Sistemas automáticos

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9 ejercicios

Lógica combinacional y control

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

Se desea controlar la activación de un sistema de ventilación automático (V) de un invernadero en función de tres sensores: - Sensor de temperatura T (temperatura alta = "1", temperatura normal = "0"). - Sensor de humedad H (humedad alta = "1", humedad normal = "0"). - Sensor de calidad del aire A (calidad baja = "1", calidad normal = "0").El sistema de ventilación debe activarse en cualquiera de los siguientes casos: i) la temperatura es alta y la calidad del aire baja, ii) la humedad es alta y la calidad del aire baja, iii) la temperatura es alta y la humedad es alta. Se pide:

a.1) La tabla de verdad de la función V y su forma canónica.a.2) Simplificación de la función por Karnaugh e implementación con puertas NAND.b) Dibujar un diagrama de bloques de un sistema de control en lazo cerrado e indicar la función de cada uno de los bloques.

Tabla de verdadMapa de KarnaughPuertas NAND+1

a.1) La tabla de verdad de la función V y su forma canónica.

Se definen las entradas T (temperatura), H (humedad) y A (calidad del aire) y la salida V (ventilación).La ventilación se activa (V=1) bajo las siguientes condiciones: i) Temperatura alta (T=1) y calidad del aire baja (A=1).ii) Humedad alta (H=1) y calidad del aire baja (A=1).iii) Temperatura alta (T=1) y humedad alta (H=1).Tabla de verdad:

\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|c|} \hline T & H & A & \text{Condición i)} & \text{Condición ii)} & \text{Condición iii)} & V \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}

Fórmula: Se obtiene la forma canónica de suma de productos (SOP) a partir de las filas donde $V=1$ .Resultado: La función $V$ en forma canónica es:

V = \overline{T}HA + T\overline{H}A + TH\overline{A} + THA

a.2) Simplificación de la función por Karnaugh e implementación con puertas NAND.

Karnaugh: Se construye el mapa de Karnaugh con los valores de la tabla de verdad.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline TH \setminus A & 0 & 1 \\ \hline 00 & 0 & 0 \\ 01 & 0 & 1 \\ 11 & 1 & 1 \\ 10 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}

Simplificación por Karnaugh: Se agrupan los unos adyacentes para obtener la expresión simplificada.Grupo 1 (m3 y m7): $HA$ Grupo 2 (m5 y m7): $TA$ Grupo 3 (m6 y m7): $TH$ Resultado: La función simplificada es:

V = TH + TA + HA

Implementación con puertas NAND: Para implementar la función $V = TH + TA + HA$ con puertas NAND, se aplica la doble negación y el Teorema de De Morgan.

V = \overline{\overline{TH + TA + HA}}

V = \overline{\overline{TH} \cdot \overline{TA} \cdot \overline{HA}}

Esta expresión requiere tres puertas NAND de dos entradas para obtener $\overline{TH}$ , $\overline{TA}$ y $\overline{HA}$ , y una cuarta puerta NAND de tres entradas para obtener el resultado final $V$ . En total, se necesitan 4 puertas NAND.

b) Dibujar un diagrama de bloques de un sistema de control en lazo cerrado e indicar la función de cada uno de los bloques.

Diagrama de bloques de un sistema de control en lazo cerrado:Aquí se describe la estructura del diagrama de bloques, ya que no se pueden "dibujar" directamente diagramas complejos en este formato. El diagrama de bloques de un sistema de control en lazo cerrado se compone de los siguientes elementos interconectados:1. Punto de Suma/Comparador: Recibe la señal de referencia (consigna) y la señal de realimentación del sensor, calculando la señal de error.2. Regulador (Controlador): Procesa la señal de error y genera una señal de control adecuada para el proceso, con el fin de corregir la desviación detectada.3. Actuador: Recibe la señal de control del regulador y la convierte en una acción física o energía que influye directamente en la planta (proceso). En el caso del invernadero, sería el sistema que abre o cierra los ventiladores.4. Planta (Proceso): Es el sistema físico que se desea controlar, en este caso, el invernadero con su temperatura, humedad y calidad del aire.5. Sensor (Transductor): Mide la variable de salida de la planta (la temperatura, humedad o calidad del aire real del invernadero) y la convierte en una señal eléctrica o neumática que puede ser interpretada por el comparador.6. Realimentación (Lazo de realimentación): Es el camino por el cual la señal medida por el sensor se envía de vuelta al comparador, cerrando el lazo y permitiendo que el sistema ajuste su comportamiento en función de la salida real.En este sistema, la salida del ventilador (V) sería el actuador, y los sensores de temperatura, humedad y calidad del aire formarían parte del bloque sensor, que proporciona la realimentación para el control automático.

