T4: Sistemas automáticos · Diagramas de bloques — TECNOLOGIA E INGENIERIA II PEvAU Madrid 2025

T4: Sistemas automáticos

Diagramas de bloques

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

5.2

Dado el diagrama de bloques de la figura:

a) Obtenga la función de transferencia

Y/R

.b) Si la señal

R

de entrada toma el valor

1

P_1=P_3=1

¿qué valor tiene la función de transferencia

P_2

para que

Y

sea

1

Función de transferenciaLazo de controlSistemas automáticos

Para obtener la función de transferencia $Y/R$ , se simplifica el diagrama de bloques por etapas.Primero, se reduce el lazo de realimentación negativa que incluye a $P_1$ y la realimentación unitaria. La función de transferencia de un lazo de realimentación negativa es $G/(1+GH)$ .

\text{Fórmulas:} \begin{aligned} G_{\text{lazo}} &= \frac{G}{1+GH} \quad (\text{para realimentación negativa}) \end{aligned}

\text{Sustitución:} \begin{aligned} G &= P_1 \\ H &= 1 \\ G_{\text{lazo}} &= \frac{P_1}{1+P_1 \cdot 1} = \frac{P_1}{1+P_1} \end{aligned} \text{Esta es la función de transferencia del lazo interno que incluye } P_1.

A continuación, la salida de este lazo $G_{\text{lazo}}$ está en serie con el bloque $P_3$ . La función de transferencia de bloques en serie es el producto de sus funciones individuales.

\text{Fórmulas:} \begin{aligned} G_{\text{serie}} &= G_1 \cdot G_2 \end{aligned}

\text{Sustitución:} \begin{aligned} G_{\text{path1}} &= G_{\text{lazo}} \cdot P_3 = \frac{P_1}{1+P_1} \cdot P_3 = \frac{P_1 P_3}{1+P_1} \end{aligned} \text{Esta es la función de transferencia de la rama inferior hasta el sumador final.}

Finalmente, la salida de $G_{\text{path1}}$ se suma con la salida del bloque $P_2$ (que está en paralelo con toda la rama inferior). La función de transferencia de bloques en paralelo es la suma de sus funciones individuales.

\text{Fórmulas:} \begin{aligned} G_{\text{paralelo}} &= G_A + G_B \end{aligned}

\text{Sustitución:} \begin{aligned} \frac{Y}{R} &= G_{\text{path1}} + P_2 \\ \frac{Y}{R} &= \frac{P_1 P_3}{1+P_1} + P_2 \\ \frac{Y}{R} &= \frac{P_1 P_3 + P_2(1+P_1)}{1+P_1} \\ \frac{Y}{R} &= \frac{P_1 P_3 + P_2 + P_1 P_2}{1+P_1} \end{aligned}

\text{Resultado:} \begin{aligned} \frac{Y}{R} = \frac{P_1 P_3 + P_2 + P_1 P_2}{1+P_1} \end{aligned}

Se utiliza la función de transferencia obtenida en el apartado a) y se sustituyen los valores dados para despejar $P_2$ .

\text{Datos:} \begin{aligned} R &= 1 \\ P_1 &= 1 \\ P_3 &= 1 \\ Y &= 1 \end{aligned}

\text{Fórmulas:} \begin{aligned} \frac{Y}{R} = \frac{P_1 P_3 + P_2 + P_1 P_2}{1+P_1} \end{aligned}

\text{Sustitución:} \begin{aligned} \frac{1}{1} &= \frac{(1)(1) + P_2 + (1) P_2}{1+1} \\ 1 &= \frac{1 + P_2 + P_2}{2} \\ 1 &= \frac{1 + 2P_2}{2} \\ 2 \cdot 1 &= 1 + 2P_2 \\ 2 &= 1 + 2P_2 \\ 2 - 1 &= 2P_2 \\ 1 &= 2P_2 \\ P_2 &= \frac{1}{2} \end{aligned}

\text{Resultado:} \begin{aligned} P_2 = 0{,}5 \end{aligned}