Distribución binomial

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2 ejercicios

Cálculo de probabilidades en binomial

Problema

2025 · Ordinaria · Reserva

Un tratamiento experimental para tratar una determinada intolerancia alimentaria mejora al $60\%$ de los pacientes a los que se les suministra. Cinco pacientes deciden someterse a dicho tratamiento.

a) Indique la distribución que sigue la variable “número de pacientes de entre los 5 que mejoran con este tratamiento”. ¿Cuál es la probabilidad de que mejoren cuatro pacientes gracias al tratamiento?b) Calcule la probabilidad de que al menos dos pacientes experimenten mejoría tras someterse al tratamiento.c) ¿Cuántos pacientes se espera que mejoren al someterse a ese tratamiento?d) ¿Cuántos pacientes deberían someterse al tratamiento para que el número esperado de pacientes que mejoren sea mayor o igual a 12?

BinomialEsperanza matemáticaProbabilidad

La variable $X$ = "número de pacientes de entre los 5 que mejoran con este tratamiento" sigue una distribución binomial, ya que se trata de un número fijo de ensayos independientes (5 pacientes), cada uno con dos resultados posibles (mejora o no mejora) y con una probabilidad de éxito constante.

X \sim B(n, p)

Donde: $n = 5$ (número de pacientes) $p = 0.6$ (probabilidad de que un paciente mejore, el 60%)Por lo tanto, la distribución es:

X \sim B(5, 0.6)

Para calcular la probabilidad de que mejoren cuatro pacientes, usamos la fórmula de probabilidad binomial:

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

Sustituyendo $n=5$ , $k=4$ y $p=0.6$ :

P(X=4) = \binom{5}{4} (0.6)^4 (1-0.6)^{5-4}

P(X=4) = \binom{5}{4} (0.6)^4 (0.4)^1

P(X=4) = 5 \cdot (0.1296) \cdot (0.4)

P(X=4) = 5 \cdot 0.05184

P(X=4) = 0.2592

b) Calcule la probabilidad de que al menos dos pacientes experimenten mejoría tras someterse al tratamiento.

La probabilidad de que al menos dos pacientes mejoren es $P(X \ge 2)$ . Podemos calcularla como $1 - P(X < 2)$ .

P(X \ge 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]

Calculamos $P(X=0)$ :

P(X=0) = \binom{5}{0} (0.6)^0 (0.4)^5

P(X=0) = 1 \cdot 1 \cdot 0.01024

P(X=0) = 0.01024

Calculamos $P(X=1)$ :

P(X=1) = \binom{5}{1} (0.6)^1 (0.4)^4

P(X=1) = 5 \cdot (0.6) \cdot (0.0256)

P(X=1) = 5 \cdot 0.01536

P(X=1) = 0.0768

Ahora sumamos estas probabilidades y las restamos de 1:

P(X \ge 2) = 1 - [0.01024 + 0.0768]

P(X \ge 2) = 1 - 0.08704

P(X \ge 2) = 0.91296

c) ¿Cuántos pacientes se espera que mejoren al someterse a ese tratamiento?

El número esperado de pacientes que mejoran en una distribución binomial se calcula con la fórmula $E(X) = n \cdot p$ .

E(X) = 5 \cdot 0.6

E(X) = 3

Se espera que 3 pacientes mejoren.

d) ¿Cuántos pacientes deberían someterse al tratamiento para que el número esperado de pacientes que mejoren sea mayor o igual a 12?

Sea $N$ el nuevo número de pacientes. La probabilidad de éxito $p$ sigue siendo $0.6$ . Queremos que el número esperado de pacientes que mejoren sea mayor o igual a 12.

E(X) = N \cdot p

N \cdot 0.6 \ge 12

N \ge \frac{12}{0.6}

N \ge 20

Al menos 20 pacientes deberían someterse al tratamiento para que el número esperado de pacientes que mejoren sea mayor o igual a 12.

T7: Distribución binomial

Cálculo de probabilidades binomiales

Problema

2025 · Ordinaria · Titular

Una empresa de marketing ha lanzado una campaña publicitaria para promocionar un nuevo servicio de energía solar para hogares. Según estudios previos, se estima que el 20% de las personas que ven el anuncio terminan contratando el servicio. Para analizar más en profundidad la efectividad de la campaña, se seleccionan aleatoriamente a 20 personas que han visto el anuncio. a) Calcule la probabilidad de que exactamente 10 personas contraten el servicio. b) Determine la probabilidad de que al menos 2 personas contraten el servicio. c) Determine el valor esperado del número de personas que contratarán el servicio de entre las seleccionadas. d) ¿Cuántas personas, de entre las que han visto el anuncio, se deberían seleccionar para que el número esperado de personas que contraten el servicio sea mayor o igual a 13?

Distribución binomialEsperanza matemáticaProbabilidad

Para resolver este problema, definimos la variable aleatoria X como el número de personas que contratan el servicio de energía solar. Dado que cada persona tiene una probabilidad fija de contratar el servicio y las decisiones son independientes, X sigue una distribución binomial:

X \sim B(n, p) \text{ donde } n = 20 \text{ y } p = 0.20

La función de probabilidad de una distribución binomial para obtener exactamente k éxitos es:

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

a) Calculamos la probabilidad de que exactamente 10 personas contraten el servicio:

P(X = 10) = \binom{20}{10} (0.20)^{10} (0.80)^{10}

P(X = 10) = 184756 \cdot 0.0000001024 \cdot 0.1073741824 \approx 0.00203

b) Calculamos la probabilidad de que al menos 2 personas contraten el servicio. Para ello, utilizamos el suceso complementario:

P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]

Calculamos las probabilidades individuales para k=0 y k=1:

P(X = 0) = \binom{20}{0} (0.20)^0 (0.80)^{20} \approx 0.01153

P(X = 1) = \binom{20}{1} (0.20)^1 (0.80)^{19} \approx 0.05765

Sustituimos en la fórmula del suceso complementario:

P(X \ge 2) = 1 - (0.01153 + 0.05765) = 1 - 0.06918 = 0.93082

c) El valor esperado (o media) para una distribución binomial se calcula mediante el producto del número de ensayos por la probabilidad de éxito:

E[X] = n \cdot p = 20 \cdot 0.20 = 4 \text{ personas}

d) Para determinar cuántas personas (n') se deben seleccionar para que el valor esperado sea mayor o igual a 13, planteamos la siguiente inecuación:

E[X'] \ge 13 \Rightarrow n' \cdot p \ge 13

n' \cdot 0.20 \ge 13 \Rightarrow n' \ge \frac{13}{0.20}

n' \ge 65

Los resultados finales son: a) 0.00203, b) 0.93082, c) 4 \text{ personas}, d) 65 \text{ personas}.