Geometría plana

Para determinar la directriz, el eje y el vértice, se siguen los siguientes pasos basándose en las propiedades de la parábola, utilizando los elementos dados (foco F, punto P y tangente T en P):

Una vez obtenidos la directriz D, el eje E y el foco F, se pueden determinar puntos adicionales de la parábola para trazarla con precisión:

Para determinar los elementos de la elipse, se siguen los siguientes pasos de construcción: a) Determinación de los focos F y F': Los arcos dados M y M' corresponden a las circunferencias focales de la elipse. Una propiedad clave de estas circunferencias es que su centro es uno de los focos de la elipse y su radio es igual a la longitud del eje mayor, $2a$.Para encontrar el centro de una circunferencia dado un arco, se procede de la siguiente manera:1. Sobre el arco M, selecciona tres puntos arbitrarios $P_1, P_2, P_3$.2. Dibuja las cuerdas $P_1P_2$ y $P_2P_3$.3. Traza las mediatrices de cada una de estas cuerdas. La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular que pasa por su punto medio.4. El punto de intersección de estas dos mediatrices es el centro del arco M, que corresponde al foco $F$ de la elipse.5. Repite el mismo procedimiento para el arco M' para determinar el foco $F'$. Los focos $F$ y $F'$ son los centros de los arcos de circunferencia dados. b) Determinación del centro O: El centro $O$ de la elipse se encuentra en el punto medio del segmento que une los dos focos $F$ y $F'$. Traza el segmento $FF'$ y determina su punto medio, el cual será $O$. c) Determinación de los extremos del eje mayor AB: La longitud del eje mayor, $2a$, es el radio de las circunferencias focales. Mide la distancia desde el foco $F$ (o $F'$) a cualquier punto del arco M (o M'). Esta distancia medida es $2a$. Por tanto, la semilongitud del eje mayor es $a = (2a)/2$.El eje mayor $AB$ se sitúa sobre la recta que contiene a los focos $F$ y $F'$. Desde el centro $O$, mide una distancia $a$ sobre la recta $FF'$ en ambas direcciones. Los puntos resultantes son los vértices $A$ y $B$ del eje mayor. d) Determinación de los extremos del eje menor CD: El eje menor $CD$ es perpendicular al eje mayor $AB$ y pasa por el centro $O$. Dibuja una recta perpendicular a $FF'$ que pase por $O$.La distancia de un foco a cualquiera de los extremos del eje menor es igual a la semilongitud del eje mayor, $a$. Con centro en $F$ (o $F'$) y radio $a$, traza arcos que corten la recta perpendicular a $FF'$ que pasa por $O$. Los puntos de intersección son los vértices $C$ y $D$ del eje menor.

Una vez determinados los focos $F$ y $F'$, y la longitud del eje mayor $2a$, la elipse puede ser trazada mediante el método del jardinero (o del cordel):1. Fija los extremos de un cordel de longitud $2a$ en los focos $F$ y $F'$.2. Con la ayuda de un lápiz, mantén el cordel tenso y deslízalo alrededor de los focos. La trayectoria del lápiz formará la elipse deseada, ya que la suma de las distancias del lápiz a cada foco ($PF + PF'$) siempre será igual a la longitud del cordel ($2a$). El trazado deberá pasar por los puntos $A, B, C, D$ previamente calculados.

Las circunferencias que pasan por los puntos A y B forman un haz de circunferencias cuyo eje radical es la recta que pasa por A y B.Para determinar el centro radical $(CR)$ entre la circunferencia C y este haz de circunferencias, necesitamos la intersección de la recta radical del haz (la recta $AB$) y la recta radical de la circunferencia C con una circunferencia auxiliar ($C_X$) cualquiera que pase por A y B.1. Trazar la recta $r_1$ que une los puntos A y B. Esta es la recta radical de todas las circunferencias que pasan por A y B.2. Trazar la mediatriz del segmento $AB$. Cualquier punto de esta mediatriz es el centro de una circunferencia que pasa por A y B.3. Elegir un punto $O_X$ en la mediatriz de $AB$ y dibujar una circunferencia auxiliar $C_X$ con centro $O_X$ y radio $O_XA$. Se debe asegurar que esta circunferencia $C_X$ interseque a la circunferencia dada C en dos puntos, $I_1$ e $I_2$.4. Trazar la recta $r_2$ que pasa por los puntos de intersección $I_1$ e $I_2$. Esta recta $r_2$ es el eje radical de la circunferencia C y la circunferencia auxiliar $C_X$.5. El centro radical $CR$ buscado es el punto de intersección de la recta $r_1$ (recta $AB$) y la recta $r_2$ (recta $I_1I_2$). Cualquier tangente desde $CR$ a cualquiera de las circunferencias del problema tendrá la misma longitud.

