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T6: Tecnología sostenible
Máquinas térmicas
Problema
2024 · Extraordinaria · Titular
5
Examen

Se emplea una máquina térmica que funciona según el ciclo de Carnot reversible para la climatización de un balneario urbano cuya temperatura interior tiene que ser de 27∘C27^\circ\text{C}. Sabiendo que la eficiencia de la bomba de calor es de 1414, calcule:

a) La temperatura media del exterior.b) El calor aportado al balneario por unidad de tiempo, si se conoce que la potencia útil del compresor es de 4 kW4 \text{ kW}.c) El calor retirado del exterior por unidad de tiempo, si se conoce que la potencia útil del compresor es de 4 kW4 \text{ kW}.
Ciclo de CarnotBomba de calorEficiencia térmica
a)

Cálculo de la temperatura media del exterior (TfT_f).Datos

Tc=27∘CT_c = 27^\circ\text{C}
ε=14\varepsilon = 14

Fórmulas

Tc(K)=Tc(∘C)+273,15T_c (\text{K}) = T_c (^\circ\text{C}) + 273{,}15
ε=TcTc−Tf(para bomba de calor)\varepsilon = \dfrac{T_c}{T_c - T_f} \quad\text{(para bomba de calor)}

Sustitución

Tc=27+273,15=300,15 KT_c = 27 + 273{,}15 = 300{,}15 \text{ K}
14=300,15300,15−Tf14 = \dfrac{300{,}15}{300{,}15 - T_f}
14⋅(300,15−Tf)=300,1514 \cdot (300{,}15 - T_f) = 300{,}15
4202,1−14Tf=300,154202{,}1 - 14 T_f = 300{,}15
14Tf=4202,1−300,1514 T_f = 4202{,}1 - 300{,}15
14Tf=3901,9514 T_f = 3901{,}95
Tf=3901,9514T_f = \dfrac{3901{,}95}{14}

Resultado

Tf=278,71 KT_f = 278{,}71 \text{ K}
Tf=278,71−273,15=5,56∘CT_f = 278{,}71 - 273{,}15 = 5{,}56^\circ\text{C}
b)

Cálculo del calor aportado al balneario por unidad de tiempo (Qc/tQ_c/t). Este es el calor cedido por la bomba.Datos

ε=14\varepsilon = 14
W/t=Puˊtil=4 kWW/t = P_{\text{útil}} = 4 \text{ kW}

Fórmulas

ε=QcW\varepsilon = \dfrac{Q_c}{W}
Qct=ε⋅Wt\dfrac{Q_c}{t} = \varepsilon \cdot \dfrac{W}{t}

Sustitución

Qct=14⋅4 kW\dfrac{Q_c}{t} = 14 \cdot 4 \text{ kW}

Resultado

Qct=56 kW\dfrac{Q_c}{t} = 56 \text{ kW}
c)

Cálculo del calor retirado del exterior por unidad de tiempo (Qf/tQ_f/t). Este es el calor absorbido del foco frío.Datos

W/t=Puˊtil=4 kWW/t = P_{\text{útil}} = 4 \text{ kW}
Q_c/t = 56 \text{ kW} \quad\text{(del apartado b))}

Fórmulas

W=Qc−QfW = Q_c - Q_f
Wt=Qct−Qft\dfrac{W}{t} = \dfrac{Q_c}{t} - \dfrac{Q_f}{t}
Qft=Qct−Wt\dfrac{Q_f}{t} = \dfrac{Q_c}{t} - \dfrac{W}{t}

Sustitución

Qft=56 kW−4 kW\dfrac{Q_f}{t} = 56 \text{ kW} - 4 \text{ kW}

Resultado

Qft=52 kW\dfrac{Q_f}{t} = 52 \text{ kW}