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T3: Sistemas eléctricos y electrónicos
Circuitos de corriente alterna
Problema
2025 · Ordinaria · Titular
4.1
Examen
BLOQUE 4. SISTEMAS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS

Dado el circuito eléctrico en corriente alterna de la figura, determine:

Imagen del ejercicio

R1=80 ΩR_1 = 80\text{ }\Omega; R2=120 ΩR_2 = 120\text{ }\Omega; L1=80 mHL_1 = 80\text{ mH}; L2=20 mHL_2 = 20\text{ mH}; C1=150 μFC_1 = 150\text{ }\mu\text{F}; C2=75 μFC_2 = 75\text{ }\mu\text{F} E=230 VE = 230\text{ V} (valor eficaz), 50 Hz50\text{ Hz}

a) Valor eficaz de la corriente que circula por cada uno de los componentes pasivos.b) Potencia activa y reactiva en el generador.c) Valor eficaz de la corriente que circula por el generador.
Corriente alternaPotencia activaPotencia reactiva+1
Resolución del Ejercicio BLOQUE 4. SISTEMAS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS

Primero, se calculan la frecuencia angular y las reactancias de los componentes pasivos.

Frecuencia angular (ω\omega)

Datos

f=50 Hzf = 50\text{ Hz}

Fórmulas

ω=2πf\omega = 2\pi f

Sustitución

ω=2π(50 Hz)\omega = 2\pi (50\text{ Hz})

Resultado

ω=100π rad/s≈314.1593 rad/s\omega = 100\pi\text{ rad/s} \approx 314.1593\text{ rad/s}
Reactancias inductivas (XLX_L)

Datos

L_1 = 80\text{ mH} = 0.08\text{ H}$ \ $L_2 = 20\text{ mH} = 0.02\text{ H}$ \ $\omega = 100\pi\text{ rad/s}

Fórmulas

XL=ωLX_L = \omega L

Sustitución

X_{L1} = (100\pi\text{ rad/s}) \cdot (0.08\text{ H})$ \ $X_{L2} = (100\pi\text{ rad/s}) \cdot (0.02\text{ H})

Resultado

X_{L1} = 8\pi\text{ }\Omega \approx 25.1327\text{ }\Omega$ \ $X_{L2} = 2\pi\text{ }\Omega \approx 6.2832\text{ }\Omega
Reactancias capacitivas (XCX_C)

Datos

C_1 = 150\text{ }\mu\text{F} = 150 \times 10^{-6}\text{ F}$ \ $C_2 = 75\text{ }\mu\text{F} = 75 \times 10^{-6}\text{ F}$ \ $\omega = 100\pi\text{ rad/s}

Fórmulas

XC=1/(ωC)X_C = 1 / (\omega C)

Sustitución

X_{C1} = 1 / ((100\pi\text{ rad/s}) \cdot (150 \times 10^{-6}\text{ F}))$ \ $X_{C2} = 1 / ((100\pi\text{ rad/s}) \cdot (75 \times 10^{-6}\text{ F}))

Resultado

X_{C1} = 200 / (3\pi)\text{ }\Omega \approx 21.2207\text{ }\Omega$ \ $X_{C2} = 400 / (3\pi)\text{ }\Omega \approx 42.4413\text{ }\Omega
a) Valor eficaz de la corriente que circula por cada uno de los componentes pasivos.

Dado que todos los componentes están en ramas paralelas con el generador, la tensión eficaz en cada rama es la del generador.

Corriente eficaz por la resistencia R1R_1

Datos

E = 230\text{ V}$ \ $R_1 = 80\text{ }\Omega

Fórmulas

IR1=E/R1I_{R1} = E / R_1

Sustitución

IR1=230 V/80 ΩI_{R1} = 230\text{ V} / 80\text{ }\Omega

Resultado

IR1=2.875 AI_{R1} = 2.875\text{ A}
Corriente eficaz por la resistencia R2R_2

Datos

E = 230\text{ V}$ \ $R_2 = 120\text{ }\Omega

Fórmulas

IR2=E/R2I_{R2} = E / R_2

Sustitución

IR2=230 V/120 ΩI_{R2} = 230\text{ V} / 120\text{ }\Omega

Resultado

IR2≈1.9167 AI_{R2} \approx 1.9167\text{ A}
Corriente eficaz por las bobinas L1L_1 y L2L_2

Datos

E = 230\text{ V}$ \ $X_{L1} = 8\pi\text{ }\Omega$ \ $X_{L2} = 2\pi\text{ }\Omega

Fórmulas

Z_{\text{L,total}} = X_{L1} + X_{L2}$ \ $I_L = E / Z_{\text{L,total}}

Sustitución

Z_{\text{L,total}} = 8\pi\text{ }\Omega + 2\pi\text{ }\Omega = 10\pi\text{ }\Omega  \ I_L = 230\text{ V} / (10\pi\text{ }\Omega)

Resultado

IL=23/π A≈7.3239 AI_L = 23/\pi\text{ A} \approx 7.3239\text{ A}
Corriente eficaz por los condensadores C1C_1 y C2C_2

Datos

E = 230\text{ V}$ \ $X_{C1} = 200/(3\pi)\text{ }\Omega$ \ $X_{C2} = 400/(3\pi)\text{ }\Omega