T4: Sistemas automáticos

Lógica combinacional y control

Problema

2025 · Extraordinaria · Reserva

a) Obtener las tablas de verdad de las siguientes funciones lógicas y simplificarlas mediante el método de Karnaugh:

F = \overline{x} y z + x \overline{y} \overline{z} + x y z

G = \overline{a} \overline{b} \overline{c} \overline{d} + \overline{a} b \overline{c} \overline{d} + a b c \overline{d} + a b c d

b) Explicar la función que realiza un controlador de acción proporcional e integral en un sistema de control de lazo cerrado.

Mapa de KarnaughTabla de verdadControlador PI

a) Obtención de las tablas de verdad y simplificación mediante el método de Karnaugh.

Función $F = \overline{x} y z + x \overline{y} \overline{z} + x y z$ Datos: La función $F$ tiene 3 variables ( $x, y, z$ ).Fórmulas: Los minterms corresponden a las combinaciones donde la función es 1.Sustitución:Minterms de F: $m_3 = \overline{x} y z = 011_2$ $m_4 = x \overline{y} \overline{z} = 100_2$ $m_7 = x y z = 111_2$ Resultado: Tabla de verdad de $F$ :

\begin{array}{|c|c|c||c|} \hline x & y & z & F \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}

Simplificación de $F$ mediante mapa de Karnaugh:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{x \backslash yz} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & 0 & 0 & \boxed{1} & 0 \\ \hline 1 & \textcircled{1} & 0 & \boxed{\textcircled{1}} & 0 \\ \hline \end{array}

Agrupaciones:1. Agrupación de los minterms $m_3 (011)$ y $m_7 (111)$ : $\overline{x}yz + xyz = yz$ 2. Minterm $m_4 (100)$ está aislado: $x\overline{y}\overline{z}$ Resultado: Función simplificada $F = yz + x\overline{y}\overline{z}$ Función $G = \overline{a} \overline{b} \overline{c} \overline{d} + \overline{a} b \overline{c} \overline{d} + a b c \overline{d} + a b c d$ Datos: La función $G$ tiene 4 variables ( $a, b, c, d$ ).Fórmulas: Los minterms corresponden a las combinaciones donde la función es 1.Sustitución:Minterms de G: $m_0 = \overline{a} \overline{b} \overline{c} \overline{d} = 0000_2$ $m_4 = \overline{a} b \overline{c} \overline{d} = 0100_2$ $m_{14} = a b c \overline{d} = 1110_2$ $m_{15} = a b c d = 1111_2$ Resultado: Tabla de verdad de $G$ (se muestran solo las filas donde la función es 1):

\begin{array}{|c|c|c|c||c|} \hline a & b & c & d & G \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \multicolumn{5}{c}{\text{(el resto de combinaciones son 0)}}\\ \hline \end{array}

Simplificación de $G$ mediante mapa de Karnaugh:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \cline{2-5} \multicolumn{1}{c|}{ab \backslash cd} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 00 & \boxed{1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline 01 & \boxed{1} & 0 & 0 & 0 \\ \hline 11 & 0 & 0 & \textcircled{1} & \textcircled{1} \\ \hline 10 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array}

Agrupaciones:1. Agrupación de los minterms $m_0 (0000)$ y $m_4 (0100)$ : $\overline{a}\overline{b}\overline{c}\overline{d} + \overline{a}b\overline{c}\overline{d} = \overline{a}\overline{c}\overline{d}$ 2. Agrupación de los minterms $m_{14} (1110)$ y $m_{15} (1111)$ : $abc\overline{d} + abcd = abc$ Resultado: Función simplificada $G = \overline{a}\overline{c}\overline{d} + abc$

b) Explicación de la función de un controlador de acción proporcional e integral (PI) en un sistema de control de lazo cerrado.

Un controlador de acción proporcional e integral (PI) es un tipo de controlador de lazo cerrado que combina dos modos de control para mejorar el rendimiento de un sistema:1. Acción Proporcional (P): La salida del controlador es directamente proporcional al error actual del sistema. El error se define como la diferencia entre el valor de referencia (punto de ajuste) y el valor medido de la variable controlada. Esta acción proporciona una respuesta inmediata para corregir el error y reduce el tiempo de subida del sistema. Sin embargo, puede dejar un error en estado estacionario (offset) y generar oscilaciones si la ganancia proporcional es demasiado alta.2. Acción Integral (I): La salida del controlador es proporcional a la integral acumulada del error a lo largo del tiempo. Esta acción se encarga de eliminar el error en estado estacionario (offset) que la acción proporcional por sí sola podría no corregir. Al integrar el error, el controlador sigue ajustando su salida hasta que el error persistente se anula. Aunque mejora la precisión en estado estacionario, puede aumentar el sobreimpulso y ralentizar la respuesta transitoria si la ganancia integral no está correctamente ajustada.La combinación de ambas acciones en un controlador PI permite lograr un buen equilibrio entre una respuesta rápida (gracias a la acción P) y la eliminación del error en estado estacionario (gracias a la acción I), sin las complejidades de la acción derivativa. Es ampliamente utilizado en la industria por su robustez y eficacia en una gran variedad de aplicaciones.

