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T1: Materiales y fabricación
Estructuras cristalinas
Problema
2025 · Ordinaria · Titular
2.1
Examen
BLOQUE 2. MATERIALES Y FABRICACIÓN

El níquel cristaliza en la red cúbica centrada en las caras (FCC), tiene un radio atómico medio de 0,124 nm0,124 \text{ nm} y una masa atómica de 58,69 g/mol58,69 \text{ g/mol}. Determine:

a) El índice de coordinación y el número de átomos de cada celdilla.b) El volumen de la celdilla unitaria.c) El volumen que ocupan los átomos de la celdilla unitaria y el factor de empaquetamiento.d) La densidad teórica del níquel, en g/cm3\text{g/cm}^3.

Nota: Considere el número de Avogadro como 6,023⋅1023 aˊtomos/mol6,023 \cdot 10^{23} \text{ átomos/mol}.

FCCFactor de empaquetamientoDensidad teórica+1
a)

Determinación del índice de coordinación y el número de átomos de cada celdilla para una red FCC.Datos

∙ Tipo de red: Cuˊbica centrada en las caras (FCC)\quad \bullet \text{ Tipo de red: Cúbica centrada en las caras (FCC)}

Fórmulas

∙ En una red FCC:\quad \bullet \text{ En una red FCC:}
▶ Iˊndice de coordinacioˊn (IC)=12\quad \quad \blacktriangleright \text{ Índice de coordinación (IC)} = 12
▶ Nuˊmero de aˊtomos por celdilla (Naˊtomos)=4\quad \quad \blacktriangleright \text{ Número de átomos por celdilla } (N_{\text{átomos}}) = 4

Sustitución No aplica, son valores intrínsecos de la estructura FCC.Resultado

∙ Iˊndice de coordinacioˊn (IC)=12\quad \bullet \text{ Índice de coordinación (IC)} = 12
∙ Nuˊmero de aˊtomos por celdilla (Naˊtomos)=4 aˊtomos/celdilla\quad \bullet \text{ Número de átomos por celdilla } (N_{\text{átomos}}) = 4 \text{ átomos/celdilla}
b)

Determinación del volumen de la celdilla unitaria.Datos

∙ Radio atoˊmico r=0,124 nm\quad \bullet \text{ Radio atómico } r = 0,124 \text{ nm}
∙ Tipo de red: FCC\quad \bullet \text{ Tipo de red: FCC}

Fórmulas

\quad \bullet \text{ Relación entre el parámetro de red (a) y el radio atómico (r) para FCC: } a = 2\sqrt{2}r
∙ Volumen de la celdilla unitaria: Vceldilla=a3\quad \bullet \text{ Volumen de la celdilla unitaria: } V_{\text{celdilla}} = a^3

Sustitución

\quad \bullet \text{ Cálculo del parámetro de red (a):}
a=22⋅0,124 nm=0,3507 nma = 2\sqrt{2} \cdot 0,124 \text{ nm} = 0,3507 \text{ nm}
∙ Caˊlculo del volumen de la celdilla unitaria:\quad \bullet \text{ Cálculo del volumen de la celdilla unitaria:}
Vceldilla=(0,3507 nm)3=0,04306 nm3V_{\text{celdilla}} = (0,3507 \text{ nm})^3 = 0,04306 \text{ nm}^3

Resultado

Vceldilla=0,04306 nm3V_{\text{celdilla}} = 0,04306 \text{ nm}^3
c)

Determinación del volumen que ocupan los átomos de la celdilla unitaria y el factor de empaquetamiento.Datos

∙ Radio atoˊmico r=0,124 nm\quad \bullet \text{ Radio atómico } r = 0,124 \text{ nm}
\quad \bullet \text{ Número de átomos por celdilla } (N_{\text{átomos}}) = 4 \text{ átomos/celdilla (del apartado a))}
\quad \bullet \text{ Volumen de la celdilla unitaria } V_{\text{celdilla}} = 0,04306 \text{ nm}^3 \text{ (del apartado b))}

Fórmulas

∙ Volumen de un aˊtomo (esfeˊrico): Vaˊtomo=43πr3\quad \bullet \text{ Volumen de un átomo (esférico): } V_{\text{átomo}} = \frac{4}{3}\pi r^3
∙ Volumen total de los aˊtomos en la celdilla: Vaˊtomos=Naˊtomos⋅Vaˊtomo\quad \bullet \text{ Volumen total de los átomos en la celdilla: } V_{\text{átomos}} = N_{\text{átomos}} \cdot V_{\text{átomo}}
∙ Factor de empaquetamiento atoˊmico (FEA): FEA=VaˊtomosVceldilla\quad \bullet \text{ Factor de empaquetamiento atómico (FEA): } FEA = \frac{V_{\text{átomos}}}{V_{\text{celdilla}}}

