T4: Óptica · Refracción de la luz — FISICA PEvAU Andalucía 2022

Refracción de la luz

Problema

2022 · Extraordinaria · Titular

C1-b

Un rayo de luz monocromática se propaga desde el aire al agua, e incide formando un ángulo de $30^\circ$ con la normal a la superficie. El rayo refractado forma un ángulo de $128^\circ$ con el reflejado.

b) i) Determine el ángulo de refracción ayudándose de un esquema. ii) Determine la velocidad de propagación de la luz en el agua. iii) Si el rayo luminoso se dirigiera desde el agua hacia el aire ¿a partir de qué ángulo de incidencia se produciría la reflexión total? Justifique sus respuestas.

Datos: $n_{aire} = 1; c = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}$

ángulo de refracciónreflexión totalvelocidad de propagación

b) i) Determine el ángulo de refracción ayudándose de un esquema.

Para determinar el ángulo de refracción, utilizaremos las leyes de la reflexión y la relación angular proporcionada. La ley de la reflexión establece que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Por lo tanto:

\theta_r = \theta_i = 30^\circ

Ahora, consideremos la relación entre los rayos reflejado y refractado. Podemos visualizar un esquema donde el rayo incidente, el rayo reflejado, el rayo refractado y la normal a la superficie se encuentran en el mismo plano. La normal es una línea perpendicular a la superficie en el punto de incidencia. El rayo reflejado y el rayo refractado se encuentran en lados opuestos de la normal.El ángulo total de $180^\circ$ en el plano de incidencia se puede dividir en el ángulo de reflexión ( $\theta_r$ ), el ángulo de refracción ( $\theta_2$ ) y el ángulo entre el rayo reflejado y el rayo refractado. El ángulo entre el rayo reflejado y el refractado es $128^\circ$ . A partir de un esquema, el ángulo total de $180^\circ$ (la suma de los ángulos formados por los rayos reflejado y refractado con la normal y la parte central del plano de incidencia) se relaciona con los ángulos de reflexión y refracción de la siguiente manera:

180^\circ = \theta_r + \theta_2 + \text{Ángulo entre el rayo reflejado y el rayo refractado}

Pero, la forma más común de interpretar "el rayo refractado forma un ángulo de $128^\circ$ con el reflejado" en este contexto (donde la refracción se produce hacia un medio más denso, implicando que $\theta_2 < \theta_i$ ) es que el ángulo $128^\circ$ es el ángulo obtuso en el plano de incidencia. Este ángulo puede ser expresado como $180^\circ - (\theta_r + \theta_2)$ . Por lo tanto, podemos escribir:

180^\circ - (\theta_r + \theta_2) = 128^\circ

Sustituyendo el valor de $\theta_r = 30^\circ$ :

180^\circ - (30^\circ + \theta_2) = 128^\circ

Despejamos $\theta_2$ :

\begin{gathered} 150^\circ - \theta_2 = 128^\circ \\ \theta_2 = 150^\circ - 128^\circ \\ \theta_2 = 22^\circ \end{gathered}

El ángulo de refracción es $22^\circ$ .

b) ii) Determine la velocidad de propagación de la luz en el agua.

Primero, necesitamos determinar el índice de refracción del agua ( $n_{agua}$ ) utilizando la Ley de Snell:

n_{aire} \sin \theta_1 = n_{agua} \sin \theta_2

Sustituimos los valores conocidos ( $n_{aire} = 1$ , $\theta_1 = 30^\circ$ , $\theta_2 = 22^\circ$ ):

\begin{gathered} 1 \cdot \sin 30^\circ = n_{agua} \sin 22^\circ \\ \text{0.5} = n_{agua} \cdot \text{0.3746} \end{gathered}

Despejamos $n_{agua}$ :

n_{agua} = \frac{\text{0.5}}{\text{0.3746}} \approx 1.334

Ahora, utilizamos la relación entre el índice de refracción, la velocidad de la luz en el vacío ( $c$ ) y la velocidad de la luz en el medio ( $v_{agua}$ ):

\begin{gathered} n_{agua} = \frac{c}{v_{agua}} \\ \implies v_{agua} = \frac{c}{n_{agua}} \end{gathered}

Sustituimos los valores ( $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m/s}$ , $n_{agua} \approx 1.334$ ):

v_{agua} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ m/s}}{1.334} \approx 2.25 \cdot 10^8 \text{ m/s}

La velocidad de propagación de la luz en el agua es aproximadamente $2.25 \cdot 10^8 \text{ m/s}$ .

b) iii) Si el rayo luminoso se dirigiera desde el agua hacia el aire ¿a partir de qué ángulo de incidencia se produciría la reflexión total? Justifique sus respuestas.

La reflexión total interna se produce cuando la luz viaja de un medio ópticamente más denso (agua) a un medio ópticamente menos denso (aire) y el ángulo de incidencia en el medio más denso supera un valor crítico, conocido como ángulo crítico ( $\theta_c$ ). En este punto, el ángulo de refracción es de $90^\circ$ , y el rayo refractado se propaga a lo largo de la superficie de separación entre los dos medios. Para ángulos de incidencia mayores que el ángulo crítico, no hay refracción y toda la luz se refleja de nuevo en el medio más denso.Aplicamos la Ley de Snell para el ángulo crítico, donde el ángulo de refracción es $90^\circ$ :

n_{agua} \sin \theta_c = n_{aire} \sin 90^\circ

Sustituimos los valores ( $n_{agua} \approx 1.334$ , $n_{aire} = 1$ ):

\begin{gathered} 1.334 \sin \theta_c = 1 \cdot 1 \\ \sin \theta_c = \frac{1}{1.334} \approx \text{0.7496} \end{gathered}

Calculamos el ángulo crítico:

\theta_c = \arcsin(\text{0.7496}) \approx 48.56^\circ

La reflexión total interna se producirá a partir de un ángulo de incidencia de aproximadamente $48.56^\circ$ cuando la luz viaja del agua al aire. Esto se debe a que el índice de refracción del agua es mayor que el del aire, lo que permite que el rayo se "curve" lo suficiente como para que el ángulo de refracción alcance los $90^\circ$ y más allá, causando una reflexión completa.