Las circunferencias buscadas son tangentes a C y pasan por A y B. El centro radical $CR$ tiene la misma potencia respecto a C y a las circunferencias solución.1. Unir el centro O de la circunferencia C con el centro radical $CR$. Este segmento $OCR$ es el diámetro de una circunferencia auxiliar que nos ayudará a encontrar los puntos de tangencia.2. Hallar el punto medio $M$ del segmento $OCR$. Trazar una circunferencia auxiliar con centro $M$ y radio $MO = MCR$.3. Esta circunferencia auxiliar cortará a la circunferencia C en dos puntos, $T_1$ y $T_2$. Estos son los puntos de tangencia de las circunferencias solución con C.4. Los centros de las circunferencias solución deben cumplir dos condiciones: a) Estar en la mediatriz del segmento $AB$ (ya que las circunferencias pasan por A y B). b) Estar alineados con el centro O de la circunferencia C y el punto de tangencia $T_i$ (es decir, en las rectas $OT_1$ y $OT_2$).5. El primer centro de una circunferencia solución, $O_1$, se encuentra en la intersección de la mediatriz de $AB$ y la recta $OT_1$. La circunferencia $C_1$ tendrá centro $O_1$ y radio $O_1A$ (o $O_1B$, o $O_1T_1$). Verificamos que $O_1T_1$ es igual a $O_1A$ y $O_1B$.6. El segundo centro de una circunferencia solución, $O_2$, se encuentra en la intersección de la mediatriz de $AB$ y la recta $OT_2$. La circunferencia $C_2$ tendrá centro $O_2$ y radio $O_2A$ (o $O_2B$, o $O_2T_2$). Verificamos que $O_2T_2$ es igual a $O_2A$ y $O_2B$.

El centro de homología $V$ se determina trazando las rectas que unen los pares de puntos homólogos. Se traza la recta que une $A$ con $A'$ y la recta que une $B$ con $B'$. La intersección de estas dos rectas es el centro de homología $V$.

Para obtener la figura homóloga, se deben hallar los puntos homólogos de todos los vértices de la figura original. Se utilizan las propiedades fundamentales de la homología:• Un punto $P$, su homólogo $P'$ y el centro de homología $V$ son siempre colineales.• Una recta $r$, su homóloga $r'$ y su punto de intersección con el eje de homología $E$ son siempre concurrentes.Procedimiento para determinar el homólogo $P_i'$ de cualquier vértice $P_i$ de la figura (conocidos $A, A', B, B', E, V$):1. Se traza la recta que une el vértice $P_i$ con el centro de homología $V$. El punto homólogo $P_i'$ se encontrará sobre esta recta $VP_i$.2. Se selecciona un segmento de la figura original que tenga a $P_i$ como uno de sus extremos (por ejemplo, el segmento $P_iP_j$). Se prolonga la recta que contiene a este segmento hasta que corte al eje de homología $E$. Este punto de corte es el punto de intersección $I_{P_i,P_j}$.3. Se traza la recta que une el punto $I_{P_i,P_j}$ con el punto homólogo del otro extremo del segmento, $P_j'$. Esta recta $I_{P_i,P_j}P_j'$ es la homóloga del segmento $P_iP_j$.4. El punto $P_i'$ es la intersección de la recta $VP_i$ (trazada en el paso 1) y la recta $I_{P_i,P_j}P_j'$ (trazada en el paso 3).Aplicando este procedimiento a todos los vértices de la figura original (identificados en orden, por ejemplo, $P_1=A$, $P_2$, ..., $P_{11}$):• Para el punto $A$, su homólogo es $A'$. Para el punto $B$, su homólogo es $B'$.• Para cada uno de los demás vértices de la figura, se aplica el procedimiento descrito. Por ejemplo, para un vértice $P_k$: 1. Se une $P_k$ con $V$. Se obtiene la recta $VP_k$. 2. Se elige un segmento que parta de $P_k$, por ejemplo, $P_kP_m$. Se prolonga la recta $P_kP_m$ hasta cortar al eje $E$ en $I_{P_k,P_m}$. 3. Si $P_m'$ ya es conocido (o ya ha sido hallado), se une $I_{P_k,P_m}$ con $P_m'$. Se obtiene la recta $I_{P_k,P_m}P_m'$. 4. $P_k'$ será la intersección de $VP_k$ y $I_{P_k,P_m}P_m'$.Una vez hallados todos los vértices homólogos, se unen en el mismo orden en que estaban unidos en la figura original para obtener la figura homóloga final.

En una afinidad ortogonal, la dirección de afinidad definida por el vector que une un punto con su homólogo es perpendicular al eje de la afinidad. Dado que conocemos el par de puntos homólogos $A-A'$, la dirección de afinidad queda determinada por la recta que los une.

Los puntos dobles o invariantes de una homología afín se sitúan siempre sobre el eje. Como el enunciado indica que $C \equiv C'$, el punto $C$ es un punto doble y, por tanto, pertenece al eje de afinidad $e$.

Para trazar el eje de afinidad, dibujamos una recta que pase por el punto $C$ y sea perpendicular al segmento $AA'$.Para representar la figura homóloga, aplicamos las propiedades de la afinidad a los demás vértices de la figura (supongamos un vértice $B$):1. Trazamos una recta perpendicular al eje $e$ que pase por $B$. El punto homólogo $B'$ deberá encontrarse en esta recta. 2. Prolongamos el lado $AB$ de la figura original hasta que corte al eje en un punto, al que llamaremos $K$. Al ser un punto del eje, es un punto doble ($K \equiv K'$). 3. Unimos el punto $K$ con el punto $A'$. La intersección de esta recta $KA'$ con la perpendicular trazada desde $B$ nos da el punto homólogo $B'$.

Repitiendo este proceso para cada uno de los vértices restantes, obtenemos todos los puntos homólogos. Al unirlos en el mismo orden que en la figura original, obtenemos la figura afín buscada.El resultado final es una figura transformada cuya escala en la dirección perpendicular al eje ha variado según la razón de afinidad, definida por la relación entre las distancias de los puntos homólogos al eje.