T4: Sistemas automáticos

Neumática

Problema

2025 · Extraordinaria · Suplente

EJERCICIO 2

OPCIÓN A En un taller de fabricación de trofeos y medallas se utiliza una máquina de estampación que funciona con un cilindro neumático de simple efecto con retorno por muelle, el cual se encarga de aplicar una fuerza sobre un molde para estampar el diseño de la medalla en una lámina metálica. El cilindro de simple efecto trabaja a una presión de $10 \text{ atm}$ y es capaz de fabricar diez medallas por minuto, es decir, realiza $10 \text{ ciclos/minuto}$ . El cilindro tiene un émbolo de $16 \text{ mm}$ de diámetro y una carrera de $40 \text{ mm}$ . Las pérdidas por rozamiento y por muelle son, respectivamente, el $10 \%$ y el $6 \ \%$ de la fuerza teórica. Calcular:

a) La fuerza efectiva ejercida en el avance del vástago.b) El consumo de aire en condiciones normales durante una hora de funcionamiento en

l/h

Cilindro neumáticoConsumo de aire

a) La fuerza efectiva ejercida en el avance del vástago.

Cálculo de la fuerza teórica y efectiva en el avance del vástago.Datos:

\bullet$ Presión de trabajo: $P = 10 \text{ atm}

\bullet$ Diámetro del émbolo: $D = 16 \text{ mm}

\bullet$ Pérdidas por rozamiento: $P_{\text{rozamiento}} = 10 \% = 0.10

\bullet$ Pérdidas por muelle: $P_{\text{muelle}} = 6 \% = 0.06

Fórmulas:

\bullet

Conversión de unidades:

P \text{ (Pa)} = P \text{ (atm)} \cdot 101325 \text{ Pa/atm}

\bullet$ Área del émbolo: $S = \frac{\pi D^2}{4}

\bullet$ Fuerza teórica: $F_{\text{teórica}} = P \cdot S

\bullet$ Fuerza de rozamiento: $F_{\text{rozamiento}} = P_{\text{rozamiento}} \cdot F_{\text{teórica}}

\bullet$ Fuerza del muelle: $F_{\text{muelle}} = P_{\text{muelle}} \cdot F_{\text{teórica}}

\bullet$ Fuerza efectiva: $F_{\text{efectiva}} = F_{\text{teórica}} - F_{\text{rozamiento}} - F_{\text{muelle}}

Sustitución:

Convertimos las unidades al Sistema Internacional (SI):

P = 10 \text{ atm} \cdot 101325 \text{ Pa/atm} = 1013250 \text{ Pa}

D = 16 \text{ mm} = 0.016 \text{ m}

Calculamos el área del émbolo:

S = \frac{\pi \cdot (0.016 \text{ m})^2}{4} = \frac{\pi \cdot 0.000256 \text{ m}^2}{4} = 0.00020106 \text{ m}^2

Calculamos la fuerza teórica:

F_{\text{teórica}} = 1013250 \text{ Pa} \cdot 0.00020106 \text{ m}^2 = 203.72 \text{ N}

Calculamos las pérdidas por rozamiento:

F_{\text{rozamiento}} = 0.10 \cdot 203.72 \text{ N} = 20.37 \text{ N}

Calculamos las pérdidas por muelle:

F_{\text{muelle}} = 0.06 \cdot 203.72 \text{ N} = 12.22 \text{ N}

Calculamos la fuerza efectiva:

F_{\text{efectiva}} = 203.72 \text{ N} - 20.37 \text{ N} - 12.22 \text{ N} = 171.13 \text{ N}

Resultado:

La fuerza efectiva ejercida en el avance del vástago es $F_{\text{efectiva}} = 171.13 \text{ N}

b) El consumo de aire en condiciones normales durante una hora de funcionamiento en

l/h

Cálculo del volumen de aire consumido por ciclo a presión de trabajo, su equivalencia en condiciones normales y el consumo total en una hora.Datos:

\bullet$ Presión de trabajo: $P_{\text{trabajo}} = 10 \text{ atm}

\bullet$ Diámetro del émbolo: $D = 16 \text{ mm}

\bullet$ Carrera del émbolo: $L = 40 \text{ mm}

\bullet$ Ciclos por minuto: $N_{\text{ciclos/min}} = 10 \text{ ciclos/min}

\bullet$ Tiempo de funcionamiento: $t = 1 \text{ h}

\bullet$ Presión en condiciones normales: $P_0 = 1 \text{ atm}

Fórmulas:

\bullet$ Área del émbolo: $S = \frac{\pi D^2}{4}

\bullet$ Volumen de aire por ciclo a presión de trabajo: $V_{\text{trabajo}} = S \cdot L

\bullet$ Ley de Boyle-Mariotte (volumen en condiciones normales): $P_{\text{trabajo}} \cdot V_{\text{trabajo}} = P_0 \cdot V_0 \Rightarrow V_0 = V_{\text{trabajo}} \cdot \frac{P_{\text{trabajo}}}{P_0}

