Sistemas automáticos — Tecnología e Ingeniería II PEvAU Madrid

Diagramas de bloques

Problema

2025 · Ordinaria · Suplente

5.2

Dada la función de transferencia $\frac{Y}{R} = A \cdot (B + C)$ , realiza las tareas que se indican a continuación.

a) Dibuje un diagrama de bloques equivalente la función de transferencia, utilizando un bloque por cada letra (

A, B, C

).b) Justifique si el sistema está en lazo cerrado o en lazo abierto.c) Dibuje un diagrama de bloques, con un solo bloque, equivalente a la función de transferencia.

Función de transferenciaDiagrama de bloquesSistemas de control

a)

El diagrama de bloques equivalente a la función de transferencia $Y/R = A \cdot (B + C)$ se construye de la siguiente manera:Datos: La función de transferencia global es la multiplicación de $A$ por la suma de $B$ y $C$ . Esto implica que el bloque $A$ está en serie con una combinación en paralelo de los bloques $B$ y $C$ .Fórmulas: Para bloques en serie, las funciones de transferencia se multiplican. Para bloques en paralelo, las funciones de transferencia se suman.Sustitución: La entrada $R$ alimenta al bloque $A$ . La salida de $A$ ( $R \cdot A$ ) se divide y alimenta a los bloques $B$ y $C$ en paralelo. Las salidas de $B$ ( $R \cdot A \cdot B$ ) y $C$ ( $R \cdot A \cdot C$ ) se suman para producir la salida $Y$ . De esta forma, $Y = (R \cdot A \cdot B) + (R \cdot A \cdot C) = R \cdot A \cdot (B+C)$ .Resultado: El diagrama de bloques se representa como:

R \longrightarrow \boxed{A} \longrightarrow \Bigg\{ \begin{array}{l} \longrightarrow \boxed{B} \longrightarrow \\ \longrightarrow \boxed{C} \longrightarrow \end{array} \Bigg\} \longrightarrow \sum \longrightarrow Y

b)

Justificación:Un sistema está en lazo cerrado si existe una trayectoria de realimentación desde la salida del sistema hacia su entrada, donde la señal de salida se utiliza para modificar o controlar la señal de entrada (generalmente mediante una comparación con una referencia). Un sistema en lazo abierto, por el contrario, no posee esta trayectoria de realimentación; la señal de salida no influye en la señal de entrada.La función de transferencia proporcionada, $Y/R = A \cdot (B + C)$ , así como el diagrama de bloques obtenido en el apartado a), muestran una relación directa entre la entrada $R$ y la salida $Y$ a través de una cadena de bloques en serie y paralelo, pero sin ningún camino que devuelva la señal de $Y$ o una parte de ella a la entrada $R$ para su comparación o corrección.Resultado: El sistema está en lazo abierto.

c)

Para obtener un diagrama de bloques con un solo bloque equivalente a la función de transferencia $Y/R = A \cdot (B + C)$ , se considera que la función de transferencia global es precisamente el contenido de ese único bloque.Datos: La función de transferencia del sistema es $G(s) = A \cdot (B + C)$ .Fórmulas: Para un sistema con un solo bloque, la función de transferencia de salida sobre entrada es igual a la función de transferencia del bloque.Sustitución: El bloque único debe encapsular la expresión $A \cdot (B+C)$ .Resultado: El diagrama de bloques equivalente con un solo bloque es:

R \longrightarrow \boxed{A \cdot (B+C)} \longrightarrow Y

T4: Sistemas automáticos

Diagramas de bloques

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

5.2

Dado el diagrama de bloques de la figura:

a) Obtenga la función de transferencia

Y/R

.b) Si la señal

R

de entrada toma el valor

1

y

P_1=P_3=1

¿qué valor tiene la función de transferencia

P_2

para que

Y

sea

1

?

Función de transferenciaLazo de controlSistemas automáticos

a)

Para obtener la función de transferencia $Y/R$ , se simplifica el diagrama de bloques por etapas.Primero, se reduce el lazo de realimentación negativa que incluye a $P_1$ y la realimentación unitaria. La función de transferencia de un lazo de realimentación negativa es $G/(1+GH)$ .

\text{Fórmulas:} \begin{aligned} G_{\text{lazo}} &= \frac{G}{1+GH} \quad (\text{para realimentación negativa}) \end{aligned}

\text{Sustitución:} \begin{aligned} G &= P_1 \\ H &= 1 \\ G_{\text{lazo}} &= \frac{P_1}{1+P_1 \cdot 1} = \frac{P_1}{1+P_1} \end{aligned} \text{Esta es la función de transferencia del lazo interno que incluye } P_1.

