T4: Sistemas automáticos · Control realimentado — TECNOLOGIA E INGENIERIA II PEvAU Madrid 2024

Control realimentado

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

Se desea construir un sistema de control realimentado sobre un proceso cuya función de transferencia es G. Para ello, se cierra el lazo de realimentación incluyendo un controlador C.

a) Identifique en la figura las siguientes señales: error, referencia, salida, señal de control.b) Calcule la función de transferencia entre 1 y 2.c) Calcule la función de transferencia entre 1 y 4.

Función de transferenciaLazo cerradoSeñal de control+1

Identificación de señales:La señal 1 es la entrada de referencia ( $R(s)$ ).La señal 2 es la señal de error ( $E(s)$ ), resultado de la resta entre la referencia y la realimentación.La señal 3 es la señal de control ( $U(s)$ ), la salida del controlador ( $C(s)$ ) y la entrada al proceso ( $G(s)$ ).La señal 4 es la salida del sistema ( $Y(s)$ ).

Cálculo de la función de transferencia entre 1 y 2 ( $E(s)/R(s)$ ).Datos

R(s)$ es la señal 1 (referencia).

E(s)

es la señal 2 (error).

Y(s)

es la señal 4 (salida).

H(s) = 1

(función de transferencia del lazo de realimentación).

Fórmulas

La señal de error se define como la referencia menos la señal de realimentación:

E(s) = R(s) - Y(s)H(s)

La salida del sistema es el producto de la función de transferencia del lazo directo y la señal de error:
$Y(s) = C(s)G(s)E(s)

Sustitución

\begin{gathered} Sustituimos $Y(s)$ en la expresión de $E(s)$, considerando $H(s)=1$: $E(s) = R(s) - (C(s)G(s)E(s)) \cdot 1 \\ E(s) = R(s) - C(s)G(s)E(s)$ Reorganizamos para despejar la relación $E(s)/R(s)$: $E(s) + C(s)G(s)E(s) = R(s) \\ E(s)(1 + C(s)G(s)) = R(s) \\ \dfrac{E(s)}{R(s)} = \dfrac{1}{1 + C(s)G(s)} \end{gathered}

Resultado

La función de transferencia entre la señal 1 (

R(s)

) y la señal 2 (

E(s)

) es:
$\dfrac{E(s)}{R(s)} = \dfrac{1}{1 + C(s)G(s)}

Cálculo de la función de transferencia entre 1 y 4 ( $Y(s)/R(s)$ ).Datos

R(s)$ es la señal 1 (referencia).

Y(s)

es la señal 4 (salida).

G_{\text{lazo directo}}(s) = C(s)G(s)

(función de transferencia en la rama directa).

H(s) = 1

(función de transferencia del lazo de realimentación).

Fórmulas

Para un sistema de control realimentado negativo, la función de transferencia global es:
$\dfrac{Y(s)}{R(s)} = \dfrac{G_{\text{lazo directo}}(s)}{1 + G_{\text{lazo directo}}(s)H(s)}

Sustitución

\begin{gathered} Sustituimos $G_{\text{lazo directo}}(s) = C(s)G(s)$ y $H(s)=1$ en la fórmula general: $\dfrac{Y(s)}{R(s)} = \dfrac{C(s)G(s)}{1 + C(s)G(s) \cdot 1} \\ \dfrac{Y(s)}{R(s)} = \dfrac{C(s)G(s)}{1 + C(s)G(s)} \end{gathered}

Resultado

La función de transferencia entre la señal 1 (

R(s)

) y la señal 4 (

Y(s)

) es:
$\dfrac{Y(s)}{R(s)} = \dfrac{C(s)G(s)}{1 + C(s)G(s)}