T5: Probabilidad · Probabilidad total y Teorema de Bayes — MATEMATICA APLICADAS A LAS CIENCIA SOCIALES II PEvAU Andalucía 2021

Probabilidad total y Teorema de Bayes

Problema

2021 · Ordinaria · Titular

Se desea probar la eficacia de dos tipos de vacunas, $A$ y $B$ , contra un virus determinado. Para ello, se seleccionan 5000 voluntarios sin anticuerpos para este virus, a los que se les administra una de las vacunas o un placebo, resultando que 3000 reciben la vacuna $A$ , 1500 la $B$ y el resto el placebo. Se comprueba que el $90 \%$ de los vacunados con la $A$ y el $95 \%$ de los vacunados con la $B$ , generan anticuerpos, no generando anticuerpos los que han recibido el placebo. Se selecciona uno de esos voluntarios al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya generado anticuerpos?b) Si dicho voluntario no ha generado anticuerpos, ¿qué probabilidad hay de que se le haya administrado placebo?

ProbabilidadTeorema de BayesProbabilidad condicional

Definimos los siguientes sucesos: $A$ : El voluntario recibe la vacuna $A$ . $B$ : El voluntario recibe la vacuna $B$ . $P$ : El voluntario recibe el placebo. $AC$ : El voluntario genera anticuerpos. $AC^c$ : El voluntario no genera anticuerpos.Calculamos las probabilidades iniciales: $P(A) = \frac{3000}{5000} = 0.6$ $P(B) = \frac{1500}{5000} = 0.3$ El número de voluntarios que reciben placebo es $5000 - 3000 - 1500 = 500$ . $P(P) = \frac{500}{5000} = 0.1$ Las probabilidades condicionadas de generar anticuerpos son: $P(AC|A) = 0.90$ $P(AC|B) = 0.95$ $P(AC|P) = 0$ (no generan anticuerpos los que han recibido placebo).

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya generado anticuerpos?

Aplicamos el teorema de la probabilidad total:

P(AC) = P(AC|A)P(A) + P(AC|B)P(B) + P(AC|P)P(P)

P(AC) = (0.90)(0.6) + (0.95)(0.3) + (0)(0.1)

P(AC) = 0.54 + 0.285 + 0

P(AC) = 0.825

b) Si dicho voluntario no ha generado anticuerpos, ¿qué probabilidad hay de que se le haya administrado placebo?

Necesitamos calcular $P(P|AC^c)$ . Primero, calculamos $P(AC^c)$ .Las probabilidades condicionadas de no generar anticuerpos son:

P(AC^c|A) = 1 - P(AC|A) = 1 - 0.90 = 0.10

P(AC^c|B) = 1 - P(AC|B) = 1 - 0.95 = 0.05

P(AC^c|P) = 1 - P(AC|P) = 1 - 0 = 1

Calculamos $P(AC^c)$ mediante el teorema de la probabilidad total o como el complemento de $P(AC)$ :

P(AC^c) = 1 - P(AC) = 1 - 0.825 = 0.175

Ahora aplicamos el teorema de Bayes para calcular $P(P|AC^c)$ :

P(P|AC^c) = \frac{P(AC^c|P)P(P)}{P(AC^c)}

P(P|AC^c) = \frac{(1)(0.1)}{0.175}

P(P|AC^c) = \frac{0.1}{0.175}

P(P|AC^c) = \frac{100}{175} = \frac{4}{7} \approx 0.5714