\bullet$ Número total de ciclos en una hora: $N_{\text{ciclos/h}} = N_{\text{ciclos/min}} \cdot 60 \text{ min/h}

\bullet$ Consumo total de aire en condiciones normales: $V_{\text{total}} = V_0 \cdot N_{\text{ciclos/h}}

Sustitución:

Convertimos las unidades al Sistema Internacional (SI):

D = 16 \text{ mm} = 0.016 \text{ m}

L = 40 \text{ mm} = 0.040 \text{ m}

El área del émbolo ya la calculamos en el apartado a):

S = 0.00020106 \text{ m}^2

Calculamos el volumen de aire por ciclo a la presión de trabajo:

V_{\text{trabajo}} = 0.00020106 \text{ m}^2 \cdot 0.040 \text{ m} = 0.0000080424 \text{ m}^3/\text{ciclo}

Convertimos este volumen a condiciones normales usando la Ley de Boyle-Mariotte:

V_0 = 0.0000080424 \text{ m}^3/\text{ciclo} \cdot \frac{10 \text{ atm}}{1 \text{ atm}} = 0.000080424 \text{ m}^3/\text{ciclo}

Calculamos el número total de ciclos en una hora:

N_{\text{ciclos/h}} = 10 \text{ ciclos/min} \cdot 60 \text{ min/h} = 600 \text{ ciclos/h}

Calculamos el consumo total de aire en condiciones normales durante una hora:

V_{\text{total}} = 0.000080424 \text{ m}^3/\text{ciclo} \cdot 600 \text{ ciclos/h} = 0.0482544 \text{ m}^3/\text{h}

Convertimos el resultado a litros por hora:

V_{\text{total}} = 0.0482544 \text{ m}^3/\text{h} \cdot 1000 \text{ l/m}^3 = 48.2544 \text{ l/h}

Resultado:

El consumo de aire en condiciones normales durante una hora de funcionamiento es $V_{\text{total}} = 48.25 \text{ l/h}

T4: Sistemas automáticos

Neumática

Problema

2025 · Extraordinaria · Titular

Para desplazar una pieza en una línea de producción industrial se utiliza un cilindro de doble efecto que tiene un émbolo de $10 \text{ cm}$ de diámetro. La relación entre los diámetros de émbolo y vástago es $5$ . Este cilindro está conectado a una red de aire comprimido a $2 \text{ MPa}$ de presión y efectúa $15$ ciclos por minuto. Suponiendo una fuerza de rozamiento del $10 \%$ de la teórica, calcular:

a) La fuerza que ejerce el vástago en la carrera de avance.b) La longitud de la carrera si el caudal de aire medido en condiciones normales es

583 \text{ l} / \text{min}

Cilindro de doble efectoAire comprimidoCaudal neumático

a) La fuerza que ejerce el vástago en la carrera de avance.

Datos

D = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}

D / d_{\text{vástago}} = 5

P = 2 \text{ MPa} = 2 \times 10^6 \text{ Pa}

F_{\text{rozamiento}} = 0.10 \cdot F_{\text{teórica, avance}}

Fórmulas

Cálculo del diámetro del vástago:

d_{\text{vástago}} = D / 5

Cálculo de la sección del émbolo para el avance:

S_{\text{avance}} = \pi D^2 / 4

Cálculo de la fuerza teórica en la carrera de avance:

F_{\text{teórica, avance}} = P \cdot S_{\text{avance}}

Cálculo de la fuerza real en la carrera de avance:

F_{\text{avance}} = F_{\text{teórica, avance}} - F_{\text{rozamiento}}

F_{\text{avance}} = F_{\text{teórica, avance}} - 0.10 \cdot F_{\text{teórica, avance}} = 0.90 \cdot F_{\text{teórica, avance}}

Sustitución

d_{\text{vástago}} = 0.1 \text{ m} / 5 = 0.02 \text{ m}

S_{\text{avance}} = \pi (0.1 \text{ m})^2 / 4 = 0.0025\pi \text{ m}^2 \approx 0.007854 \text{ m}^2

F_{\text{teórica, avance}} = (2 \times 10^6 \text{ Pa}) \cdot (0.0025\pi \text{ m}^2) \approx 15707.96 \text{ N}

F_{\text{avance}} = 0.90 \cdot (15707.96 \text{ N}) \approx 14137.16 \text{ N}

Resultado

F_{\text{avance}} \approx 14137.16 \text{ N}

b) La longitud de la carrera si el caudal de aire medido en condiciones normales es

583 \text{ l} / \text{min}

Datos

Q_{\text{normales}} = 583 \text{ l/min} = 0.583 \text{ m}^3/\text{min}

Ciclos por minuto = $15 \text{ ciclos/min}

P_{\text{normal}} = 1 \text{ atm} = 101325 \text{ Pa}

P_{\text{trabajo}} = 2 \text{ MPa} = 2 \times 10^6 \text{ Pa}

D = 0.1 \text{ m}

d_{\text{vástago}} = 0.02 \text{ m} \quad\text{(calculado en el apartado a)}

Fórmulas

Cálculo del volumen de aire por ciclo en condiciones normales:

