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T1: Materiales y fabricación
Estructuras cristalinas
Teórico-práctico
2024 · Ordinaria · Titular
2
Examen

Sea un metal A que cristaliza en la red cúbica centrada en las caras (FCC), y un metal B que cristaliza en la red cúbica centrada en el cuerpo (BCC).

a) Dibuje la disposición de los átomos en la celda unitaria del metal A y del metal B, y determine el número de átomos que hay en cada celda unitaria.b) Defina el índice de coordinación e indique su valor para el metal A y el metal B.c) Determine cómo se obtendría la constante reticular aa (arista del cubo) conocido el radio atómico rr, para el metal A y para el metal B.
Redes cristalinasFCCBCC+1
a)

Para el metal A (red cúbica centrada en las caras, FCC):Disposición de los átomos: Átomos en cada uno de los ocho vértices del cubo y en el centro de cada una de las seis caras del cubo.Cálculo del número de átomos por celda unitaria:Datos:

Nveˊrtices=8N_{\text{vértices}} = 8
Ncaras=6N_{\text{caras}} = 6

Fórmulas:

Naˊtomos=(Nveˊrtices×18)+(Ncaras×12)N_{\text{átomos}} = (N_{\text{vértices}} \times \frac{1}{8}) + (N_{\text{caras}} \times \frac{1}{2})

Sustitución:

Naˊtomos=(8×18)+(6×12)N_{\text{átomos}} = (8 \times \frac{1}{8}) + (6 \times \frac{1}{2})
Naˊtomos=1+3N_{\text{átomos}} = 1 + 3

Resultado:

Naˊtomos=4 aˊtomos/celdaN_{\text{átomos}} = 4\text{ átomos/celda}

Para el metal B (red cúbica centrada en el cuerpo, BCC):Disposición de los átomos: Átomos en cada uno de los ocho vértices del cubo y un átomo en el centro del cubo.Cálculo del número de átomos por celda unitaria:Datos:

Nveˊrtices=8N_{\text{vértices}} = 8
Ncuerpo=1N_{\text{cuerpo}} = 1

Fórmulas:

Naˊtomos=(Nveˊrtices×18)+NcuerpoN_{\text{átomos}} = (N_{\text{vértices}} \times \frac{1}{8}) + N_{\text{cuerpo}}

Sustitución:

Naˊtomos=(8×18)+1N_{\text{átomos}} = (8 \times \frac{1}{8}) + 1
Naˊtomos=1+1N_{\text{átomos}} = 1 + 1

Resultado:

Naˊtomos=2 aˊtomos/celdaN_{\text{átomos}} = 2\text{ átomos/celda}
b)

Definición de índice de coordinación:Es el número de átomos más próximos o vecinos a un átomo en una estructura cristalina dada.Valor para el metal A (FCC):

Iˊndice de coordinacioˊn (FCC)=12\text{Índice de coordinación (FCC)} = 12

Valor para el metal B (BCC):

Iˊndice de coordinacioˊn (BCC)=8\text{Índice de coordinación (BCC)} = 8
c)

Determinación de la constante reticular aa en función del radio atómico rr.Para el metal A (red cúbica centrada en las caras, FCC):Justificación: En la estructura FCC, los átomos se tocan a lo largo de la diagonal de la cara. La longitud de la diagonal de la cara es igual a cuatro veces el radio atómico.Fórmulas:

Longitud de la diagonal de la cara=a2\text{Longitud de la diagonal de la cara} = a\sqrt{2}
a2=4ra\sqrt{2} = 4r

Resultado:

a=4r2=22ra = \frac{4r}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}r

Para el metal B (red cúbica centrada en el cuerpo, BCC):Justificación: En la estructura BCC, los átomos se tocan a lo largo de la diagonal del cuerpo. La longitud de la diagonal del cuerpo es igual a cuatro veces el radio atómico.Fórmulas:

Longitud de la diagonal del cuerpo=a3\text{Longitud de la diagonal del cuerpo} = a\sqrt{3}
a3=4ra\sqrt{3} = 4r

Resultado:

a=4r3a = \frac{4r}{\sqrt{3}}