A continuación, la salida de este lazo $G_{\text{lazo}}$ está en serie con el bloque $P_3$ . La función de transferencia de bloques en serie es el producto de sus funciones individuales.

\text{Fórmulas:} \begin{aligned} G_{\text{serie}} &= G_1 \cdot G_2 \end{aligned}

\text{Sustitución:} \begin{aligned} G_{\text{path1}} &= G_{\text{lazo}} \cdot P_3 = \frac{P_1}{1+P_1} \cdot P_3 = \frac{P_1 P_3}{1+P_1} \end{aligned} \text{Esta es la función de transferencia de la rama inferior hasta el sumador final.}

Finalmente, la salida de $G_{\text{path1}}$ se suma con la salida del bloque $P_2$ (que está en paralelo con toda la rama inferior). La función de transferencia de bloques en paralelo es la suma de sus funciones individuales.

\text{Fórmulas:} \begin{aligned} G_{\text{paralelo}} &= G_A + G_B \end{aligned}

\text{Sustitución:} \begin{aligned} \frac{Y}{R} &= G_{\text{path1}} + P_2 \\ \frac{Y}{R} &= \frac{P_1 P_3}{1+P_1} + P_2 \\ \frac{Y}{R} &= \frac{P_1 P_3 + P_2(1+P_1)}{1+P_1} \\ \frac{Y}{R} &= \frac{P_1 P_3 + P_2 + P_1 P_2}{1+P_1} \end{aligned}

\text{Resultado:} \begin{aligned} \frac{Y}{R} = \frac{P_1 P_3 + P_2 + P_1 P_2}{1+P_1} \end{aligned}

b)

Se utiliza la función de transferencia obtenida en el apartado a) y se sustituyen los valores dados para despejar $P_2$ .

\text{Datos:} \begin{aligned} R &= 1 \\ P_1 &= 1 \\ P_3 &= 1 \\ Y &= 1 \end{aligned}

\text{Fórmulas:} \begin{aligned} \frac{Y}{R} = \frac{P_1 P_3 + P_2 + P_1 P_2}{1+P_1} \end{aligned}

\text{Sustitución:} \begin{aligned} \frac{1}{1} &= \frac{(1)(1) + P_2 + (1) P_2}{1+1} \\ 1 &= \frac{1 + P_2 + P_2}{2} \\ 1 &= \frac{1 + 2P_2}{2} \\ 2 \cdot 1 &= 1 + 2P_2 \\ 2 &= 1 + 2P_2 \\ 2 - 1 &= 2P_2 \\ 1 &= 2P_2 \\ P_2 &= \frac{1}{2} \end{aligned}

\text{Resultado:} \begin{aligned} P_2 = 0{,}5 \end{aligned}

T4: Sistemas automáticos

Diagramas de bloques

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

5.2

Cuestión 5.2. Dada la función de transferencia $\frac{Y}{R} = \frac{C \cdot P}{1 + C \cdot P}$ , realiza las tareas que se indican a continuación.

a) Dibuje un diagrama de bloques equivalente a la función de transferencia, utilizando un bloque por cada letra (C, P).b) Justifique si el sistema está en lazo cerrado o en lazo abierto.c) Dibuje un diagrama de bloques, con un solo bloque, equivalente a la función de transferencia.

Función de transferenciaLazo cerradoLazo abierto

a)

Dibujo del diagrama de bloques equivalente a la función de transferencia.Datos → Función de transferencia dada: $\frac{Y}{R} = \frac{C \cdot P}{1 + C \cdot P}$ .Fórmulas → La función de transferencia de un sistema en lazo cerrado con realimentación negativa es $G_{\text{lazo cerrado}} = \frac{G_{\text{directa}}}{1 + G_{\text{directa}} H}$ . Comparando con la expresión dada, se tiene que $G_{\text{directa}} = C \cdot P$ y $H = 1$ (realimentación unitaria).Sustitución → El sistema se compone de un punto de suma, el bloque $C$ , el bloque $P$ y una trayectoria de realimentación unitaria.Resultado → El diagrama de bloques se dibuja de la siguiente forma:1. Una señal de entrada $R(s)$ se aplica a un punto de suma.2. Una señal de realimentación se resta de $R(s)$ en el punto de suma. La salida del punto de suma es la señal de error $E(s) = R(s) - Y(s)$ .3. La señal de error $E(s)$ entra al bloque $C(s)$ .4. La salida del bloque $C(s)$ entra al bloque $P(s)$ .5. La salida del bloque $P(s)$ es la salida del sistema $Y(s)$ .6. La señal de salida $Y(s)$ se realimenta directamente (con ganancia unitaria) al punto de suma con un signo negativo.

