T3: Sistemas eléctricos y electrónicos · Circuitos de corriente alterna — TECNOLOGIA E INGENIERIA II PEvAU Madrid 2024

Circuitos de corriente alterna

Problema

2024 · Ordinaria · Titular

Un generador E de tensión alterna sinusoidal, tiene una tensión entre sus bornes cuyo valor eficaz es $25 \text{ V}$ , trabaja a una frecuencia de $50 \text{ Hz}$ y se conecta a un conjunto de impedancias según el siguiente esquema:

Datos: $R_1=25 \text{ } \Omega$ ; $R_2=6,66 \text{ } \Omega$ ; $L=16 \text{ mH}$ Nota: Para todo el problema, considere como origen de fases la tensión del generador.

a) Determine el valor de la expresión temporal,

e(t)

del generador.b) Determine el valor eficaz de la corriente que circula por la rama 2.c) Determine el valor del desfase entre la corriente de la rama 2 y la tensión del generador.d) Determine el valor de la potencia activa y factor de potencia en el generador.

Circuito ACImpedanciaPotencia activa+1

a) Determine el valor de la expresión temporal,

e(t)

del generador.

La tensión del generador es sinusoidal y se toma como origen de fases, por lo que su ángulo inicial es $0^\circ$ .

Datos

$E_{\text{eficaz}} = 25 \text{ V}$ $f = 50 \text{ Hz}$ $\phi_E = 0^\circ$

Fórmulas

E_{\text{máximo}} = E_{\text{eficaz}} \sqrt{2}

\omega = 2\pi f

e(t) = E_{\text{máximo}} \sin(\omega t + \phi_E)

Sustitución

Cálculo de la tensión máxima:

E_{\text{máximo}} = 25 \text{ V} \cdot \sqrt{2} \approx 35.355 \text{ V}

Cálculo de la frecuencia angular:

\omega = 2\pi \cdot 50 \text{ Hz} = 100\pi \text{ rad/s} \approx 314.16 \text{ rad/s}

Expresión temporal $e(t)$ :

e(t) = 35.36 \sin(100\pi t) \text{ V}

Resultado

e(t) = 35.36 \sin(314.16 t) \text{ V}

b) Determine el valor eficaz de la corriente que circula por la rama 2.

La tensión del generador es la tensión aplicada a la rama 2. Primero se calcula la reactancia inductiva y luego la impedancia de la rama 2, para finalmente determinar la corriente eficaz.

Datos

$E = 25 \angle 0^\circ \text{ V}$ (en forma fasorial eficaz) $R_2 = 6.66 \text{ } \Omega$ $L = 16 \text{ mH} = 16 \times 10^{-3} \text{ H}$ $\omega = 100\pi \text{ rad/s}$

Fórmulas

X_L = \omega L

Z_2 = R_2 + jX_L

I_2 = E / Z_2

I_{2, \text{eficaz}} = |I_2|

Sustitución

Cálculo de la reactancia inductiva $X_L$ :

X_L = (100\pi \text{ rad/s}) \cdot (16 \times 10^{-3} \text{ H}) = 1.6\pi \text{ } \Omega \approx 5.027 \text{ } \Omega

Cálculo de la impedancia de la rama 2, $Z_2$ :

Z_2 = (6.66 + j5.027) \text{ } \Omega

|Z_2| = \sqrt{6.66^2 + 5.027^2} = \sqrt{44.3556 + 25.2708} = \sqrt{69.6264} \approx 8.344 \text{ } \Omega

\phi_{Z2} = \arctan\left(\frac{5.027}{6.66}\right) \approx 37.04^\circ

Z_2 = 8.344 \angle 37.04^\circ \text{ } \Omega

Cálculo de la corriente en la rama 2, $I_2$ :

I_2 = \frac{25 \angle 0^\circ \text{ V}}{8.344 \angle 37.04^\circ \text{ } \Omega} = \frac{25}{8.344} \angle (0^\circ - 37.04^\circ) \text{ A} \approx 2.996 \angle -37.04^\circ \text{ A}

El valor eficaz de la corriente es la magnitud del fasor $I_2$ .

I_{2, \text{eficaz}} = |I_2| = 2.996 \text{ A}

Resultado

I_{2, \text{eficaz}} = 2.996 \text{ A}

c) Determine el valor del desfase entre la corriente de la rama 2 y la tensión del generador.

El desfase se calcula como la diferencia entre el ángulo de la corriente de la rama 2 y el ángulo de la tensión del generador.

Datos

$\phi_E = 0^\circ$ $\phi_{I2} = -37.04^\circ$ (calculado en el apartado b))

Fórmulas

\text{Desfase} = \phi_{I2} - \phi_E

Sustitución

\text{Desfase} = -37.04^\circ - 0^\circ = -37.04^\circ

Resultado

\text{El desfase es } -37.04^\circ$ (la corriente de la rama 2 está retrasada respecto a la tensión del generador).

d) Determine el valor de la potencia activa y factor de potencia en el generador.

La potencia activa total suministrada por el generador es la suma de las potencias activas disipadas en cada una de las resistencias del circuito. El factor de potencia se calcula a partir del ángulo de desfase entre la tensión total del generador y la corriente total del generador.

Datos

$E = 25 \angle 0^\circ \text{ V}$ $R_1 = 25 \text{ } \Omega$ $R_2 = 6.66 \text{ } \Omega$ $I_{2, \text{eficaz}} = 2.996 \text{ A}$ (del apartado b)) $I_2 = 2.996 \angle -37.04^\circ \text{ A}$ (del apartado b))

Fórmulas

I_1 = E / R_1

I_{\text{total}} = I_1 + I_2

P = E_{\text{eficaz}} I_{\text{total,eficaz}} \cos(\phi_E - \phi_{I_{\text{total}}})

fp = \cos(\phi_E - \phi_{I_{\text{total}}})

Sustitución

Cálculo de la corriente en la rama 1, $I_1$ :

I_1 = \frac{25 \angle 0^\circ \text{ V}}{25 \angle 0^\circ \text{ } \Omega} = 1 \angle 0^\circ \text{ A}

Cálculo de la corriente total $I_{\text{total}}$ :

I_1 = 1 + j0 \text{ A}

I_2 = 2.996 \cos(-37.04^\circ) + j 2.996 \sin(-37.04^\circ) \approx 2.392 - j1.804 \text{ A}

I_{\text{total}} = (1 + 2.392) + j(0 - 1.804) = (3.392 - j1.804) \text{ A}

|I_{\text{total}}| = \sqrt{3.392^2 + (-1.804)^2} = \sqrt{11.5056 + 3.2544} = \sqrt{14.76} \approx 3.842 \text{ A}

\phi_{I_{\text{total}}} = \arctan\left(\frac{-1.804}{3.392}\right) \approx -28.00^\circ

Cálculo de la potencia activa $P$ :

P = 25 \text{ V} \cdot 3.842 \text{ A} \cdot \cos(0^\circ - (-28.00^\circ))

P = 25 \cdot 3.842 \cdot \cos(28.00^\circ) = 25 \cdot 3.842 \cdot 0.8829 \approx 84.78 \text{ W}

Cálculo del factor de potencia $fp$ :

fp = \cos(0^\circ - (-28.00^\circ)) = \cos(28.00^\circ) \approx 0.8829

Resultado

Potencia activa $P = 84.78 \text{ W}$ Factor de potencia $fp = 0.883$