para la alarma B es $B = W + \overline{X} \cdot Z$, lo que confirma que la expresión original ya estaba en su forma mínima de suma de productos.

Dado que las funciones ya están en su forma mínima de suma de productos (Sum of Products - SOP), la implementación se realiza directamente utilizando puertas lógicas NOT, AND y OR.Para la alarma A, $A = \overline{X} + (Y \cdot Z)$:1. Se utiliza una puerta NOT para invertir la señal de la variable $X$, obteniendo $\overline{X}$.2. Las variables $Y$ y $Z$ se conectan a una puerta AND, produciendo el término $Y \cdot Z$.3. Las salidas de la puerta NOT ($\overline{X}$) y de la puerta AND ($Y \cdot Z$) se conectan a una puerta OR, cuya salida final representa la alarma A.Para la alarma B, $B = W + (\overline{X} \cdot Z)$:1. Se utiliza una puerta NOT para invertir la señal de la variable $X$, obteniendo $\overline{X}$.2. La salida de la puerta NOT ($\overline{X}$) y la variable $Z$ se conectan a una puerta AND, produciendo el término $\overline{X} \cdot Z$.3. La variable $W$ y la salida de la puerta AND ($\overline{X} \cdot Z$) se conectan a una puerta OR, cuya salida final representa la alarma B.

Para obtener la tabla de verdad y la función algebraica de la salida L, se considera que la lámpara se enciende (L = '1') si dos o más jueces (J1, J2, J3) votan 'SI' (valor '1').

Entradas: $J_1, J_2, J_3$ (votos de los jueces) Salida: $L$ (estado de la lámpara)

La salida $L$ es '1' cuando la suma de las entradas es mayor o igual a 2. La función algebraica se obtiene como suma de minitérminos (productos donde la salida es '1').

Tabla de verdad:

De la tabla de verdad, se identifican las combinaciones donde $L = '1'$:

Para simplificar la función $L$, se utiliza el método de Karnaugh.

El mapa de Karnaugh se utiliza para agrupar los unos adyacentes y obtener una expresión simplificada. Posteriormente, se implementa con puertas lógicas (AND, OR, NOT).

Mapa de Karnaugh para $L$:

Agrupaciones en el mapa de Karnaugh:

En relación con los sistemas de control, la función del regulador o controlador es la de comparar la señal de la variable controlada (medida por el sensor) con la señal de referencia o consigna. Basándose en esta diferencia (error), el regulador calcula y genera la señal de actuación que se envía al actuador para corregir la variable y mantenerla en el valor deseado. Sus funciones principales son: 1. Comparación: Recibe la señal de error entre el valor deseado (referencia) y el valor real (medida). 2. Procesamiento: Procesa la señal de error utilizando algoritmos de control (ej. PID - Proporcional, Integral, Derivativo) para determinar la acción correctiva. 3. Generación de señal de control: Emite una señal hacia el actuador, la cual modificará la variable de proceso para minimizar el error y alcanzar el punto de consigna.

Para obtener la tabla de verdad y la función lógica F, se analiza el circuito por etapas, definiendo las salidas intermedias de cada puerta lógica. Las entradas son a, b y c.La función de cada puerta es:

A continuación, se construye la tabla de verdad completa.

A partir de la tabla de verdad, se obtiene la función lógica F en su forma canónica de suma de minterms, identificando las filas donde F es 1.

Para simplificar la función F, se utiliza el mapa de Karnaugh con las variables a, b y c. Se colocan los 1s en las celdas correspondientes a los minterms de F.

Se agrupan los 1s adyacentes, buscando los grupos más grandes posibles (octetos, cuartetos, pares).Grupo 1 (Cuarteto): Las celdas $m_0, m_2, m_4, m_6$ forman un cuarteto que corresponde a $\overline{c}$.

Grupo 2 (Par): La celda $m_7$ se agrupa con $m_6$ (ya cubierta por el primer grupo pero necesaria para la máxima simplificación de $m_7$) para formar un par que corresponde a $ab$.

