T3: Vibraciones y ondas · Ondas estacionarias — FISICA PEvAU Andalucía 2020

Ondas estacionarias

Problema

2020 · Extraordinaria · Reserva

7-b

b) La ecuación de una onda estacionaria en una cuerda tensa es:

y (x, t) = 0,05 \cos( 2\pi x ) \cdot \text{sen}( 15\pi t ) \text{ (S.I.)}

Calcule razonadamente: i) La amplitud máxima. ii) La velocidad de propagación de las ondas armónicas que la producen. iii) La velocidad de oscilación máxima de un punto de la cuerda situado en

x = 0,75 \text{ m}

Ecuación de onda estacionariaVelocidad de oscilación

b) i) La amplitud máxima.

La ecuación general de una onda estacionaria con una función coseno para la dependencia espacial es $y(x, t) = A_{max} \cos(kx) \operatorname{sen}(\omega t)$ . Comparando esta forma con la ecuación dada $y (x, t) = 0,05 \cos( 2\pi x ) \cdot \text{sen}( 15\pi t )$ , la amplitud máxima de oscilación (la amplitud en un antinodo) es el valor $A_{max}$ .

A_{max} = 0,05 \text{ m}

ii) La velocidad de propagación de las ondas armónicas que la producen.

De la ecuación de la onda estacionaria, podemos identificar el número de onda $k$ y la frecuencia angular $\omega$ . La velocidad de propagación $v$ de las ondas armónicas que la producen se calcula a partir de estos valores.

k = 2\pi \text{ rad/m}

\omega = 15\pi \text{ rad/s}

La fórmula para la velocidad de propagación es:

v = \frac{\omega}{k}

Sustituyendo los valores:

v = \frac{15\pi \text{ rad/s}}{2\pi \text{ rad/m}} = 7,5 \text{ m/s}

iii) La velocidad de oscilación máxima de un punto de la cuerda situado en

x = 0,75 \text{ m}

La velocidad de oscilación de un punto de la cuerda se obtiene derivando la ecuación de la onda estacionaria respecto al tiempo $t$ :

v_y(x, t) = \frac{\partial y(x, t)}{\partial t}

v_y(x, t) = \frac{\partial}{\partial t} [0,05 \cos( 2\pi x ) \cdot \text{sen}( 15\pi t )]

v_y(x, t) = 0,05 \cos( 2\pi x ) \cdot (15\pi \cos( 15\pi t ))

v_y(x, t) = 0,75\pi \cos( 2\pi x ) \cos( 15\pi t )

La velocidad de oscilación máxima para un punto específico $x$ se obtiene cuando $\cos(15\pi t) = \pm 1$ . Por lo tanto, la amplitud de la velocidad de oscilación de cada punto $x$ es:

V_{y,max}(x) = |0,75\pi \cos( 2\pi x )|

Ahora, sustituimos $x = 0,75 \text{ m}$ en esta expresión:

V_{y,max}(0,75) = |0,75\pi \cos( 2\pi \cdot 0,75 )|

V_{y,max}(0,75) = |0,75\pi \cos( 1,5\pi )|

Dado que $\cos(1,5\pi) = \cos(3\pi/2) = 0$ , tenemos:

V_{y,max}(0,75) = |0,75\pi \cdot 0| = 0 \text{ m/s}

El punto en $x = 0,75 \text{ m}$ es un nodo, lo que significa que su amplitud de oscilación es cero y, por lo tanto, su velocidad de oscilación máxima también es cero.