b)

Justificación sobre si el sistema está en lazo cerrado o en lazo abierto.Datos → Función de transferencia dada: $\frac{Y}{R} = \frac{C \cdot P}{1 + C \cdot P}$ .Fórmulas → Un sistema en lazo cerrado con realimentación negativa tiene la forma general $\frac{G_{\text{directa}}}{1 + G_{\text{directa}} H}$ . Un sistema en lazo abierto tiene la forma $G_{\text{directa}}$ .Sustitución → La función de transferencia dada tiene un denominador con la estructura $1 + G_{\text{directa}} H$ , donde $G_{\text{directa}} = C \cdot P$ y $H = 1$ . Esta estructura es inherente a los sistemas de control realimentados (lazo cerrado).Resultado → El sistema está en lazo cerrado. Esto se debe a que la salida del sistema $Y$ es medida y realimentada para ser comparada con la entrada de referencia $R$ en un punto de suma. La diferencia entre estas señales (error) es utilizada para controlar el proceso, lo que permite corregir desviaciones y mantener el sistema cerca del valor deseado.

c)

Dibujo de un diagrama de bloques, con un solo bloque, equivalente a la función de transferencia.Datos → Función de transferencia dada: $\frac{Y}{R} = \frac{C \cdot P}{1 + C \cdot P}$ .Fórmulas → N/A.Sustitución → N/A.Resultado → El diagrama de bloques equivalente con un solo bloque es un bloque cuya entrada es $R(s)$ y cuya salida es $Y(s)$ , y en su interior se especifica la función de transferencia global del sistema.

R(s) \longrightarrow \boxed{\frac{C \cdot P}{1 + C \cdot P}} \longrightarrow Y(s)

T4: Sistemas automáticos

Diagramas de bloques

Problema

2024 · Ordinaria · Suplente

5.2

Observa el diagrama de bloques y realiza las tareas que se indican.

a) Justifique si el sistema está en lazo cerrado o en lazo abierto.b) Simplifique el diagrama para obtener uno equivalente con un solo bloque.c) ¿Cuál es la función de transferencia entre R y Y?

Lazo cerradoFunción de transferenciaSimplificación de bloques

a)

El sistema está en lazo cerrado. Se observa que la señal de salida ( $Y$ ) se realimenta hacia la entrada, donde se compara con la señal de referencia ( $R$ ) en el sumador (punto de comparación) para generar una señal de error. Esta realimentación negativa es característica de un sistema de control en lazo cerrado, lo que permite corregir desviaciones y mantener la salida deseada.

b)

Para simplificar el diagrama a un único bloque equivalente, se utiliza la fórmula de reducción de un sistema de realimentación negativa.Datos

La función de transferencia en el camino directo (adelante) es la serie de $C(s)$ y $G(s)$: $G_{\text{adelante}}(s) = C(s) \cdot G(s)

La función de transferencia en el camino de realimentación es unitaria: $H(s) = 1

Fórmulas

Para un sistema con realimentación negativa, la función de transferencia equivalente, $G_{\text{equivalente}}(s)$, se calcula como: $G_{\text{equivalente}}(s) = \dfrac{G_{\text{adelante}}(s)}{1 + G_{\text{adelante}}(s) \cdot H(s)}

Sustitución

Se sustituyen las expresiones de $G_{\text{adelante}}(s)$ y $H(s)$ en la fórmula: $G_{\text{equivalente}}(s) = \dfrac{C(s) \cdot G(s)}{1 + (C(s) \cdot G(s)) \cdot 1}

Resultado

G_{\text{equivalente}}(s) = \dfrac{C(s) \cdot G(s)}{1 + C(s) \cdot G(s)}

c)

La función de transferencia entre la entrada $R(s)$ y la salida $Y(s)$ es la función de transferencia equivalente del sistema en lazo cerrado, obtenida en el apartado b).Datos

La función de transferencia del sistema es $G_{\text{sistema}}(s) = \dfrac{Y(s)}{R(s)}

Fórmulas

La función de transferencia total del sistema con realimentación negativa es $G_{\text{sistema}}(s) = \dfrac{G_{\text{adelante}}(s)}{1 + G_{\text{adelante}}(s) \cdot H(s)}