V_{\text{aire, ciclo, normales}} = Q_{\text{normales}} / (\text{ciclos por minuto})

Aplicación de la Ley de Boyle para convertir el volumen a condiciones de trabajo (suponiendo temperatura constante):

P_{\text{normal}} V_{\text{aire, ciclo, normales}} = P_{\text{trabajo}} V_{\text{aire, ciclo, trabajo}}

Cálculo de la sección efectiva para la carrera de retroceso:

S_{\text{retroceso}} = \pi (D^2 - d_{\text{vástago}}^2) / 4

Cálculo del volumen total que ocupa el cilindro en un ciclo para una longitud de carrera $L$:

V_{\text{cilindro, ciclo, trabajo}} = V_{\text{avance}} + V_{\text{retroceso}}

V_{\text{cilindro, ciclo, trabajo}} = S_{\text{avance}} \cdot L + S_{\text{retroceso}} \cdot L = (S_{\text{avance}} + S_{\text{retroceso}}) \cdot L

Igualdad de volúmenes para encontrar $L$:

V_{\text{aire, ciclo, trabajo}} = V_{\text{cilindro, ciclo, trabajo}}

Sustitución

V_{\text{aire, ciclo, normales}} = (0.583 \text{ m}^3/\text{min}) / (15 \text{ ciclos/min}) \approx 0.038867 \text{ m}^3/\text{ciclo}

(101325 \text{ Pa}) \cdot (0.038867 \text{ m}^3) = (2 \times 10^6 \text{ Pa}) \cdot V_{\text{aire, ciclo, trabajo}}

V_{\text{aire, ciclo, trabajo}} = (101325 \cdot 0.038867) / (2 \times 10^6) \text{ m}^3 \approx 0.0019688 \text{ m}^3/\text{ciclo}

S_{\text{avance}} = 0.0025\pi \text{ m}^2 \approx 0.007854 \text{ m}^2

S_{\text{retroceso}} = \pi ((0.1 \text{ m})^2 - (0.02 \text{ m})^2) / 4 = \pi (0.01 - 0.0004) / 4 \text{ m}^2 = \pi (0.0096) / 4 \text{ m}^2 = 0.0024\pi \text{ m}^2 \approx 0.0075398 \text{ m}^2

(S_{\text{avance}} + S_{\text{retroceso}}) \cdot L = (0.007854 + 0.0075398) \cdot L = 0.0153938 \cdot L \text{ m}^3

Igualando:

0.0153938 \cdot L = 0.0019688

L = 0.0019688 / 0.0153938 \text{ m} \approx 0.12789 \text{ m}

Resultado

L \approx 0.1279 \text{ m} = 12.79 \text{ cm}

T4: Sistemas automáticos

Control de lazo cerrado

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

a) Dado el circuito digital de la figura de la izquierda, obtener otro que realice la misma función con puertas de dos entradas. b) El sistema de control de lazo cerrado de la figura de la derecha tiene un regulador con ganancia G1 y una planta con ganancia G2 = 50. Determinar el valor de G1 para que el error E sea inferior a 0,1 cuando la entrada X es igual a 1.

Puertas lógicasError en estado estacionarioLazo cerrado

RESOLUCIÓN DE EJERCICIO

a) Dado el circuito digital de la figura de la izquierda, obtener otro que realice la misma función con puertas de dos entradas.

Para obtener el circuito simplificado, primero determinamos la expresión booleana de la salida $S$ analizando las puertas lógicas del diagrama:

S = \overline{\overline{(A + B) \cdot (B \cdot C)} + \overline{B \cdot C}}

Aplicamos las leyes de De Morgan ( $\overline{X + Y} = \overline{X} \cdot \overline{Y}$ y $\overline{\overline{X}} = X$ ):

S = \overline{\overline{(A + B) \cdot (B \cdot C)}} \cdot \overline{\overline{B \cdot C}} = [(A + B) \cdot (B \cdot C)] \cdot (B \cdot C)

Simplificamos usando las propiedades del álgebra de Boole ( $X \cdot X = X$ y $X + 1 = 1$ ):

S = (A + B) \cdot (B \cdot C) = A \cdot B \cdot C + B \cdot B \cdot C = ABC + BC = BC(A + 1) = B \cdot C

Construimos la tabla de verdad para verificar el funcionamiento del circuito:

\begin{array}{|c|c|c||c|} \hline A & B & C & S \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}

Resultado: El circuito equivalente que realiza la misma función con puertas de dos entradas es una única puerta AND de dos entradas con las señales $B$ y $C$ .

b) El sistema de control de lazo cerrado de la figura de la derecha tiene un regulador con ganancia G1 y una planta con ganancia G2 = 50. Determinar el valor de G1 para que el error E sea inferior a 0,1 cuando la entrada X es igual a 1.

