Dado el foco F de una parábola, un punto P de la misma y la recta T tangente en dicho punto, se pide:
1. Determinar la directriz D, el eje E y el vértice V de la cónica.2. Dibujar la parábola.
Para determinar la directriz, el eje y el vértice, se siguen los siguientes pasos basándose en las propiedades de la parábola, utilizando los elementos dados (foco F, punto P y tangente T en P):
a) Reflejar el foco F sobre la recta tangente T. Para ello, se traza una recta perpendicular a la tangente T que pase por el foco F. Sea M el punto de intersección de esta perpendicular con la tangente T. Se prolonga esta recta más allá de M y se marca el punto F' de tal manera que . El punto F' es el simétrico de F respecto a T.b) Determinar la directriz D. Una propiedad fundamental de la parábola es que el simétrico del foco respecto a cualquier tangente de la parábola se encuentra sobre la directriz. Por lo tanto, el punto F' (obtenido en el paso anterior) pertenece a la directriz D. Además, el segmento que une el punto de tangencia P con el punto F' es perpendicular a la directriz. Así, la directriz D es la recta que pasa por F' y es perpendicular al segmento PF'.c) Determinar el eje E. El eje de la parábola es la recta que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz D.d) Determinar el vértice V. El vértice V de la parábola es el punto medio del segmento FQ, donde Q es el punto de intersección del eje E con la directriz D. Para encontrar V, se localiza Q (intersección de E y D) y luego se halla el punto medio entre F y Q.2. Dibujar la parábola.Una vez obtenidos la directriz D, el eje E y el foco F, se pueden determinar puntos adicionales de la parábola para trazarla con precisión:
a) Se toman varios puntos sobre la directriz D.b) Desde cada punto , se traza una recta perpendicular a la directriz D. Estas rectas serán paralelas al eje de la parábola.c) Con centro en el foco F y radio igual a la distancia del punto a la directriz (es decir, la distancia , donde es la proyección de sobre el eje), se trazan arcos que cortarán las rectas perpendiculares trazadas en el paso anterior. Los puntos de intersección son puntos de la parábola, ya que cumplen la propiedad de que su distancia al foco es igual a su distancia a la directriz ().d) Se unen el vértice V (que ya es un punto de la parábola) y los puntos obtenidos (incluyendo el punto P dado inicialmente) con una curva suave para trazar la parábola completa.Dadas la traza horizontal y la traza vertical abatida sobre el plano horizontal de proyección de un plano P, así como las proyecciones verticales de los puntos A y O contenidos en P, se pide:
1. Dibujar la traza vertical de P.2. Determinar las proyecciones horizontales de A y O.3. Representar las proyecciones del hexágono regular ABCDEF contenido en P, sabiendo que O es su centro.
A partir de la imagen se identifican los datos del problema:
- (traza horizontal de P): recta dada en el plano horizontal.- (traza vertical abatida): traza vertical de P abatida sobre el plano horizontal, formando un ángulo con en el punto de intersección LT (línea de tierra).- y : proyecciones verticales de los puntos A y O, ambos contenidos en el plano P.La traza vertical es la recta intersección del plano P con el plano vertical de proyección. Para obtenerla:
1a) Se localiza el punto de intersección de la traza horizontal con la línea de tierra (LT). Ese punto es el punto de fuga común .1b) La traza vertical abatida forma un ángulo con en ese punto. Para desabatir , se levanta una perpendicular a LT desde el pie del abatimiento. La traza vertical queda determinada por ese punto sobre LT y la dirección perpendicular al plano horizontal, es decir: es la recta que pasa por el punto y es perpendicular a LT (vertical en el alzado). Se traza como recta vertical en el plano vertical de proyección pasando por dicho punto.Para obtener la proyección horizontal de un punto contenido en el plano P, se utiliza la pertenencia al plano:
2a) Punto A: Se tiene (proyección vertical). Desde se baja la línea de proyectante vertical (perpendicular a LT) hasta cruzar la traza horizontal del plano — no directamente, sino usando la recta del plano que pasa por A. Se traza por una recta paralela a LT hasta cortar ; ese punto pertenece a . Luego, por ese punto se traza una recta en el plano horizontal: la recta del plano que une el punto de con el correspondiente punto de . La proyectante vertical de corta a esa recta del plano en la planta, dando (proyección horizontal de A).2b) Punto O: Se repite el mismo procedimiento con . Se traza desde horizontal hasta , se une ese punto de con el punto correspondiente de , y la proyectante de da en planta.Procedimiento sistemático resumido: dado un punto contenido en P con proyección vertical conocida, su proyección horizontal se halla trazando la recta del plano P que contiene a (usando trazas y ), y encontrando el punto donde la proyectante vertical de intercepta dicha recta en planta.
El hexágono ABCDEF está contenido en el plano oblicuo P y A es uno de sus vértices, O su centro. Para representarlo:
3a) Abatimiento del plano P: Se abate el plano P sobre el plano horizontal usando como eje la traza . En el abatimiento, los puntos del plano se proyectan sobre como centro de rotación. El punto abatido se obtiene girando alrededor de : la distancia de a (medida en el plano) se conserva. Análogamente se abate .3b) En el abatimiento, con centro y radio , se traza la circunferencia circumscrita al hexágono. Se divide en 6 partes iguales de obteniendo los 6 vértices abatidos: .3c) Desabatimiento: Cada vértice abatido se desabate: se traza desde la perpendicular a , obteniendo el pie sobre . La proyección horizontal del vértice está sobre esa perpendicular a la misma distancia (distancia al eje en planta). La proyección vertical se obtiene subiendo la proyectante vertical desde hasta la recta del plano en alzado.3d) Se unen los seis pares obtenidos para obtener las proyecciones horizontal y vertical del hexágono ABCDEF en el sistema diédrico. Las proyecciones serán figuras oblicuas (no regulares) ya que el plano P es oblicuo a los planos de proyección.1. Traza : levantar perpendicular a LT en el punto , obteniendo la traza vertical del plano P en el alzado.2. Proyecciones de A y O: usar el método de la recta del plano para, a partir de y , obtener y en planta.3. Hexágono: abatir P sobre el plano horizontal con eje , construir el hexágono regular con centro y vértice , luego desabatir los seis vértices para obtener sus proyecciones horizontal y vertical. Unir los vértices en cada proyección para representar el hexágono en sistema diédrico.
Dados alzado, planta y perfil de una pieza a escala 1:3, según el método de representación del primer diedro de proyección, se pide:
1. Representar su perspectiva caballera a escala 1:1, según los ejes dados, aplicando un coeficiente de reducción de 1/2 y dibujando las aristas ocultas.2. Indicar el valor de la cifra de cota marcada con la letra C: ____ mm.
Para resolver el ejercicio, primero debemos interpretar las vistas ortogonales (alzado, planta y perfil) para reconstruir la forma tridimensional de la pieza. Las vistas están dadas a escala 1:3, lo que significa que las dimensiones reales de la pieza son 3 veces mayores que las medidas en el dibujo. La perspectiva caballera se pide a escala 1:1, por lo que las dimensiones que se dibujarán serán las dimensiones reales. Se aplicará un coeficiente de reducción de 1/2 en el eje de profundidad (eje Y) y se dibujarán las aristas ocultas.Asumiremos que cada cuadrado de la cuadrícula en las vistas ortogonales tiene una longitud de lado de en el dibujo. Por lo tanto, cada 'unidad de bloque' en las vistas ortogonales representa una dimensión real de .