Sustitución

Utilizando el resultado del apartado b): $\dfrac{Y(s)}{R(s)} = \dfrac{C(s) \cdot G(s)}{1 + C(s) \cdot G(s)}

Resultado

La función de transferencia entre $R(s)$ e $Y(s)$ es: $\dfrac{Y(s)}{R(s)} = \dfrac{C(s) \cdot G(s)}{1 + C(s) \cdot G(s)}

T4: Sistemas automáticos

Diagramas de bloques

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

10

Dado el diagrama de bloques de la figura:

a) Obtenga la función de transferencia

Y/R

.b) Si

P_1 = P_2 = 1

y la señal

R

de entrada toma el valor

1

, ¿qué valor tiene la función de transferencia

P_3

para que

Y

sea

1/4

?

Función de transferenciaDiagramas de bloquesSistemas de control

a)

Primero, se simplifica el bloque de la izquierda, que es un sistema de control realimentado negativamente con $P_1$ en la rama directa y $P_2$ en la rama de realimentación.

A continuación, se simplifica el bloque de la derecha, que es otro sistema de control realimentado negativamente con $P_3$ en la rama directa y realimentación unitaria ( $H = 1$ ). El input de este bloque es $U$ y el output es $Y$ .

Finalmente, la función de transferencia global $Y/R$ se obtiene multiplicando las funciones de transferencia de los dos bloques simplificados, ya que están en serie.

b)

T4: Sistemas automáticos

Control realimentado

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

10

Se desea construir un sistema de control realimentado sobre un proceso cuya función de transferencia es G. Para ello, se cierra el lazo de realimentación incluyendo un controlador C.

a) Identifique en la figura las siguientes señales: error, referencia, salida, señal de control.b) Calcule la función de transferencia entre 1 y 2.c) Calcule la función de transferencia entre 1 y 4.

Función de transferenciaLazo cerradoSeñal de control+1

a)

Identificación de señales:La señal 1 es la entrada de referencia ( $R(s)$ ).La señal 2 es la señal de error ( $E(s)$ ), resultado de la resta entre la referencia y la realimentación.La señal 3 es la señal de control ( $U(s)$ ), la salida del controlador ( $C(s)$ ) y la entrada al proceso ( $G(s)$ ).La señal 4 es la salida del sistema ( $Y(s)$ ).

b)

Cálculo de la función de transferencia entre 1 y 2 ( $E(s)/R(s)$ ).Datos

R(s)$ es la señal 1 (referencia).

E(s)

es la señal 2 (error).

Y(s)

es la señal 4 (salida).

H(s) = 1

(función de transferencia del lazo de realimentación).

Fórmulas

La señal de error se define como la referencia menos la señal de realimentación:

E(s) = R(s) - Y(s)H(s)

La salida del sistema es el producto de la función de transferencia del lazo directo y la señal de error:
$Y(s) = C(s)G(s)E(s)

Sustitución

\begin{gathered} Sustituimos $Y(s)$ en la expresión de $E(s)$, considerando $H(s)=1$: $E(s) = R(s) - (C(s)G(s)E(s)) \cdot 1 \\ E(s) = R(s) - C(s)G(s)E(s)$ Reorganizamos para despejar la relación $E(s)/R(s)$: $E(s) + C(s)G(s)E(s) = R(s) \\ E(s)(1 + C(s)G(s)) = R(s) \\ \dfrac{E(s)}{R(s)} = \dfrac{1}{1 + C(s)G(s)} \end{gathered}

Resultado

La función de transferencia entre la señal 1 (

R(s)

) y la señal 2 (

E(s)

) es:
$\dfrac{E(s)}{R(s)} = \dfrac{1}{1 + C(s)G(s)}

c)

Cálculo de la función de transferencia entre 1 y 4 ( $Y(s)/R(s)$ ).Datos

R(s)$ es la señal 1 (referencia).

Y(s)

es la señal 4 (salida).

G_{\text{lazo directo}}(s) = C(s)G(s)

(función de transferencia en la rama directa).

H(s) = 1

(función de transferencia del lazo de realimentación).