Datos:- Entrada: $X = 1$ - Ganancia de la planta: $G_2 = 50$ - Condición del error: $E < 0,1$ Fórmulas:En un sistema de control de lazo cerrado con realimentación unitaria negativa, la señal de error $E$ se define como:

E = X - Y

Dado que la salida es $Y = E \cdot G_1 \cdot G_2$ , sustituimos para hallar la relación del error respecto a la entrada:

E = X - E \cdot G_1 \cdot G_2 \implies E (1 + G_1 \cdot G_2) = X \implies E = \frac{X}{1 + G_1 \cdot G_2}

Sustitución:

\frac{1}{1 + G_1 \cdot 50} < 0,1

Resolvemos la inecuación resultante para despejar $G_1$ :

1 < 0,1 \cdot (1 + 50 \cdot G_1) \implies 1 < 0,1 + 5 \cdot G_1

0,9 < 5 \cdot G_1 \implies G_1 > \frac{0,9}{5}

Resultado:

G_1 > 0,18

T4: Sistemas automáticos

Neumática

Problema

2024 · Extraordinaria · Suplente

El diámetro del émbolo de un cilindro neumático de doble efecto es $75 \text{ mm}$ y el del vástago $25 \text{ mm}$ . La presión del aire es $500 \text{ kPa}$ .

a) Calcular el valor de la fuerza del vástago en la carrera de avance.b) Calcular el valor de la fuerza del vástago en el retroceso.c) Indicar la función de la unidad de mantenimiento en una instalación neumática.

Cilindro neumáticoFuerza de avanceFuerza de retroceso

Datos

D = 75 \text{ mm} = 0.075 \text{ m}

P = 500 \text{ kPa} = 500 \times 10^3 \text{ Pa}

Fórmulas

S_a = \frac{\pi D^2}{4}

F_a = P \cdot S_a

Sustitución

S_a = \frac{\pi (0.075 \text{ m})^2}{4}

S_a = \frac{\pi \cdot 0.005625 \text{ m}^2}{4} = 0.00441786 \text{ m}^2

F_a = (500 \times 10^3 \text{ Pa}) \cdot (0.00441786 \text{ m}^2)

Resultado

F_a = 2208.93 \text{ N}

Datos

D = 75 \text{ mm} = 0.075 \text{ m}

d_v = 25 \text{ mm} = 0.025 \text{ m}

P = 500 \text{ kPa} = 500 \times 10^3 \text{ Pa}

Fórmulas

S_r = \frac{\pi (D^2 - d_v^2)}{4}

F_r = P \cdot S_r

Sustitución

S_r = \frac{\pi ((0.075 \text{ m})^2 - (0.025 \text{ m})^2)}{4}

S_r = \frac{\pi (0.005625 \text{ m}^2 - 0.000625 \text{ m}^2)}{4}

S_r = \frac{\pi (0.005 \text{ m}^2)}{4} = 0.00392699 \text{ m}^2

F_r = (500 \times 10^3 \text{ Pa}) \cdot (0.00392699 \text{ m}^2)

Resultado

F_r = 1963.50 \text{ N}

La unidad de mantenimiento en una instalación neumática tiene la función de acondicionar el aire comprimido antes de que llegue a los actuadores y elementos de control, garantizando su correcto funcionamiento y prolongando su vida útil. Se compone de tres elementos principales:1. Filtro: Elimina impurezas sólidas, partículas y condensado (agua) presentes en el aire comprimido, evitando daños en los componentes neumáticos.2. Regulador de presión: Mantiene una presión de trabajo constante y adecuada para el sistema, independientemente de las fluctuaciones de presión en la red de alimentación o del consumo de aire.3. Lubricador: Introduce una fina niebla de aceite en el flujo de aire para lubricar las partes móviles de los elementos neumáticos (válvulas, cilindros), reduciendo el rozamiento y el desgaste.

T4: Sistemas automáticos

Electrónica digital y control

Problema

2024 · Extraordinaria · Titular

Un dron de cuatro motores lleva a bordo un circuito digital que ayuda a garantizar la seguridad del vuelo. Se quiere diseñar este circuito para gestionar una señal de alarma $A$ que se active ( $A='1'$ ) cuando fallen dos o más motores del sistema aéreo. Estos fallos en los motores se indican mediante cuatro señales de control de avería $M1$ , $M2$ , $M3$ y $M4$ , cuyas salidas toman el valor “ $1$ ” si el motor correspondiente está averiado.

a) Obtener la tabla de verdad para la función

A

, así como su expresión en forma canónica.b) Simplificar la función

A

por el método de Karnaugh e implementarla con puertas lógicas.c) En relación con los sistemas de control, explicar las diferencias entre los sistemas de lazo abierto y los de lazo cerrado. Representar los diagramas de bloques de ambos sistemas.

