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T2: Interacción electromagnética
Movimiento de cargas en campos magnéticos
Problema
2021 · Extraordinaria · Titular
B2-b
Examen
b) Un protón que ha sido acelerado desde el reposo por una diferencia de potencial de 6000 V describe una órbita circular en un campo magnético uniforme de 0,8 T. Calcule razonadamente: i) El módulo de la fuerza magnética que actúa sobre el protón. ii) El radio de la trayectoria descrita.

Datos: mp=1,7⋅10−27 kgm_p = 1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}; e=1,6⋅10−19 Ce = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}

Fuerza de LorentzRadio de curvaturaEspectrometría
b) i) El módulo de la fuerza magnética que actúa sobre el protón.

Primero, calculamos la velocidad del protón. Al ser acelerado desde el reposo por una diferencia de potencial, la energía potencial eléctrica se transforma en energía cinética. Utilizamos el principio de conservación de la energía:

Eeleˊctrica=EcineˊticaE_{eléctrica} = E_{cinética}
qΔV=12mpv2q \Delta V = \frac{1}{2} m_p v^2

Despejamos la velocidad vv:

v=2qΔVmpv = \sqrt{\frac{2q \Delta V}{m_p}}

Sustituimos los valores dados, donde q=eq = e es la carga del protón:

v=2⋅(1,6⋅10−19 C)⋅(6000 V)1,7⋅10−27 kgv = \sqrt{\frac{2 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \cdot (6000 \text{ V})}{1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}}}
v≈1,06⋅106 m/sv \approx 1,06 \cdot 10^6 \text{ m/s}

Ahora, calculamos el módulo de la fuerza magnética (Fuerza de Lorentz) que actúa sobre el protón. Dado que el protón describe una órbita circular, la velocidad es perpendicular al campo magnético (θ=90∘\theta = 90^\circ). La fórmula es:

FB=qvBsin⁡θF_B = q v B \sin\theta

Con sin⁡90∘=1\sin 90^\circ = 1:

FB=qvBF_B = q v B
B (entrante)⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗+vF

Sustituimos los valores:

FB=(1,6⋅10−19 C)⋅(1,06⋅106 m/s)⋅(0,8 T)F_B = (1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \cdot (1,06 \cdot 10^6 \text{ m/s}) \cdot (0,8 \text{ T})
FB≈1,36⋅10−13 NF_B \approx 1,36 \cdot 10^{-13} \text{ N}
b) ii) El radio de la trayectoria descrita.

La fuerza magnética proporciona la fuerza centrípeta necesaria para que el protón describa una órbita circular. Por lo tanto, igualamos ambas fuerzas:

FB=FcF_B = F_c
qvB=mpv2rq v B = \frac{m_p v^2}{r}

Despejamos el radio rr:

r=mpvqBr = \frac{m_p v}{q B}

Sustituimos los valores calculados y dados:

r=(1,7⋅10−27 kg)⋅(1,06⋅106 m/s)(1,6⋅10−19 C)⋅(0,8 T)r = \frac{(1,7 \cdot 10^{-27} \text{ kg}) \cdot (1,06 \cdot 10^6 \text{ m/s})}{(1,6 \cdot 10^{-19} \text{ C}) \cdot (0,8 \text{ T})}
r≈0,014 mr \approx 0,014 \text{ m}