Fórmulas

Para un sistema de control realimentado negativo, la función de transferencia global es:
$\dfrac{Y(s)}{R(s)} = \dfrac{G_{\text{lazo directo}}(s)}{1 + G_{\text{lazo directo}}(s)H(s)}

Sustitución

\begin{gathered} Sustituimos $G_{\text{lazo directo}}(s) = C(s)G(s)$ y $H(s)=1$ en la fórmula general: $\dfrac{Y(s)}{R(s)} = \dfrac{C(s)G(s)}{1 + C(s)G(s) \cdot 1} \\ \dfrac{Y(s)}{R(s)} = \dfrac{C(s)G(s)}{1 + C(s)G(s)} \end{gathered}

Resultado

La función de transferencia entre la señal 1 (

R(s)

) y la señal 4 (

Y(s)

) es:
$\dfrac{Y(s)}{R(s)} = \dfrac{C(s)G(s)}{1 + C(s)G(s)}

T4: Sistemas automáticos

Control de sistemas

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

10

Dado el diagrama de bloques de la figura:

a) Obtenga la función de transferencia

Y/R

.b) Si la señal

R

de entrada toma el valor

1, P_2=0,5

y

P_3=1

¿cuál debería ser la función de transferencia

P_1

para que

Y

sea

1

?

Diagrama de bloquesFunción de transferencia

a)

Para obtener la función de transferencia $Y/R$ , se simplifica el diagrama de bloques por etapas.Primero, se considera el lazo de realimentación negativa que incluye a $P_1$ y $P_3$ . La salida de este lazo se define como $Y_{\text{lazo}}$ . El bloque de lazo abierto es $P_1$ y el de realimentación es $P_3$ .

La señal de entrada al bloque $P_3$ es la diferencia entre la salida de $P_1$ y la salida de $P_3$ . Sea $E = P_1 R - Y_{P3}$ , donde $Y_{P3}$ es la salida de $P_3$ . Entonces $Y_{P3} = P_3 E = P_3 (P_1 R - Y_{P3})$ .

La salida final $Y$ es la suma de la salida de $P_3$ y la salida de $P_2$ (que es $P_2 R$ ).

b)

Se utilizan los valores dados para la entrada $R$ , la salida $Y$ y las funciones de transferencia $P_2$ y $P_3$ .

T4: Sistemas automáticos

Diagramas de bloques y control

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

5.2

BLOQUE 5. SISTEMAS INFORMÁTICOS EMERGENTES Y SISTEMAS AUTOMÁTICOS

Observa el diagrama de bloques y realiza las tareas que se indican.

a) Justifique si el sistema está en lazo cerrado o en lazo abierto.b) Simplifique el diagrama para obtener uno equivalente con un solo bloque.c) ¿Cuál es la función de transferencia entre R e Y?

Lazo cerradoFunción de transferenciaÁlgebra de bloques

a)

Justifique si el sistema está en lazo cerrado o en lazo abierto.El sistema está en lazo cerrado. Se observa una trayectoria de realimentación que conecta la salida $(Y)$ con la entrada, específicamente con el sumador donde se compara con la referencia $(R)$ . La existencia de esta señal de realimentación (en este caso, negativa) es la característica definitoria de un sistema de control en lazo cerrado.

b)

Simplifique el diagrama para obtener uno equivalente con un solo bloque.El diagrama representa un sistema de control con realimentación negativa unitaria, donde los bloques $C$ y $G$ están en serie en el camino directo.Datos

Función de transferencia en el camino directo: $G_{\text{directo}} = C \cdot G

Función de transferencia en el camino de realimentación: $H = 1 \quad\text{(realimentación unitaria negativa)}

Fórmulas

La función de transferencia global $(T) \quad\text{para un sistema con realimentación negativa es:}

T = \dfrac{G_{\text{directo}}}{1 + G_{\text{directo}} \cdot H}

Sustitución

T = \dfrac{C \cdot G}{1 + (C \cdot G) \cdot 1}

Resultado

El bloque equivalente es $T = \dfrac{C \cdot G}{1 + C \cdot G}

c)

¿Cuál es la función de transferencia entre R e Y? La función de transferencia entre la entrada $R$ y la salida $Y$ , denotada como $\dfrac{Y(s)}{R(s)}$ , es la función de transferencia global del sistema en lazo cerrado, obtenida en el apartado b).Datos

Función de transferencia en el camino directo: $G_{\text{directo}} = C \cdot G

Función de transferencia en el camino de realimentación: $H = 1

Fórmulas

La función de transferencia entre la entrada y la salida de un sistema con realimentación negativa es:

\dfrac{Y(s)}{R(s)} = \dfrac{G_{\text{directo}}}{1 + G_{\text{directo}} \cdot H}

Sustitución

\dfrac{Y(s)}{R(s)} = \dfrac{C \cdot G}{1 + (C \cdot G) \cdot 1}

Resultado

\dfrac{Y(s)}{R(s)} = \dfrac{C \cdot G}{1 + C \cdot G}