Sustitución

∙ Caˊlculo del volumen de un aˊtomo:\quad \bullet \text{ Cálculo del volumen de un átomo:}
Vaˊtomo=43π(0,124 nm)3=43π(0,0019069 nm3)=0,007994 nm3V_{\text{átomo}} = \frac{4}{3}\pi (0,124 \text{ nm})^3 = \frac{4}{3}\pi (0,0019069 \text{ nm}^3) = 0,007994 \text{ nm}^3
∙ Caˊlculo del volumen que ocupan los aˊtomos de la celdilla unitaria:\quad \bullet \text{ Cálculo del volumen que ocupan los átomos de la celdilla unitaria:}
Vaˊtomos=4⋅0,007994 nm3=0,031976 nm3V_{\text{átomos}} = 4 \cdot 0,007994 \text{ nm}^3 = 0,031976 \text{ nm}^3
∙ Caˊlculo del factor de empaquetamiento:\quad \bullet \text{ Cálculo del factor de empaquetamiento:}
FEA=0,031976 nm30,04306 nm3=0,7426FEA = \frac{0,031976 \text{ nm}^3}{0,04306 \text{ nm}^3} = 0,7426

Resultado

Vaˊtomos=0,03198 nm3V_{\text{átomos}} = 0,03198 \text{ nm}^3
FEA=0,7426FEA = 0,7426
d)

Determinación de la densidad teórica del níquel.Datos

∙ Masa atoˊmica (M)=58,69 g/mol\quad \bullet \text{ Masa atómica } (M) = 58,69 \text{ g/mol}
\quad \bullet \text{ Número de átomos por celdilla } (N_{\text{átomos}}) = 4 \text{ átomos/celdilla (del apartado a))}
\quad \bullet \text{ Volumen de la celdilla unitaria } V_{\text{celdilla}} = 0,04306 \text{ nm}^3 \text{ (del apartado b))}
∙ Nuˊmero de Avogadro (NA)=6,023⋅1023 aˊtomos/mol\quad \bullet \text{ Número de Avogadro } (N_A) = 6,023 \cdot 10^{23} \text{ átomos/mol}

Fórmulas

∙ Densidad teoˊrica (ρ)=Naˊtomos⋅MVceldilla⋅NA\quad \bullet \text{ Densidad teórica } (\rho) = \frac{N_{\text{átomos}} \cdot M}{V_{\text{celdilla}} \cdot N_A}
∙ Conversioˊn de unidades: 1 nm3=(10−7 cm)3=10−21 cm3\quad \bullet \text{ Conversión de unidades: } 1 \text{ nm}^3 = (10^{-7} \text{ cm})^3 = 10^{-21} \text{ cm}^3

Sustitución

∙ Conversioˊn del volumen de la celdilla a cm3:\quad \bullet \text{ Conversión del volumen de la celdilla a cm}^3 \text{:}
Vceldilla=0,04306 nm3⋅(10−7 cm1 nm)3=0,04306⋅10−21 cm3V_{\text{celdilla}} = 0,04306 \text{ nm}^3 \cdot \left(\frac{10^{-7} \text{ cm}}{1 \text{ nm}}\right)^3 = 0,04306 \cdot 10^{-21} \text{ cm}^3
∙ Caˊlculo de la densidad teoˊrica:\quad \bullet \text{ Cálculo de la densidad teórica:}
ρ=4 aˊtomos/celdilla⋅58,69 g/mol(0,04306⋅10−21 cm3/celdilla)⋅(6,023⋅1023 aˊtomos/mol)\rho = \frac{4 \text{ átomos/celdilla} \cdot 58,69 \text{ g/mol}}{(0,04306 \cdot 10^{-21} \text{ cm}^3/\text{celdilla}) \cdot (6,023 \cdot 10^{23} \text{ átomos/mol})}
ρ=234,76 g0,04306⋅6,023⋅102 cm3=234,76 g25,932938 cm3\rho = \frac{234,76 \text{ g}}{0,04306 \cdot 6,023 \cdot 10^{2} \text{ cm}^3} = \frac{234,76 \text{ g}}{25,932938 \text{ cm}^3}
ρ=9,052 g/cm3\rho = 9,052 \text{ g/cm}^3

Resultado

ρ=9,052 g/cm3\rho = 9,052 \text{ g/cm}^3