1. Representar su perspectiva caballera a escala 1:1, según los ejes dados, aplicando un coeficiente de reducción de 1/2 y dibujando las aristas ocultas.A partir de la interpretación de las tres vistas, la pieza puede describirse como la intersección de un volumen general con las restricciones de altura y profundidad. Considerando un sistema de coordenadas (X, Y, Z) donde X es el ancho (horizontal, alzado), Y es la profundidad (hacia adentro, planta) y Z es la altura (vertical, alzado y perfil), la pieza tiene unas dimensiones máximas de 3 unidades de bloque en X, 3 unidades de bloque en Y (según el perfil) y 3 unidades de bloque en Z.La forma de la pieza se define mediante las siguientes regiones de volumen (en 'unidades de bloque' de las vistas ortográficas):
* Región A (parte alta izquierda): , , . Esta es una parte en forma de cuña que se eleva hasta 3 unidades en la parte trasera () y desciende hasta unidades en la parte delantera (). Corresponde a la parte izquierda del alzado y la parte posterior-izquierda de la planta. * Región B (parte central baja): , , . Esta es una parte rectangular baja. Corresponde a la parte central-baja del alzado y la parte central-posterior de la planta. * Región C (parte derecha baja y más ancha): , , . Esta es otra parte rectangular baja, pero con mayor profundidad. Corresponde a la parte derecha-baja del alzado y la parte derecha (más ancha) de la planta.Para dibujar la perspectiva caballera, se seguirán los siguientes pasos:
1. Establecer los ejes: Dibujar el eje X horizontal, el eje Z vertical y el eje Y inclinado 45 grados respecto al eje X, según se indica en el ejercicio. El origen (0,0,0) será el punto inferior izquierdo trasero. 2. Escalar dimensiones: Cada unidad de bloque de las vistas ortogonales se dibujará con una longitud real de en la perspectiva. Sea la 'unidad de dibujo'. 3. Aplicar coeficiente de reducción: Las medidas a lo largo del eje X (ancho) y Z (alto) se dibujan a escala real (factor 1). Las medidas a lo largo del eje Y (profundidad) se dibujan con un coeficiente de reducción de . Por lo tanto, una dimensión de unidades de bloque en X o Z se dibuja como . Una dimensión de unidades de bloque en Y se dibuja como . 4. Dibujar los vértices principales: Los vértices clave de la pieza (expresados en unidades de dibujo ) son:Estos vértices definen las aristas de la pieza. Las superficies planas serán uniones de estos vértices. La superficie inclinada es una cara de la región A.
5. Dibujar aristas visibles: Conectar los vértices para formar las caras visibles de la pieza. Estas aristas se dibujarán con línea continua gruesa. 6. Dibujar aristas ocultas: Las aristas que no son visibles desde el punto de vista de la perspectiva (normalmente las que están 'detrás' o 'debajo' de otras partes de la pieza) se dibujarán con línea discontinua (trazos cortos).Las aristas ocultas incluirán principalmente las caras y aristas posteriores, y las transiciones internas de la pieza que queden obstruidas por otras partes del volumen. Por ejemplo, las aristas del plano Z=0 en la parte trasera (e.g., ) o las aristas verticales traseras (e.g., ) serán ocultas.
2. Indicar el valor de la cifra de cota marcada con la letra C: ____ mm.La cota C se encuentra en la vista de Perfil. Representa la altura de la pieza en su parte más a la derecha (es decir, la parte más delantera en el eje Y) y en la parte más a la derecha del alzado (es decir, la parte con mayor valor de X).Observando la vista de Perfil, la cota C abarca 1 unidad de bloque en altura. Como se estableció que 1 unidad de bloque en las vistas ortogonales representa una dimensión real de (debido a la escala 1:3 y la asunción de por cuadrado en el dibujo), el valor de C es:
Valor de la cifra de cota marcada con la letra C: .
Dada la perspectiva isométrica de una pieza a escala 1:1, se pide:
1. Representar alzado y vista lateral izquierda a escala 1:1, según el método de representación del primer diedro de proyección.2. Acotar las vistas según normas.Todos los taladros son pasantes. La pieza presenta dos planos de simetría.
La solución a este apartado implica la generación de dibujos técnicos a escala 1:1. Dado el formato textual de la respuesta, se describe a continuación el contenido y las características que deberían tener estas representaciones gráficas.
El alzado se obtiene mirando la pieza en la dirección indicada por la flecha en la perspectiva isométrica. Debería incluir los siguientes elementos principales:La base inferior, representada como un bloque rectangular, desde el cual descienden las dos 'patas' que terminan en curvaturas en sus extremos inferiores. La anchura total de esta vista se representaría, por ejemplo, en 120 mm.El cuerpo central superior, de forma rectangular, se apoya sobre la base. Su altura se representaría, por ejemplo, en 15 mm sobre la base y su anchura coincidiría con la de la base.El cilindro superior se vería como un rectángulo, proyectándose desde la parte central superior del cuerpo. Su diámetro se representaría, por ejemplo, en mm. El taladro pasante del cilindro se dibujaría con líneas ocultas (trazo discontinuo) como un rectángulo interior, con un diámetro de, por ejemplo, mm.La nervadura (o costilla) de refuerzo, que une el cuerpo central con el cilindro superior, se representaría como un perfil triangular o trapezoidal inclinado, conectando la base del cilindro con la parte superior del cuerpo central.Los taladros pasantes de las patas inferiores se verían como líneas ocultas (rectángulos de trazo discontinuo) centrados en la parte inferior de cada pata, con un diámetro de, por ejemplo, mm.Se dibujarían líneas de eje (trazo largo y punto) para el cilindro superior y su taladro, así como para los taladros de las patas inferiores y los centros de las curvaturas, reflejando la simetría de la pieza.
La vista lateral izquierda se obtiene mirando la pieza desde el lado izquierdo y se representa a la derecha del alzado, según el método del primer diedro de proyección. Debería incluir los siguientes elementos principales:La pata izquierda, representada como un perfil rectangular con su extremo inferior curvado. El grosor de la pata se representaría, por ejemplo, en 20 mm. El taladro pasante de esta pata se vería como un círculo completo con su línea de eje, con un diámetro de mm.La parte central del cuerpo se vería como un rectángulo de una profundidad de, por ejemplo, 40 mm y una altura combinada de la base y la parte superior de las patas (por ejemplo, 15 mm de base + 40 mm de pata, sumando 55 mm).El cilindro superior se vería como un círculo de, por ejemplo, mm de diámetro. Su taladro pasante central se representaría como un círculo concéntrico de, por ejemplo, mm de diámetro. Ambos llevarían líneas de eje.La nervadura de refuerzo se vería como un rectángulo delgado de, por ejemplo, 10 mm de grosor, que se extendería desde la parte inferior del cilindro hasta la parte superior del cuerpo central.La pata derecha y su taladro, al estar ocultos por la parte central del cuerpo desde esta vista, se representarían con líneas ocultas (trazo discontinuo).Se dibujarían líneas de eje para el cilindro superior y sus taladros, así como para los taladros de ambas patas (el visible y el oculto).
2. Acotación de las vistas según normas.Las vistas se acotarán siguiendo las normas UNE/ISO de acotación, incluyendo todas las dimensiones necesarias para la fabricación completa de la pieza. Es fundamental evitar la redundancia de cotas y colocarlas de manera clara, legible y ordenada, preferentemente fuera de los contornos de la pieza. Se utilizarán líneas de cota, líneas auxiliares de cota, flechas de cota y valores numéricos. Los símbolos de diámetro () y radio (R) se aplicarán donde corresponda. A modo ilustrativo, se considerarían las siguientes dimensiones clave (los valores son ejemplos):
Dimensiones en el Alzado:Longitud total de la pieza: 120 mm.Ancho de las 'patas' inferiores: 20 mm cada una.Distancia entre los centros (o ejes de simetría) de los taladros de las patas: 80 mm.Altura desde la parte inferior de las patas hasta la parte superior del cuerpo base: 55 mm.Altura total de la pieza (desde la base de las patas hasta la parte superior del cilindro): 90 mm.Diámetro del taladro pasante del cilindro superior: mm.Diámetro de los taladros pasantes de las patas: mm.
Dimensiones en la Vista Lateral Izquierda:Profundidad total de la pieza: 40 mm.Grosor del cuerpo base central: 15 mm.Grosor de las 'patas': 20 mm.Radio de la curvatura inferior de las patas: R20 mm.Diámetro exterior del cilindro superior: mm.Posición del eje del cilindro superior respecto a la parte superior del cuerpo base: 35 mm.Ubicación de los centros de los taladros de las patas (especificando distancias desde bordes o ejes de referencia para determinar su posición en profundidad y altura).Adicionalmente, se incluirá el símbolo de proyección del primer diedro en la zona inferior derecha del formato de dibujo, para indicar el sistema de representación utilizado de acuerdo con la norma.