Puertas lógicasMapa de KarnaughSistemas de control+1

a) Obtener la tabla de verdad para la función

A

, así como su expresión en forma canónica.

La señal de alarma $A$ se activa ('1') cuando dos o más motores están averiados. Los fallos de motor se representan con las señales $M1, M2, M3, M4$ , donde '1' indica avería.

Tabla de Verdad

\begin{array}{|c|c|c|c||c|c|} \hline M4 & M3 & M2 & M1 & \text{N^{\circ} fallos} & A \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 4 & 1 \\ \hline \end{array}

Expresión Canónica (Suma de Minterms)

La expresión canónica en forma de suma de minterms ( $m_i$ ) se obtiene de las filas de la tabla de verdad donde la salida $A$ es '1'.

A(M4, M3, M2, M1) = \sum m(3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15)

b) Simplificar la función

A

por el método de Karnaugh e implementarla con puertas lógicas.

Mapa de Karnaugh

Se traslada la tabla de verdad al mapa de Karnaugh para identificar grupos de '1's adyacentes y simplificar la expresión.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline M4M3 \setminus M2M1 & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 00 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 01 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 11 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline 10 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}

Simplificación por Karnaugh

Se agrupan los '1's en el mapa de Karnaugh para obtener la expresión simplificada. Los agrupamientos posibles son:

• Grupo (m12, m13, m15, m14) $\rightarrow M4M3$

• Grupo (m10, m11, m14, m15) $\rightarrow M4M2$

• Grupo (m9, m11, m13, m15) $\rightarrow M4M1$

• Grupo (m6, m7, m14, m15) $\rightarrow M3M2$

• Grupo (m5, m7, m13, m15) $\rightarrow M3M1$

• Grupo (m3, m7, m11, m15) $\rightarrow M2M1$

La expresión simplificada es la suma de todos estos términos producto, ya que cada uno cubre '1's que no son completamente cubiertos por otros grupos más grandes.

A = M4M3 + M4M2 + M4M1 + M3M2 + M3M1 + M2M1

Implementación con Puertas Lógicas

La función simplificada se implementa utilizando seis puertas AND de dos entradas y una puerta OR de seis entradas.

c) En relación con los sistemas de control, explicar las diferencias entre los sistemas de lazo abierto y los de lazo cerrado. Representar los diagramas de bloques de ambos sistemas.

Sistemas de Lazo Abierto

Un sistema de lazo abierto es aquel en el que la acción de control es independiente de la salida del sistema. No utiliza retroalimentación (feedback) para ajustar la acción del controlador. La salida se obtiene directamente de la entrada y la función del controlador.Características principales:

• No hay retroalimentación.

• Simples, económicos y fáciles de diseñar.

• Imprecisos frente a perturbaciones externas o cambios en las propiedades del sistema.

• Requieren calibración frecuente si las condiciones cambian.

Diagrama de Bloques (Lazo Abierto)

Sistemas de Lazo Cerrado

Un sistema de lazo cerrado, también conocido como sistema con retroalimentación, es aquel en el que la salida del sistema se mide y se compara con la señal de entrada (referencia) para generar una señal de error. Esta señal de error se utiliza para ajustar la acción del controlador y reducir la diferencia entre la salida deseada y la salida real.Características principales:

• Utilizan retroalimentación.

• Más complejos y costosos de diseñar.

• Mayor precisión y estabilidad frente a perturbaciones y cambios en el sistema.

• Capaces de corregir automáticamente las desviaciones.

Diagrama de Bloques (Lazo Cerrado)

T4: Sistemas automáticos

Electrónica digital

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

Dado el circuito lógico mostrado en la figura:

a) Obtener la tabla de verdad y expresar la función lógica F en su forma canónica.b) Simplificar la función F mediante el método de Karnaugh e implementarla con puertas lógicas.c) Determinar qué números binarios representan los siguientes números decimales:

14, 27, 45, 28

36

Circuito lógicoTabla de verdadSimplificación de Karnaugh+1

T4: Sistemas automáticos

Control combinacional

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

El sistema de apertura de una puerta de seguridad S está regulado automáticamente por un sistema compuesto por cuatro interruptores: un interruptor (A) situado en la cabina de control, un interruptor (B) situado justo en la entrada y dos interruptores (C y D) situados detrás de la puerta S. La puerta se abre en los siguientes casos: - Cuando se activa el interruptor A y al menos uno de los interruptores restantes. - Cuando sin activar el interruptor A se activan simultáneamente los interruptores restantes.

a) Obtener la tabla de verdad del sistema de apertura de la puerta y la función de salida S correspondiente.b) Simplificar la función S mediante el método de Karnaugh e implementarla con puertas lógicas.c) Indicar el principio de funcionamiento y las principales aplicaciones de los sensores capacitivos.

Lógica de controlKarnaughSensores capacitivos

a) Obtener la tabla de verdad del sistema de apertura de la puerta y la función de salida S correspondiente.