Al combinar estos grupos, la función simplificada es:

Un multiplexor (MUX) de cuatro entradas y una salida es un dispositivo lógico combinacional que selecciona una de sus $2^n$ entradas de datos y la dirige hacia una única línea de salida. En este caso, $n=2$, lo que significa que tiene 4 entradas de datos y 2 líneas de selección.Componentes principales:Datos → 4 entradas de datos ($I_0, I_1, I_2, I_3$). Selección → 2 entradas de selección ($S_1, S_0$). Estas entradas actúan como un decodificador de dirección. Salida → 1 salida ($Y$).Funcionamiento: El estado de las líneas de selección ($S_1S_0$) determina cuál de las entradas de datos ($I_x$) se conecta a la salida ($Y$). Si $S_1S_0 = 00$, la salida $Y$ es igual a la entrada $I_0$. Si $S_1S_0 = 01$, la salida $Y$ es igual a la entrada $I_1$. Si $S_1S_0 = 10$, la salida $Y$ es igual a la entrada $I_2$. Si $S_1S_0 = 11$, la salida $Y$ es igual a la entrada $I_3$.La expresión booleana que describe su funcionamiento es:

Los multiplexores se utilizan ampliamente en sistemas digitales para la selección de datos, enrutamiento, conversión de paralelo a serie y para implementar funciones lógicas.

La tabla de la verdad se construye evaluando las condiciones dadas para la apertura de la puerta (S=1):1. Se activa un solo pulsador: $( \overline{A}\overline{B}C ) \lor ( \overline{A}B\overline{C} ) \lor ( A\overline{B}\overline{C} )$ 2. Se activan dos pulsadores simultáneamente que no sean A y B: $( \overline{A}BC ) \lor ( A\overline{B}C )$

La ecuación lógica correspondiente, obtenida de la suma de los minterms donde S es '1', es:

Se aplica el método de Karnaugh para simplificar la ecuación lógica. El mapa de Karnaugh se genera a partir de la tabla de la verdad:

Se agrupan los unos en el mapa de Karnaugh para obtener la expresión simplificada:1. Agrupación vertical (columna $AB=01$): Se agrupa $\overline{A}B\overline{C}$ con $\overline{A}BC$.

2. Agrupación vertical (columna $AB=10$): Se agrupa $A\overline{B}\overline{C}$ con $A\overline{B}C$.

3. Agrupación horizontal (fila $C=1$): Se agrupa $\overline{A}\overline{B}C$ con $A\overline{B}C$.

La ecuación lógica simplificada es:

El circuito correspondiente se implementa utilizando puertas lógicas básicas (NOT, AND, OR):1. Dos puertas NOT para obtener $\overline{A}$ y $\overline{B}$.2. Tres puertas AND de dos entradas para obtener los términos $\overline{A}B$, $A\overline{B}$, y $\overline{B}C$.3. Una puerta OR de tres entradas para sumar los términos resultantes de las puertas AND, produciendo la salida S.

Diferencias entre circuitos lógicos combinacionales y secuenciales:Los circuitos lógicos combinacionales son aquellos en los que el valor de sus salidas en cualquier momento depende exclusivamente de los valores de sus entradas en ese mismo instante. No poseen elementos de memoria, por lo que su salida no está influenciada por estados previos. Su comportamiento se describe completamente mediante una función booleana o una tabla de la verdad. Ejemplos incluyen puertas lógicas (AND, OR, NOT), sumadores y multiplexores.Los circuitos lógicos secuenciales, por el contrario, son sistemas cuyas salidas dependen no solo de los valores actuales de sus entradas, sino también de la secuencia previa de entradas, es decir, de su estado interno pasado. Incorporan elementos de memoria (como biestables o flip-flops) que les permiten almacenar información, lo que introduce la capacidad de recordar estados anteriores. Su funcionamiento a menudo está sincronizado por una señal de reloj. Ejemplos incluyen contadores, registros y máquinas de estados.

La salida $S$ tomará el valor '$1$' siempre que la entrada $E_1$ esté activa ($E_1=1$), o bien cuando las entradas $E_2$ y $E_3$ se activen a la vez ($E_2=1$ Y $E_3=1$). En cualquier otro caso, la salida $S$ será '$0$'.