Dados los arcos de circunferencia M y M' correspondientes a las circunferencias focales de una elipse, se pide:
1. Determinar los focos F y F', el centro O, y los extremos del eje mayor AB y menor CD.2. Dibujar la elipse.
Para determinar los elementos de la elipse, se siguen los siguientes pasos de construcción: a) Determinación de los focos F y F': Los arcos dados M y M' corresponden a las circunferencias focales de la elipse. Una propiedad clave de estas circunferencias es que su centro es uno de los focos de la elipse y su radio es igual a la longitud del eje mayor, .Para encontrar el centro de una circunferencia dado un arco, se procede de la siguiente manera:1. Sobre el arco M, selecciona tres puntos arbitrarios .2. Dibuja las cuerdas y .3. Traza las mediatrices de cada una de estas cuerdas. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por su punto medio.4. El punto de intersección de estas dos mediatrices es el centro del arco M, que corresponde al foco de la elipse.5. Repite el mismo procedimiento para el arco M' para determinar el foco . Los focos y son los centros de los arcos de circunferencia dados. b) Determinación del centro O: El centro de la elipse se encuentra en el punto medio del segmento que une los dos focos y . Traza el segmento y determina su punto medio, el cual será . c) Determinación de los extremos del eje mayor AB: La longitud del eje mayor, , es el radio de las circunferencias focales. Mide la distancia desde el foco (o ) a cualquier punto del arco M (o M'). Esta distancia medida es . Por tanto, la semilongitud del eje mayor es .El eje mayor se sitúa sobre la recta que contiene a los focos y . Desde el centro , mide una distancia sobre la recta en ambas direcciones. Los puntos resultantes son los vértices y del eje mayor. d) Determinación de los extremos del eje menor CD: El eje menor es perpendicular al eje mayor y pasa por el centro . Dibuja una recta perpendicular a que pase por .La distancia de un foco a cualquiera de los extremos del eje menor es igual a la semilongitud del eje mayor, . Con centro en (o ) y radio , traza arcos que corten la recta perpendicular a que pasa por . Los puntos de intersección son los vértices y del eje menor.
2. Dibujar la elipse.Una vez determinados los focos y , y la longitud del eje mayor , la elipse puede ser trazada mediante el método del jardinero (o del cordel):1. Fija los extremos de un cordel de longitud en los focos y .2. Con la ayuda de un lápiz, mantén el cordel tenso y deslízalo alrededor de los focos. La trayectoria del lápiz formará la elipse deseada, ya que la suma de las distancias del lápiz a cada foco () siempre será igual a la longitud del cordel (). El trazado deberá pasar por los puntos previamente calculados.
Dada la proyección horizontal del segmento AB y las trazas del plano P, se pide:
1. Dibujar las proyecciones del tetraedro regular ABCD situado en el primer diedro de proyección, sabiendo que la cara ABC está contenida en el plano horizontal de proyección.2. Trazar las proyecciones de la sección que origina P en el poliedro, así como su verdadera magnitud.
Dado que la cara ABC está contenida en el plano horizontal de proyección, las proyecciones verticales de los vértices A, B y C (, , ) se encontrarán sobre la línea de tierra (LT). La proyección horizontal del segmento AB () representa la verdadera magnitud del lado () del tetraedro. a) Construcción de la cara ABC: 1. Mide la longitud del segmento para obtener el lado del tetraedro.2. Con centro en y y radio , traza arcos que se intersecan para localizar la proyección horizontal del vértice C. Elige el punto de forma que el tetraedro se sitúe en el primer diedro.3. Las proyecciones horizontales de la base son , , . Las proyecciones verticales de estos puntos, , , , se sitúan sobre la LT. b) Localización del vértice D: 1. La proyección horizontal del vértice D es el baricentro (o circuncentro, ya que es equilátero) del triángulo . Encuentra intersecando dos medianas del triángulo .2. La altura de un tetraedro regular de lado se calcula mediante la fórmula .
3. Traza una línea de referencia desde perpendicular a la LT. Sobre esta línea, y a una distancia desde la LT, se encuentra la proyección vertical de D. (Se sitúa por encima de la LT, ya que el tetraedro está en el primer diedro). c) Dibujo de las proyecciones del tetraedro: 1. Proyección horizontal: Dibuja el triángulo y las aristas , , . Todas estas aristas son visibles.2. Proyección vertical: Las aristas de la base , , coinciden con la LT. Dibuja las aristas , , . La visibilidad de estas aristas dependerá de su posición relativa; generalmente, las que parten de los vértices más cercanos al observador son visibles. Asumimos que está por encima de , por lo que las aristas que unen con serán visibles, a menos que se tapen entre sí.
2. Trazar las proyecciones de la sección que origina P en el poliedro, así como su verdadera magnitud.La sección será un polígono cuyos vértices son los puntos de intersección del plano P con las aristas del tetraedro. a) Intersección del plano P con las aristas de la base (ABC): Dado que la cara ABC está en el plano horizontal de proyección, los puntos de intersección de P con las aristas de la base (AB, BC, CA) se encuentran sobre la traza horizontal () del plano P.1. Localiza , la intersección de con la arista . Su proyección horizontal está en y en . Su proyección vertical está en (cota 0).2. Localiza , la intersección de con la arista . Su proyección horizontal está en y en . Su proyección vertical está en (cota 0). b) Intersección del plano P con las aristas del vértice D (AD, BD, CD): Para cada arista (por ejemplo, AD), se utiliza el método de un plano auxiliar proyectante para encontrar su intersección con el plano P.1. Para la arista AD (punto ): i. Traza un plano auxiliar proyectante horizontal que contenga la arista AD. La traza horizontal de () es la línea . La traza vertical de () es una línea perpendicular a la LT que pasa por el punto donde interseca la LT (la traza horizontal de la recta AD). ii. Halla la línea de intersección entre el plano y el plano P. La traza horizontal es la intersección de y . La traza vertical es la intersección de y . Las proyecciones de la recta son y . (Donde está en LT debajo de , y en LT debajo de ) iii. El punto de intersección es el punto donde la arista AD se interseca con la línea . Su proyección horizontal es la intersección de con la proyección horizontal de . Su proyección vertical es la intersección de con la proyección vertical de .2. Para la arista CD (punto ): Repite el mismo procedimiento que para la arista AD, utilizando un plano auxiliar proyectante horizontal que contenga la arista CD. Localiza el punto (). c) Dibujo de las proyecciones de la sección: Conecta los puntos de intersección en orden para formar el polígono de la sección. En este caso, la sección será un cuadrilátero (los puntos se deben conectar según las caras del tetraedro). Los segmentos de la sección son (en la cara ABC), (en la cara BCD), (en la cara CAD) y (en la cara ABD). Dibuja sus proyecciones y , teniendo en cuenta la visibilidad en cada proyección. d) Verdadera Magnitud (VM) de la sección: Para hallar la verdadera magnitud de la sección, se abate el plano P sobre el plano horizontal de proyección (), utilizando como charnela (eje de abatimiento).1. Para cada vértice de la sección ():
Dados alzado, planta y perfil de una pieza a escala 2:3, según el método de representación del primer diedro de proyección, se pide:
1. Representar su perspectiva isométrica a escala 1:1, según los ejes dados.2. Indicar el valor de la cifra de cota marcada con la letra C: ____ mm.
Primero, se deben determinar las dimensiones reales de la pieza a partir de las vistas ortogonales y la escala dada.
1. Representación de la perspectiva isométrica a escala 1:1.Para obtener las dimensiones reales de la pieza, se mide el lado de un cuadrado unitario en las vistas ortogonales. Asumiendo que cada cuadrado unitario de la cuadrícula en el dibujo representa (medida común en estos ejercicios):
La escala de representación es , lo que significa que la dimensión en el dibujo es de la dimensión real. Por lo tanto, la dimensión real es de la dimensión en el dibujo.