Se definen los interruptores A, B, C y D como entradas lógicas (1 activado, 0 desactivado) y S como la salida (1 puerta abierta, 0 puerta cerrada). La puerta se abre en dos casos principales:1. Cuando se activa el interruptor A y al menos uno de los interruptores restantes (B o C o D): $A \cdot (B + C + D)$ 2. Cuando sin activar el interruptor A se activan simultáneamente los interruptores restantes (B y C y D): $A' \cdot B \cdot C \cdot D$ Por lo tanto, la función lógica de salida S es la suma de estas dos condiciones:

S = A \cdot (B + C + D) + A' \cdot B \cdot C \cdot D

Esta expresión se expande a:

S = A \cdot B + A \cdot C + A \cdot D + A' \cdot B \cdot C \cdot D

La tabla de verdad completa para el sistema es la siguiente:

\begin{array}{|c|c|c|c||c|} \hline A & B & C & D & S \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}

b) Simplificar la función S mediante el método de Karnaugh e implementarla con puertas lógicas.

Se crea el mapa de Karnaugh a partir de la tabla de verdad, agrupando los 1s para obtener la expresión simplificada.

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{CD} \diagdown \text{AB} & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 00 & 0 & 0 & \textbf{1} & 0 \\ 01 & 0 & 0 & \textbf{1} & \textbf{1} \\ 11 & 0 & \textbf{1} & \textbf{1} & \textbf{1} \\ 10 & 0 & 0 & \textbf{1} & \textbf{1} \\ \hline \end{array}

Agrupando los unos en el mapa de Karnaugh:1. Un grupo de 4 celdas en la fila $AB$ (filas 11, columnas 00, 01, 11, 10), que corresponde a $A \cdot B$ (celdas $m_{12}, m_{13}, m_{14}, m_{15}$ ).2. Un grupo de 4 celdas que incluye $A$ , $C$ (columnas 10, 11 en filas 10, 11), que corresponde a $A \cdot C$ (celdas $m_{10}, m_{11}, m_{14}, m_{15}$ ).3. Un grupo de 4 celdas que incluye $A$ , $D$ (columnas 01, 11 en filas 10, 11), que corresponde a $A \cdot D$ (celdas $m_9, m_{11}, m_{13}, m_{15}$ ).4. Un grupo de 2 celdas que incluye $B$ , $C$ , $D$ (celdas $m_7 = A'BCD$ y $m_{15} = ABCD$ ), que corresponde a $B \cdot C \cdot D$ . Este grupo cubre el minterm $A'BCD$ que no está cubierto por $AB$ , $AC$ o $AD$ por sí solos.Todas las celdas con 1 están cubiertas por estos grupos. La expresión booleana simplificada es:

S = A \cdot B + A \cdot C + A \cdot D + B \cdot C \cdot D

Implementación con puertas lógicas:

\begin{array}{rcl} AB & \rightarrow & \text{Puerta AND de 2 entradas}\\ AC & \rightarrow & \text{Puerta AND de 2 entradas}\\ AD & \rightarrow & \text{Puerta AND de 2 entradas}\\ BCD & \rightarrow & \text{Puerta AND de 3 entradas}\\ S = AB+AC+AD+BCD & \rightarrow & \text{Puerta OR de 4 entradas} \end{array}

c) Indicar el principio de funcionamiento y las principales aplicaciones de los sensores capacitivos.

Principio de funcionamiento de los sensores capacitivos

Los sensores capacitivos detectan la presencia de un objeto mediante la variación de la capacidad eléctrica de un condensador. Están formados por dos placas conductoras (electrodos) que actúan como un condensador. Cuando un objeto se acerca al campo eléctrico generado por estas placas, o entra en él, altera las características del campo (modificando la permitividad dieléctrica entre las placas o la superficie efectiva de las mismas). Esta alteración provoca un cambio en la capacitancia del condensador. Un circuito oscilador, que forma parte del sensor, detecta este cambio de capacitancia y lo convierte en una señal de salida (digital o analógica), indicando la presencia o ausencia del objeto.

Principales aplicaciones de los sensores capacitivos

1. Detección de nivel: Se utilizan para detectar el nivel de líquidos o materiales granulados en depósitos y tolvas, ya que pueden detectar tanto objetos metálicos como no metálicos.2. Detección de presencia/proximidad: Se emplean para detectar la presencia de objetos sin contacto físico, incluso a través de materiales no conductores como el plástico o el vidrio. Comúnmente usados en líneas de producción para el conteo o posicionamiento de piezas.3. Medida de espesores: Permiten medir el espesor de materiales no conductores, como papel, plástico o vidrio.4. Interfaces táctiles (Touch screens): Son la base de muchas pantallas táctiles y botones capacitivos, detectando el contacto con el dedo humano que actúa como un conductor, alterando el campo capacitivo.5. Detección de materiales: Pueden diferenciar entre diversos materiales en función de su constante dieléctrica.