Fórmulas

Z_{\text{C,total}} = X_{C1} + X_{C2}$ \ $I_C = E / Z_{\text{C,total}}

Sustitución

Z_{\text{C,total}} = 200/(3\pi)\text{ }\Omega + 400/(3\pi)\text{ }\Omega = 600/(3\pi)\text{ }\Omega = 200/\pi\text{ }\Omega  \ I_C = 230\text{ V} / (200/\pi\text{ }\Omega)

Resultado

IC=23π/20 A≈3.6128 AI_C = 23\pi/20\text{ A} \approx 3.6128\text{ A}
b) Potencia activa y reactiva en el generador.Potencia activa total (PP)

Datos

E = 230\text{ V}$ \ $R_1 = 80\text{ }\Omega$ \ $R_2 = 120\text{ }\Omega

Fórmulas

P = P_{R1} + P_{R2}$ \ $P_R = E^2 / R

Sustitución

P_{R1} = (230\text{ V})^2 / 80\text{ }\Omega = 52900 / 80 = 661.25\text{ W}$ \ $P_{R2} = (230\text{ V})^2 / 120\text{ }\Omega = 52900 / 120 \approx 440.8333\text{ W}$ \ $P = 661.25\text{ W} + 440.8333\text{ W}

Resultado

P≈1102.0833 WP \approx 1102.0833\text{ W}
Potencia reactiva total (QQ)

Datos

E = 230\text{ V}$ \ $Z_{\text{L,total}} = 10\pi\text{ }\Omega$ \ $Z_{\text{C,total}} = 200/\pi\text{ }\Omega

Fórmulas

Q = Q_{\text{L,total}} + Q_{\text{C,total}}$ \ $Q_L = E^2 / X_L$ \ $Q_C = -E^2 / X_C

Sustitución

Q_{\text{L,total}} = (230\text{ V})^2 / (10\pi\text{ }\Omega) = 52900 / (10\pi) = 5290/\pi\text{ VAr} \approx 1684.0286\text{ VAr}  \ Q_{\text{C,total}} = -(230\text{ V})^2 / (200/\pi\text{ }\Omega) = -52900 \cdot \pi / 200 = -264.5\pi\text{ VAr} \approx -831.9026\text{ VAr}  \ Q = 5290/\pi\text{ VAr} - 264.5\pi\text{ VAr}

Resultado

Q≈852.1260 VArQ \approx 852.1260\text{ VAr}
c) Valor eficaz de la corriente que circula por el generador.

Se calcula la corriente total como la suma fasorial de las corrientes de cada rama.

Corrientes fasoriales

Datos

E = 230 \angle 0^\circ\text{ V}$ \ $R_1 = 80\text{ }\Omega$ \ $R_2 = 120\text{ }\Omega$ \ $Z_{\text{L,total}} = j10\pi\text{ }\Omega$ \ $Z_{\text{C,total}} = -j200/\pi\text{ }\Omega

Fórmulas

\vec{I}_R = E / R$ \ $\vec{I}_L = E / (jX_L)$ \ $\vec{I}_C = E / (-jX_C)

Sustitución

\vec{I}_{R1} = 230\text{ V} / 80\text{ }\Omega = 2.875\text{ A}  \ \vec{I}_{R2} = 230\text{ V} / 120\text{ }\Omega \approx 1.9167\text{ A}  \ \vec{I}_L = 230\text{ V} / (j10\pi\text{ }\Omega) = -j23/\pi\text{ A} \approx -j7.3239\text{ A}  \ \vec{I}_C = 230\text{ V} / (-j200/\pi\text{ }\Omega) = j23\pi/20\text{ A} \approx j3.6128\text{ A}
Corriente total fasorial (I⃗total\vec{I}_{\text{total}})

Datos

\vec{I}_{R1} = 2.875\text{ A}$ \ $\vec{I}_{R2} = 1.9167\text{ A}$ \ $\vec{I}_L = -j7.3239\text{ A}$ \ $\vec{I}_C = j3.6128\text{ A}

Fórmulas

I⃗total=I⃗R1+I⃗R2+I⃗L+I⃗C\vec{I}_{\text{total}} = \vec{I}_{R1} + \vec{I}_{R2} + \vec{I}_L + \vec{I}_C

Sustitución

\vec{I}_{\text{total}} = (2.875 + 1.9167) + j(-7.3239 + 3.6128)\text{ A}$ \ $\vec{I}_{\text{total}} = 4.7917 - j3.7111\text{ A}
Valor eficaz de la corriente total (∣I⃗total∣|\vec{I}_{\text{total}}| )

Datos

I⃗total=4.7917−j3.7111 A\vec{I}_{\text{total}} = 4.7917 - j3.7111\text{ A}

Fórmulas

∣I⃗total∣=(Re(I⃗total))2+(Im(I⃗total))2|\vec{I}_{\text{total}}| = \sqrt{(\text{Re}(\vec{I}_{\text{total}}))^2 + (\text{Im}(\vec{I}_{\text{total}}))^2}

Sustitución

|\vec{I}_{\text{total}}| = \sqrt{(4.7917)^2 + (-3.7111)^2}$ \ $|\vec{I}_{\text{total}}| = \sqrt{22.9604 + 13.7723} = \sqrt{36.7327}

Resultado

∣I⃗total∣≈6.0608 A|\vec{I}_{\text{total}}| \approx 6.0608\text{ A}