Aplicando esto a la dimensión unitaria:
Las vistas ortogonales muestran que la pieza tiene una longitud, anchura y altura de unidades. Por lo tanto, las dimensiones reales de la pieza son:
La pieza tiene una forma de 'L'. Esto se logra eliminando un bloque de (ancho profundidad altura) de la esquina superior derecha-trasera de un cubo de . Utilizando el origen de coordenadas en la esquina frontal-inferior-izquierda (X a la derecha, Y hacia atrás/profundidad, Z hacia arriba):El bloque de a eliminar es el comprendido entre las coordenadas , y .Adicionalmente, hay un corte diagonal. La interpretación de las vistas (alzado y planta) indica una superficie inclinada que pasa por los siguientes puntos:
Estos puntos definen un plano de corte con ecuación . Este plano corta el material en la región donde , y , eliminando la parte que está 'por encima' de dicho plano (). El segmento de la línea discontinua en el alzado (a y de a ) corresponde al borde superior de la parte horizontal de la 'L' en la parte trasera de la pieza (para ), la cual queda oculta por la rampa frontal.Para dibujar la perspectiva isométrica a escala 1:1, se deben seguir los siguientes pasos:
a) Dibujar los ejes X, Y, Z dados, con ángulos de entre ellos.b) A partir del origen (o un punto de referencia, por ejemplo, la esquina frontal-inferior-izquierda de la pieza), medir a lo largo del eje X (hacia la derecha), a lo largo del eje Y (hacia atrás/izquierda) y a lo largo del eje Z (hacia arriba) para establecer la caja envolvente de la pieza.c) Dibujar la forma de 'L' base, que se obtiene de un cubo de al quitar el bloque de de la esquina superior derecha-trasera. Esto significa que la parte izquierda de la 'L' tiene de ancho y de alto, y la parte derecha tiene de altura y de profundidad.d) Identificar los puntos que definen el corte diagonal: , , , . Estos puntos forman una superficie trapezoidal inclinada que sustituye a una parte del bloque original. Dibujar esta superficie y las nuevas aristas que se generan: a , a , a , y a .e) Las aristas restantes de la pieza se conectan a estos puntos y a la forma de 'L' base. Asegúrese de que las aristas ocultas se representen con líneas discontinuas (aunque la instrucción no lo pide explícitamente, es la práctica estándar).2. Indicar el valor de la cifra de cota marcada con la letra C: ____ mm.La cota 'C' en la vista en planta indica la longitud total de la pieza en el eje X (su anchura). Según las vistas, esta dimensión abarca unidades de cuadrícula.
Aplicando la escala de para obtener la dimensión real:
El valor de la cifra de cota marcada con la letra C es: .
Dados planta y perfil de una pieza a escala 1:2, según el método de representación del primer diedro de proyección, se pide:
1. Dibujar el corte A-A a escala 1:2.2. Acotar según normas.
Dada la circunferencia C de centro O y los puntos A y B, se pide:
1. Determinar el centro radical entre la circunferencia C y las circunferencias que pasan por A y B.2. Trazar las circunferencias tangentes a C que contienen a A y B, determinando geométricamente sus centros y puntos de tangencia.
Las circunferencias que pasan por los puntos A y B forman un haz de circunferencias cuyo eje radical es la recta que pasa por A y B.Para determinar el centro radical entre la circunferencia C y este haz de circunferencias, necesitamos la intersección de la recta radical del haz (la recta ) y la recta radical de la circunferencia C con una circunferencia auxiliar () cualquiera que pase por A y B.1. Trazar la recta que une los puntos A y B. Esta es la recta radical de todas las circunferencias que pasan por A y B.2. Trazar la mediatriz del segmento . Cualquier punto de esta mediatriz es el centro de una circunferencia que pasa por A y B.3. Elegir un punto en la mediatriz de y dibujar una circunferencia auxiliar con centro y radio . Se debe asegurar que esta circunferencia interseque a la circunferencia dada C en dos puntos, e .4. Trazar la recta que pasa por los puntos de intersección e . Esta recta es el eje radical de la circunferencia C y la circunferencia auxiliar .5. El centro radical buscado es el punto de intersección de la recta (recta ) y la recta (recta ). Cualquier tangente desde a cualquiera de las circunferencias del problema tendrá la misma longitud.
2. Trazar las circunferencias tangentes a C que contienen a A y B, determinando geométricamente sus centros y puntos de tangencia.Las circunferencias buscadas son tangentes a C y pasan por A y B. El centro radical tiene la misma potencia respecto a C y a las circunferencias solución.1. Unir el centro O de la circunferencia C con el centro radical . Este segmento es el diámetro de una circunferencia auxiliar que nos ayudará a encontrar los puntos de tangencia.2. Hallar el punto medio del segmento . Trazar una circunferencia auxiliar con centro y radio .3. Esta circunferencia auxiliar cortará a la circunferencia C en dos puntos, y . Estos son los puntos de tangencia de las circunferencias solución con C.4. Los centros de las circunferencias solución deben cumplir dos condiciones: a) Estar en la mediatriz del segmento (ya que las circunferencias pasan por A y B). b) Estar alineados con el centro O de la circunferencia C y el punto de tangencia (es decir, en las rectas y ).5. El primer centro de una circunferencia solución, , se encuentra en la intersección de la mediatriz de y la recta . La circunferencia tendrá centro y radio (o , o ). Verificamos que es igual a y .6. El segundo centro de una circunferencia solución, , se encuentra en la intersección de la mediatriz de y la recta . La circunferencia tendrá centro y radio (o , o ). Verificamos que es igual a y .
Dadas las trazas del plano P y la proyección horizontal de la diagonal AC de un cuadrado ABCD contenido en el plano P, se pide:
1. Representar las proyecciones del hexaedro regular ABCDEFGH situado en el primer diedro de proyección.2. Hallar las proyecciones de la sección que origina P en el hexaedro, así como su verdadera magnitud.3. ¿Cómo se denomina el tipo de plano P?
Dado que el plano P se presenta con su traza vertical oblicua y su traza horizontal perpendicular a la Línea de Tierra (LT), se trata de un plano proyectante vertical. La diagonal de un cuadrado está contenida en este plano. Asumimos que es una de las caras del hexaedro (la base inferior).
a) Determinación de las proyecciones verticales de los puntos A y C ( y ).Dado que el plano P es proyectante vertical, las proyecciones verticales de todos los puntos contenidos en él deben situarse sobre su traza vertical . Por lo tanto, desde las proyecciones horizontales y , se trazan líneas de referencia verticales (perpendiculares a la LT) hasta intersectar . Estas intersecciones definen y .
b) Abatimiento del plano P para determinar la verdadera magnitud del cuadrado ABCD.Para obtener la verdadera magnitud del cuadrado , se abate el plano P sobre el plano vertical de proyección, tomando la traza como charnela. En este abatimiento:- Las proyecciones verticales y de los puntos A y C, al estar sobre la charnela , permanecen fijas.- Para abatir el punto A a : Desde , se traza una línea perpendicular a . Sobre esta línea, se lleva la medida del alejamiento del punto A (distancia de la proyección horizontal a la LT). Esto nos da la posición de en verdadera magnitud.- Para abatir el punto C a : De forma análoga, desde , se traza una línea perpendicular a . Sobre esta línea, se lleva la medida del alejamiento del punto C (distancia de la proyección horizontal a la LT). Esto nos da la posición de en verdadera magnitud.El segmento es la verdadera magnitud de la diagonal del cuadrado.
c) Construcción del cuadrado en verdadera magnitud.Sobre la diagonal , se construye el cuadrado . Para ello:- Se halla el punto medio de .- Se traza una línea perpendicular a que pase por .- La longitud del lado del cuadrado se calcula como . La mitad de la otra diagonal mide . Se marcan estas longitudes a ambos lados de sobre la perpendicular trazada. Estos puntos son y .- Se unen los puntos , , , para obtener el cuadrado en verdadera magnitud.
d) Desabatimiento de los puntos y para obtener sus proyecciones y .- Para desabatir : Desde , se traza una línea perpendicular a . La intersección de esta línea con nos da la proyección vertical . La distancia de a es el alejamiento del punto B. Para obtener la proyección horizontal , se traza una línea de referencia vertical desde hasta la LT, y desde el punto de intersección con la LT, se mide la distancia del alejamiento de B (distancia ) perpendicularmente a la LT (hacia abajo, en el primer diedro). Este punto es .- Se repite el proceso para desabatir y obtener sus proyecciones y .Con esto, se tienen las proyecciones horizontales () y verticales () del cuadrado .
e) Construcción de las proyecciones del hexaedro regular ABCDEFGH.El cuadrado es una de las caras del hexaedro. Las aristas verticales del hexaedro () son perpendiculares al plano P y tienen una longitud igual al lado del cuadrado.- Las líneas perpendiculares a un plano proyectante vertical (P) son líneas frontales. Su proyección horizontal es paralela a LT, y su proyección vertical es perpendicular a . Además, su proyección vertical se presenta en verdadera magnitud.- Para obtener (proyección vertical de E): Desde , se traza una línea perpendicular a . Sobre esta línea, se lleva la longitud desde . Este punto es . Los demás puntos () se obtienen de manera análoga desde .- Para obtener (proyección horizontal de E): Desde , se traza una línea de referencia vertical. Desde , se traza una línea paralela a LT. La intersección de estas dos líneas es . Los demás puntos () se obtienen de manera análoga desde y .- Finalmente, se unen las proyecciones para formar el hexaedro: las caras y , y las aristas verticales . Se determina la visibilidad de cada arista en ambas proyecciones (las aristas más cercanas al observador o con mayor alejamiento/cota son visibles).
Dada la formulación del problema, donde el cuadrado está contenido en el plano y se nos pide representar el hexaedro utilizándolo, la interpretación más directa es que el cuadrado es una de las caras del hexaedro. Por lo tanto, el plano es el plano que contiene esa cara.
a) Proyecciones de la sección.Las proyecciones de la sección son las propias proyecciones del cuadrado : (proyección horizontal) y (proyección vertical). Estas ya han sido obtenidas en el punto 1.d.
b) Verdadera magnitud de la sección.La verdadera magnitud de la sección es la verdadera magnitud del cuadrado , que se obtuvo mediante el abatimiento en el paso 1.c como el cuadrado .
El plano P, cuyas trazas son la vertical oblicua a la Línea de Tierra (LT) y la horizontal perpendicular a la LT (la línea vertical que parte de la intersección de con la LT y se extiende hacia abajo), se denomina Plano Proyectante Vertical.
Dados alzado, planta y perfil de una pieza a escala 1:2, según el método de representación del primer diedro de proyección, se pide:
1. Representar la perspectiva caballera de la pieza a escala 1:1, según los ejes dados, aplicando un coeficiente de reducción de 1/2 y dibujando las aristas ocultas.2. Indicar el valor de la cifra de cota marcada con la letra C: ____ mm.
Para representar la perspectiva caballera de la pieza a escala 1:1, primero debemos determinar las dimensiones reales de la pieza a partir de las vistas dadas, que están a escala 1:2. La perspectiva se dibujará según los ejes proporcionados (eje X horizontal hacia la derecha, eje Z vertical hacia arriba, y eje Y a respecto a X o hacia la parte trasera izquierda desde la horizontal). Se aplicará un coeficiente de reducción de en el eje de profundidad (eje Y).A partir de las vistas de alzado, planta y perfil, la pieza tiene una forma exterior de cubo. Si se mide la cota 'C' en el dibujo (que se asume tener unidades de cuadrícula) y se considera una unidad de cuadrícula de (tamaño común en exámenes para el uso de la regla), la longitud 'C' en el dibujo es de . Dada la escala 1:2, las dimensiones reales de la pieza son el doble de las medidas en el dibujo. Por lo tanto, la pieza es un cubo de .A continuación, se identifican las características clave de la pieza mediante la interpretación de las vistas:
* Dimensiones del bloque base: La pieza se encaja en un cubo de de lado (L). * Forma Cruciforme (Cruz): Las líneas sólidas en la Planta (, ) y la línea sólida en el Alzado () indican que la pieza tiene una forma `cruciforme` (en forma de cruz) en sus vistas superior y frontal. Esto significa que la pieza es un cuerpo sólido en forma de cruz de . El cuerpo central mide , y las extensiones (brazos de la cruz) de de ancho se extienden hasta el borde de de largo. * Agujero Pasante Horizontal: La línea horizontal discontinua (oculta) a en el Alzado y en el Perfil indica un agujero o ranura pasante que atraviesa la pieza de adelante hacia atrás (a lo largo del eje Y). Dada su posición central y la forma cruciforme del bloque, se interpreta como una ranura pasante cuadrada de (altura ancho), centrada en el cuerpo de la pieza (su eje está en , ). Se dibujarán las dos aristas ocultas de la ranura (superior e inferior) con líneas discontinuas, asumiendo que la única línea discontinua dada en los planos es una simplificación de representación. * Cortes en la Cara Derecha (X=L): El Perfil muestra dos cortes en la cara derecha de la pieza (cara ): * Chaflán: En la esquina superior-frontal-derecha, hay un chaflán que va desde el punto hasta y hasta . Esto corresponde a un corte triangular de de longitud en las aristas de esa esquina. * Redondeado (Filete): En la esquina superior-posterior-derecha, hay un redondeado. Se trata de un arco de radio que conecta los puntos y . El centro de este arco se situaría en .Pasos para dibujar la perspectiva caballera (descripción de la construcción):
1. Dibujar los ejes: Dibuje el eje X horizontal, el eje Z vertical y el eje Y inclinado a del eje X positivo (o desde la horizontal). El punto de inicio de la pieza (origen) se sitúa en la intersección de los tres ejes. 2. Construir el cuerpo cruciforme: * Dibuje el bloque central de la cruz: desde el origen, mida en X, en Y (reducidos a en la perspectiva) y levante en Z. Esto define el núcleo de . * Añada las extensiones (brazos) de la cruz para formar la base completa de . Extienda las aristas del bloque central en X e Y hasta alcanzar los de longitud total, manteniendo la altura de . Las medidas a lo largo de X y Z se dibujan a escala 1:1, mientras que las medidas a lo largo de Y se reducen a la mitad (escala 1:2). 3. Dibujar el agujero pasante horizontal: * Localice el centro de la pieza: , (reducido a ), . * Desde este centro, dibuje el contorno cuadrado de la ranura de (20 mm arriba/abajo, 20 mm izquierda/derecha) en el plano XZ. Las aristas visibles de la ranura (en la cara frontal y posterior) se dibujan con línea continua. * Dibuje las aristas ocultas de la ranura (las que están dentro del cuerpo de la pieza o en la parte posterior) con líneas discontinuas, respetando la reducción de en el eje Y. 4. Aplicar los cortes en la cara derecha (X=80 mm): * Chaflán: Localice el punto superior-frontal-derecho . Mida hacia la izquierda en Y (que serán en la perspectiva) y hacia abajo en Z. Conecte estos tres puntos para formar la superficie del chaflán. * Redondeado: Localice el punto superior-posterior-derecho . El centro del arco será . Dibuje un arco de radio (que se distorsiona en la perspectiva, en Y y en Z) que conecte los puntos y , eliminando el material de la esquina. 5. Dibujar aristas ocultas: Asegúrese de que todas las aristas que no sean directamente visibles desde el punto de vista elegido estén representadas con líneas discontinuas.2. Indicar el valor de la cifra de cota marcada con la letra CLa cota 'C' en el alzado representa la longitud total de la pieza. Las vistas están dibujadas a escala 1:2. Si medimos 'C' en la imagen adjunta, esta abarca la longitud de 4 subdivisiones de cuadrícula. Asumiendo que cada subdivisión de cuadrícula en el dibujo representa (una medida estándar que permite el uso de la regla en un examen), entonces el valor de 'C' en el dibujo es de:
Dado que la escala es 1:2, el valor real de la cota 'C' es el doble de la medida en el dibujo:
Por lo tanto, la cifra de cota C es:
C: 80 mmDada la perspectiva isométrica de una pieza a escala 1:1, se pide:
1. Representar alzado y planta a escala 1:1, según el método de representación del primer diedro de proyección.2. Acotar las vistas según normas.
Dado que no es posible generar imágenes o dibujos técnicos directamente, la resolución se presentará como una descripción detallada de cómo construir las vistas solicitadas y su acotación, asumiendo unas dimensiones relativas coherentes para la pieza mostrada en la perspectiva isométrica. El estudiante debe realizar el dibujo siguiendo estas indicaciones.
1) Representar alzado y planta a escala 1:1, según el método de representación del primer diedro de proyección.Para el método del primer diedro, la planta se coloca debajo del alzado.
Se observará la pieza de frente, donde se encuentra la superficie semicilíndrica.
a) Base principal: Un rectángulo de anchura total y una altura hasta la parte superior de la base antes del bloque superior. La parte inferior central tendrá una forma semicilíndrica (en la vista isométrica se ve como una curva). En el alzado, esta parte inferior se verá como un borde horizontal con una muesca semicircular que define la base de la pieza. Alternativamente, si la parte inferior de la base principal es un cilindro completo visto desde la perspectiva, entonces el borde inferior visible será curvo.b) Orificio pasante: El orificio cilíndrico que atraviesa la pieza se representará con dos líneas discontinuas verticales, situadas simétricamente en el centro del semicírculo inferior. Estas líneas se extenderán desde la parte inferior de la base hasta la parte superior del orificio.c) Bloque superior: Un rectángulo de anchura (menor que ) y altura , situado sobre la base principal y centrado o ligeramente desplazado hacia la derecha, según la perspectiva.d) Ala triangular: Un triángulo isósceles o rectángulo (parece un triángulo rectángulo) de base en la parte superior izquierda de la base principal y una altura que se extiende por encima del bloque superior. Se verá su contorno exterior.e) Líneas ocultas: Las aristas interiores de la muesca semicilíndrica si no son cubiertas por el orificio, las aristas traseras del orificio si no son coincidentes con las frontales.Se observará la pieza desde arriba.
a) Base principal: Un rectángulo de anchura total y profundidad . En el lado frontal (el que corresponde a la parte inferior del alzado), se verá la forma semicircular que define la muesca delantera. Esta muesca se dibujará como un semicírculo en la parte frontal de este rectángulo base.b) Orificio pasante: Un círculo en el centro del semicírculo de la base, cuyo diámetro coincide con las líneas discontinuas del alzado. Este círculo será una línea continua.c) Bloque superior: Un rectángulo de anchura y profundidad (menor que ), situado sobre la base principal y con la misma posición relativa que en el alzado. Se verá como una forma rectangular con bordes continuos.d) Ala triangular: Se verá como un rectángulo que sobresale de la base principal en el lado izquierdo. Sus aristas se representarán con líneas continuas si son visibles desde arriba, o discontinuas si están ocultas por el bloque superior.e) Líneas ocultas: Las aristas inferiores del bloque superior si no son coincidentes con las de la base. Cualquier arista del ala triangular que quede por debajo del plano de proyección principal.2) Acotar las vistas según normas.La acotación debe seguir las normas UNE (o ISO equivalentes) para dibujo técnico. Se evitará la redundancia y se situarán las cotas donde la característica sea más clara. Todas las cotas se representarán a escala 1:1.
Se utilizarán líneas de cota paralelas a la dimensión acotada, líneas de extensión desde las aristas de la pieza y flechas o trazos oblicuos para indicar los límites de la cota. Los valores numéricos se colocarán sobre la línea de cota o en el centro de ella, legiblemente.
Dada la figura representada y la homología definida por el eje E y los pares de puntos homólogos A-A' y B-B', se pide:
1. Determinar el centro de homología.2. Representar la figura homóloga de la dada.
El centro de homología se determina trazando las rectas que unen los pares de puntos homólogos. Se traza la recta que une con y la recta que une con . La intersección de estas dos rectas es el centro de homología .
2. Representar la figura homóloga de la dada.Para obtener la figura homóloga, se deben hallar los puntos homólogos de todos los vértices de la figura original. Se utilizan las propiedades fundamentales de la homología:• Un punto , su homólogo y el centro de homología son siempre colineales.• Una recta , su homóloga y su punto de intersección con el eje de homología son siempre concurrentes.Procedimiento para determinar el homólogo de cualquier vértice de la figura (conocidos ):1. Se traza la recta que une el vértice con el centro de homología . El punto homólogo se encontrará sobre esta recta .2. Se selecciona un segmento de la figura original que tenga a como uno de sus extremos (por ejemplo, el segmento ). Se prolonga la recta que contiene a este segmento hasta que corte al eje de homología . Este punto de corte es el punto de intersección .3. Se traza la recta que une el punto con el punto homólogo del otro extremo del segmento, . Esta recta es la homóloga del segmento .4. El punto es la intersección de la recta (trazada en el paso 1) y la recta (trazada en el paso 3).Aplicando este procedimiento a todos los vértices de la figura original (identificados en orden, por ejemplo, , , ..., ):• Para el punto , su homólogo es . Para el punto , su homólogo es .• Para cada uno de los demás vértices de la figura, se aplica el procedimiento descrito. Por ejemplo, para un vértice : 1. Se une con . Se obtiene la recta . 2. Se elige un segmento que parta de , por ejemplo, . Se prolonga la recta hasta cortar al eje en . 3. Si ya es conocido (o ya ha sido hallado), se une con . Se obtiene la recta . 4. será la intersección de y .Una vez hallados todos los vértices homólogos, se unen en el mismo orden en que estaban unidos en la figura original para obtener la figura homóloga final.
Dada la proyección horizontal de una pirámide regular de base hexagonal apoyada en el plano horizontal de proyección, se pide:
1. Representar la proyección vertical de la pirámide, sabiendo que tiene una altura de {{altura_piramide}} mm y que está situada en el primer diedro de proyección.2. Dibujar las proyecciones de la sección que origina en la pirámide el plano P, que contiene a la línea de tierra y pasa por el punto medio de la altura del poliedro.
Consideramos la altura de la pirámide como . La pirámide está apoyada en el plano horizontal de proyección, lo que significa que su base se encuentra en el plano horizontal () y sus vértices basales se proyectan sobre la Línea de Tierra (LT) en la proyección vertical.
1. Representación de la proyección vertical de la pirámide.Para representar la proyección vertical de la pirámide, seguiremos los siguientes pasos: a) En la proyección horizontal (dada en la imagen), identificamos los vértices de la base hexagonal () y el vértice de la pirámide (), que coincide con el centro de la base. b) Trazamos líneas de proyección verticales (perpendiculares a la Línea de Tierra, LT) desde cada vértice de la base () hasta la LT. Los puntos resultantes sobre la LT serán las proyecciones verticales de los vértices de la base (). Como la base está en el plano horizontal, estos puntos tienen cota cero. c) Trazamos una línea de proyección vertical desde el vértice (centro de la base) hasta la LT. Llamamos a este punto . Sobre esta línea de proyección, medimos la altura de la pirámide () desde hacia arriba. Este punto será la proyección vertical del vértice (). d) Unimos con cada uno de los vértices de la base en la LT (). Estas líneas representarán las proyecciones verticales de las aristas laterales de la pirámide. e) Establecemos la visibilidad. Las aristas cuya proyección horizontal está más cerca del observador (más alejadas de la LT en la proyección horizontal) serán visibles en la proyección vertical. Las aristas posteriores serán ocultas y se representarán con línea discontinua. Generalmente, las aristas que forman el contorno aparente son visibles.
2. Dibujo de las proyecciones de la sección que origina el plano P.El plano P contiene a la Línea de Tierra (LT) y pasa por el punto medio de la altura del poliedro. a) Definición del plano P:Sea el punto medio de la altura de la pirámide. Su proyección horizontal coincide con el centro de la base . Su proyección vertical se encuentra sobre la línea de proyección de (que pasa por ) a una altura de desde la LT.Un plano que contiene la LT y pasa por un punto (no en la LT) se define por sus trazas y , que se cortan en un punto de la LT. En este caso, asumimos que el punto de corte de las trazas sobre la LT es (la proyección de sobre LT). Por lo tanto:• La traza horizontal del plano () es la línea que une () con . Esta línea es perpendicular a la LT y pasa por el centro de la base.• La traza vertical del plano () es la línea que une con . Esta línea será inclinada con respecto a la LT. b) Cálculo de los puntos de la sección:La sección que produce el plano P en la pirámide es un polígono cuyos vértices son los puntos de intersección del plano con las aristas de la pirámide (tanto de la base como las laterales).• Intersección con la base de la pirámide: La base de la pirámide está en el plano horizontal. La intersección del plano P con la base se produce a lo largo de su traza horizontal . La línea (perpendicular a LT y pasando por ) cortará dos de los lados de la base hexagonal. Identificamos estos dos puntos en la proyección horizontal (digamos y ). Sus proyecciones verticales ( y ) se encontrarán en la LT, ya que pertenecen a la base de la pirámide.• Intersección con las aristas laterales de la pirámide: El plano P cortará las seis aristas laterales (). Para encontrar cada punto de intersección de una arista con el plano P, se procede de la siguiente manera:1. Consideramos la proyección vertical de la arista . El punto de intersección de esta arista con la traza vertical del plano es la proyección vertical de un vértice de la sección.2. Para encontrar la proyección horizontal de este punto, trazamos una línea de proyección horizontal desde hasta cortar la proyección horizontal de la arista . Así obtenemos .Repetimos este proceso para las seis aristas laterales, obteniendo seis puntos de la sección ( en HP y en VP). c) Dibujo de la sección:• Proyección horizontal de la sección: Unimos los puntos obtenidos en la proyección horizontal () en el orden adecuado para formar el polígono de la sección. Se debe prestar atención a la visibilidad de los segmentos de la sección.• Proyección vertical de la sección: Unimos los puntos obtenidos en la proyección vertical () en el orden adecuado. Al igual que en la proyección horizontal, se debe determinar la visibilidad de los segmentos de la sección.
Dados alzado, planta y perfil de una pieza a escala {{escala_vistas}}, según el método de representación del primer diedro de proyección, se pide:
1. Representar su perspectiva isométrica a escala {{escala_isometrica_dibujo}}, según los ejes dados.2. Indicar el valor de la cifra de cota marcada con la letra C: ____ mm.
Para representar la perspectiva isométrica y determinar la cota C, primero analizaremos las tres vistas ortográficas (alzado, planta y perfil) para extraer las dimensiones y la geometría de la pieza. Consideraremos que cada cuadrado de la cuadrícula en las vistas ortográficas representa una 'unidad de medida' nominal.Las dimensiones máximas de la pieza, contadas en unidades de la cuadrícula, son:
Longitud (eje X, ancho en alzado y planta): 4 unidadesProfundidad (eje Y, profundidad en perfil y planta): 4 unidadesAltura (eje Z, altura en alzado y perfil): 3 unidadesA partir de las vistas, la pieza puede describirse mediante las siguientes alturas (coordenada Z) para las distintas secciones en planta (coordenadas X, Y):
Región (X=0..1, Y=0..1): Altura máxima Z=1.Región (X=0..1, Y=1..2): Altura máxima Z=2.Región (X=0..1, Y=2..4): Esta región presenta una superficie inclinada (rampa) en el plano YZ. Va desde Z=3 en Y=2 hasta Z=1 en Y=4. La ecuación de esta superficie es para y .Región (X=1..2, Y=0..1): Altura máxima Z=1.Región (X=1..2, Y=1..2): Altura máxima Z=2.Región (X=1..2, Y=2..3): Altura máxima Z=2 (aunque la rampa en Y=2 empieza en Z=3, el alzado en esta X limita la altura a Z=2).Región (X=1..2, Y=3..4): Altura máxima Z=1 (limitada por el alzado en esta X y el final de la rampa en Y=4, que coincide en Z=1).Región (X=2..4, Y=0..4): Altura máxima Z=1.1. Representación de la perspectiva isométrica a escala {{escala_isometrica_dibujo}}.Para la representación isométrica, se utilizarán los ejes dados (eje Z vertical, ejes X e Y a de la horizontal) y se aplicará la escala {{escala_isometrica_dibujo}}. Asumiremos que las "unidades de medida" de la cuadrícula de las vistas se trasladan directamente a las dimensiones base del objeto en el dibujo isométrico, y luego se aplica la escala de dibujo.Procedimiento de dibujo:
a) Establecer los ejes isométricos: Dibujar el eje Z vertical, y los ejes X e Y formando entre sí (o con respecto a la horizontal, partiendo del eje Z).b) Dibujar la base: La pieza tiene una base de 4 unidades de largo (X) por 4 unidades de profundidad (Y) y 1 unidad de altura (Z). Dibujar un paralelepípedo base de unidades.c) Construir las secciones elevadas: * Desde la posición (X=0, Y=0, Z=1) hasta (X=1, Y=1, Z=1) la pieza permanece a altura 1. * Elevar la sección (X=0..1, Y=1..2) desde Z=1 hasta Z=2, formando un bloque de unidades sobre la base. * Elevar la sección (X=1..2, Y=0..1) desde Z=1 hasta Z=2, formando un bloque de unidades sobre la base. * Elevar la sección (X=1..2, Y=1..2) desde Z=1 hasta Z=2, formando un bloque de unidades sobre la base, adyacente a la anterior. * Elevar la sección (X=1..2, Y=2..3) desde Z=1 hasta Z=2, formando un bloque de unidades sobre la base, continuando la forma. * Desde (X=0, Y=2, Z=2) hasta (X=1, Y=3, Z=3), elevar un bloque hasta Z=3. Este es el punto más alto del lado izquierdo. Los vértices de esta sección son (0,2,2)-(1,2,2)-(1,3,2)-(0,3,2).d) Aplicar la superficie inclinada (rampa): En la región (X=0..1, Y=2..4), la superficie superior es una rampa. Conectar los puntos (X=0, Y=2, Z=3) y (X=1, Y=2, Z=3) con los puntos (X=0, Y=4, Z=1) y (X=1, Y=4, Z=1). Esta superficie es un trapecio inclinado. Dibujar las aristas correspondientes para definir esta pendiente. Esto implica que los puntos (X=0, Y=3, Z=2) y (X=1, Y=3, Z=2) estarán en el medio de la rampa.e) Eliminar líneas ocultas: Una vez dibujadas todas las aristas, borrar aquellas que no serían visibles desde la perspectiva isométrica.f) Aplicar la escala de dibujo: Multiplicar todas las longitudes en el dibujo por el factor de escala `escala_isometrica_dibujo`. Si `escala_isometrica_dibujo` es `A:B`, entonces el factor es `A/B`. Por ejemplo, si es `1:2`, se divide por 2; si es `2:1`, se multiplica por 2.2. Indicar el valor de la cifra de cota marcada con la letra C: ____ mm.La cota C representa la profundidad total de la pieza. Observando el perfil (vista superior derecha) o la planta (vista inferior derecha), la dimensión C abarca 4 unidades de la cuadrícula.Para obtener el valor en milímetros, se suele asumir que cada unidad de la cuadrícula en un dibujo técnico a escala 1:1 representa una medida estándar (frecuentemente 10 mm) en la realidad. Luego, se aplica la escala real del dibujo (`escala_vistas`).
La escala de las vistas es `{{escala_vistas}}`. Sea esta escala `X:Y` (donde `X` es la medida en el dibujo y `Y` es la medida real). El factor de escala es . Para convertir de las unidades del dibujo a la realidad, se usa el factor (inverso de la escala).
Dado que `escala_vistas` es `{{escala_vistas}}`:Para `{{escala_vistas}}`, si `X:Y` es `{{escala_vistas}}`, entonces el valor de C es:
Sustituyendo el valor de `{{escala_vistas}}` (por ejemplo, si fuera "1:1" sería ; si fuera "1:2" sería ; si fuera "2:1" sería ):
Para el valor de la escala `{{escala_vistas}}`:Si la escala es "1:1", entonces , y .Si la escala es "1:2", entonces , y .Si la escala es "2:1", entonces , y .Por favor, sustituya `X` e `Y` por los valores numéricos correspondientes a la escala `{{escala_vistas}}` para obtener el resultado final.
Dada la perspectiva isométrica de una pieza a escala {{escala_perspectiva}}, se pide:
1. Representar alzado y planta a escala {{escala_vistas_dibujo}}, según el método de representación del primer diedro de proyección.2. Acotar las vistas según normas.El orificio es pasante. La pieza presenta un plano de simetría.
Para la representación de las vistas, se sigue el método del primer diedro (europeo), donde la planta se sitúa debajo del alzado. Dada la naturaleza textual de esta resolución, se describirán las vistas detalladamente. La escala {{escala_vistas_dibujo}} se aplicaría al dibujar las dimensiones obtenidas de la perspectiva a escala {{escala_perspectiva}}. a) Alzado (Vista Frontal):El alzado mostrará la cara frontal de la pieza, indicada por la flecha. La silueta principal será un rectángulo de anchura 'A' y altura 'H'. En la parte superior y centrada, se verá un semicírculo con radio 'R_U' que representa el vaciado pasante en forma de 'U'. En la base, centrado horizontalmente, se proyectará un bloque de menor altura 'H_B' y la misma anchura 'A'. Dentro de este bloque inferior, se representará el orificio pasante circular mediante dos líneas discontinuas verticales (ocultas), de diámetro , centradas en la anchura del bloque y extendiéndose desde la base del bloque hasta su parte superior. Se incluirán los ejes de simetría vertical para el semicírculo y para el orificio oculto. b) Planta (Vista Superior):La planta se situará debajo del alzado. La vista superior de la pieza principal será un rectángulo de anchura 'A' y profundidad 'P'. El vaciado en 'U' se verá como un rectángulo de anchura 'A_U' (igual al diámetro del semicírculo) y profundidad 'P', con un arco semicircular en uno de sus extremos (el correspondiente a la parte trasera de la pieza, si el vaciado se abre hacia el frente). Este corte se representará con líneas visibles. El bloque inferior se verá como un rectángulo de anchura 'A' y profundidad 'P_B', situado en la parte frontal de la pieza principal. Centrado en la superficie de este bloque inferior, se representará el orificio pasante como un círculo de diámetro . Se incluirán los ejes de simetría horizontal y vertical para el círculo del orificio y para el vaciado en 'U'.
2. Acotación de las vistas según normas.Las acotaciones se realizarán siguiendo las normas ISO de dibujo técnico, asegurando la claridad, la no redundancia y la completa definición de la pieza. Las dimensiones exactas dependerían de la medición de la perspectiva original y la aplicación de la escala. a) Acotación del Alzado:
- Altura total de la pieza (H).- Anchura total de la pieza (A).- Altura del bloque inferior (H_B).- Radio del vaciado en 'U' (R_U), con una línea de cota hasta su centro de curvatura.- Distancia del centro del orificio pasante oculto a la base del bloque inferior (o a la base de la pieza, si se prefiere una referencia común).b) Acotación de la Planta:
- Profundidad total de la pieza (P).- Profundidad del bloque inferior (P_B).- Diámetro del orificio pasante (), con el símbolo de diámetro.- Posición del centro del orificio pasante (distancias desde los bordes de la cara superior del bloque inferior, o desde los ejes de simetría del bloque si están centrados).- Anchura del vaciado en 'U' (A_U, si no es igual a A) y su profundidad, si no se extiende completamente por la pieza.Se usarán líneas de referencia para todas las cotas, evitando que crucen aristas o otras cotas. Todas las cotas se leerán desde la parte inferior o lateral derecha del dibujo.
Dada la figura representada y la homología afín ortogonal definida por los pares de puntos homólogos A-A' y C≡C', se pide: 1. Determinar el eje de afinidad. 2. Representar la figura homóloga a la dada.
En una afinidad ortogonal, la dirección de afinidad definida por el vector que une un punto con su homólogo es perpendicular al eje de la afinidad. Dado que conocemos el par de puntos homólogos , la dirección de afinidad queda determinada por la recta que los une.
Los puntos dobles o invariantes de una homología afín se sitúan siempre sobre el eje. Como el enunciado indica que , el punto es un punto doble y, por tanto, pertenece al eje de afinidad .
Para trazar el eje de afinidad, dibujamos una recta que pase por el punto y sea perpendicular al segmento .Para representar la figura homóloga, aplicamos las propiedades de la afinidad a los demás vértices de la figura (supongamos un vértice ):1. Trazamos una recta perpendicular al eje que pase por . El punto homólogo deberá encontrarse en esta recta. 2. Prolongamos el lado de la figura original hasta que corte al eje en un punto, al que llamaremos . Al ser un punto del eje, es un punto doble (). 3. Unimos el punto con el punto . La intersección de esta recta con la perpendicular trazada desde nos da el punto homólogo .
Repitiendo este proceso para cada uno de los vértices restantes, obtenemos todos los puntos homólogos. Al unirlos en el mismo orden que en la figura original, obtenemos la figura afín buscada.El resultado final es una figura transformada cuya escala en la dirección perpendicular al eje ha variado según la razón de afinidad, definida por la relación entre las distancias de los puntos homólogos al eje.
Dadas las proyecciones horizontales del cuadrado ABCD, de la recta R y de su traza horizontal H, se pide: 1. Dibujar las proyecciones del octaedro regular ABCDEF situado en el primer diedro de proyección, sabiendo que su diagonal EF es perpendicular al plano horizontal de proyección y el punto E tiene cota cero. 2. Determinar la proyección vertical de R sabiendo que forma 30º con el plano horizontal de proyección. 3. Representar la recta S paralela a R y que pasa por el punto medio de la diagonal EF.
Para representar el octaedro regular sabiendo que la diagonal EF es perpendicular al plano horizontal (recta vertical) y el punto E tiene cota cero, debemos considerar las propiedades métricas del poliedro. En un octaedro regular de diagonal d, todas las diagonales son iguales y perpendiculares entre sí. El cuadrado horizontal ABCD se sitúa en un plano de cota media respecto a la diagonal vertical.
Determinamos primero la longitud de la diagonal d midiendo la distancia entre los vértices opuestos del cuadrado en la proyección horizontal (ya que el cuadrado es paralelo al plano horizontal). El centro M del cuadrado ABCD es el punto medio de la diagonal vertical EF.
En la proyección vertical, los puntos A', B', C' y D' se encontrarán sobre una línea de tierra auxiliar (o paralela a la LT) a una altura d/2. El punto E' estará en la línea de tierra y F' a una cota igual a la diagonal d sobre la misma perpendicular.Para determinar la proyección vertical de la recta R, utilizamos la condición de que forma 30º con el plano horizontal. La traza horizontal H tiene su proyección vertical h' sobre la línea de tierra. Aplicamos el concepto de diferencia de cotas mediante un triángulo de rebatimiento sobre la proyección horizontal r.
Donde d_h es la distancia horizontal desde la traza H hasta un punto P cualquiera de la recta, y Δz es su cota. Trazando una línea a 30º desde r pasando por h, obtenemos la magnitud de la cota para cualquier alejamiento. Llevamos esa cota a la proyección vertical para obtener r'.Finalmente, para representar la recta S paralela a R que pasa por el punto medio M de la diagonal EF, aplicamos el paralelismo en proyecciones diédricas: las proyecciones de dos rectas paralelas son paralelas entre sí.
Hacemos pasar la proyección horizontal s por el punto m (intersección de las diagonales del cuadrado ABCD) y la proyección vertical s' por el punto m' (situado a cota d/2 sobre la proyección de la diagonal EF). El resultado final es una recta S con la misma inclinación que R pasando por el centro geométrico del octaedro.Resultado final: El octaedro queda definido por sus seis vértices con cotas z_E = 0, z_{ABCD} = d/2 y z_F = d. La recta R' se determina por su ángulo de 30^\circ y la recta S es la traslación de R al punto M(m, m').
Dados alzado, planta y perfil de una pieza a escala 1:2, según el método de representación del primer diedro de proyección, se pide: 1. Representar su perspectiva isométrica a escala 1:1, según los ejes dados. 2. Indicar el valor de la cifra de cota marcada con la letra C: ____ mm.
Para resolver el ejercicio, primero debemos interpretar la relación entre las escalas proporcionadas. Las vistas (alzado, planta y perfil) están representadas a escala 1:2, lo que significa que las dimensiones en el dibujo son la mitad de las dimensiones reales del objeto.
Se nos pide representar la perspectiva isométrica a escala 1:1. Esto implica que las dimensiones que traslademos a los ejes isométricos deben corresponder con las dimensiones reales del objeto. Por tanto, multiplicaremos por 2 cada medida tomada directamente de las vistas originales.
En la perspectiva isométrica, si no se indica lo contrario, debemos aplicar el coeficiente de reducción isométrico en los tres ejes (X, Y, Z) para obtener una representación normalizada, aunque en ejercicios escolares a veces se utiliza la escala volante (simplificada) sin reducción. El coeficiente de reducción estándar es:
Para determinar el valor de la cifra de cota C, identificamos su posición en las vistas. Si C es una dimensión lineal medida en el dibujo a escala 1:2, su valor real (el que debe figurar en la cifra de cota) se calcula duplicando dicha medida.
Asumiendo que la medida C en el papel (escala 1:2) es de 20 mm (ejemplo típico en este tipo de piezas), el cálculo sería:
El valor final de la cota C, expresado en milímetros según las reglas de acotación y considerando la escala real del objeto, es:
Dados planta y perfil de una pieza a escala 1:2, según el método de representación del primer diedro de proyección, se pide: 1. Dibujar el corte A-A a escala 1:2. 2. Acotar según normas.
Para representar el corte A-A a escala 1:2, primero debemos identificar el plano de corte en la planta o perfil. El corte permite visualizar el interior de la pieza, eliminando de forma imaginaria la parte situada entre el observador y el plano de corte. Según el método del primer diedro, el corte se proyectará en la posición que ocuparía la vista correspondiente (generalmente el alzado o perfil).La escala 1:2 es una escala de reducción. Esto significa que cada medida lineal del dibujo será la mitad de la medida real del objeto. La relación matemática se define como:
Al dibujar el corte, las superficies que han estado en contacto con el plano de corte deben rayarse con líneas finas paralelas a 45°. Los contornos y aristas vistas se dibujan con línea gruesa continua, mientras que las aristas ocultas situadas detrás del plano de corte no suelen representarse a menos que sean estrictamente necesarias para la comprensión.
En cuanto a la acotación, se deben seguir las normas ISO o UNE. Es fundamental recordar que, aunque el dibujo esté a escala 1:2, las cifras de cota deben expresar siempre las medidas reales de la pieza. Las líneas de cota se sitúan preferentemente fuera de las vistas y se limitan por flechas.Las reglas básicas de acotación aplicadas son:1. Las líneas de auxilio de cota deben sobrepasar ligeramente la línea de cota (aprox. 2 mm). 2. La separación mínima entre la arista del dibujo y la primera línea de cota debe ser de 8 mm. 3. No se deben duplicar cotas innecesariamente en diferentes vistas.