T2: Interacción electromagnética

Campos cruzados

Problema

2022 · Ordinaria · Suplente

B2-b

b) Un protón, que se mueve con velocidad constante, entra en una región del espacio donde hay un campo eléctrico

\vec{E} = 1000\vec{k} \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}

y un campo magnético

\vec{B} = 2 \cdot 10^{-3}\vec{i} \text{ T}

. i) Justifique, con ayuda de un diagrama, la dirección y sentido de la velocidad que debe tener el protón para que atraviese dicha región sin ser desviado. ii) Determine el correspondiente vector velocidad.

Selector de velocidadesFuerza de LorentzFuerza eléctrica

b) i) Justificación de la dirección y sentido de la velocidad:

Para que un protón, que es una carga positiva ( $q > 0$ ), atraviese una región con campos eléctrico y magnético sin ser desviado, la fuerza eléctrica ( $\vec{F}_E$ ) y la fuerza magnética ( $\vec{F}_M$ ) sobre él deben ser iguales en magnitud y opuestas en dirección. Es decir, $\vec{F}_E + \vec{F}_M = \vec{0}$ , lo que implica $\vec{F}_M = -\vec{F}_E$ .Primero, calculamos la dirección de la fuerza eléctrica sobre el protón:

\vec{F}_E = q\vec{E}

Dado que el protón tiene carga positiva ( $q > 0$ ) y el campo eléctrico es $\vec{E} = 1000\vec{k} \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}$ (en la dirección $+\vec{k}$ , es decir, en el eje Z positivo), la fuerza eléctrica $\vec{F}_E$ también estará en la dirección $+\vec{k}$ .

\vec{F}_E = (+e)(1000\vec{k}) = 1000e\vec{k}

Por lo tanto, la fuerza magnética $\vec{F}_M$ debe ser igual y opuesta a $\vec{F}_E$ , es decir, debe apuntar en la dirección $-\vec{k}$ (eje Z negativo):

\vec{F}_M = -1000e\vec{k}

Ahora, utilizamos la expresión de la fuerza magnética (Fuerza de Lorentz):

\vec{F}_M = q(\vec{v} \times \vec{B})

Tenemos el campo magnético $\vec{B} = 2 \cdot 10^{-3}\vec{i} \text{ T}$ (en la dirección $+\vec{i}$ , es decir, en el eje X positivo). Necesitamos encontrar una velocidad $\vec{v}$ tal que, al hacer el producto vectorial con $\vec{B}$ , el resultado sea en la dirección $-\vec{k}$ para una carga positiva. Esto es, $(\vec{v} \times \vec{i})$ debe ser en la dirección $-\vec{k}$ .Aplicando la regla de la mano derecha para el producto vectorial, si el campo magnético $\vec{B}$ está en la dirección $+\vec{i}$ (eje X positivo) y la fuerza magnética $\vec{F}_M$ debe estar en la dirección $-\vec{k}$ (eje Z negativo) para una carga positiva, entonces la velocidad $\vec{v}$ debe estar en la dirección $+\vec{j}$ (eje Y positivo), ya que $\vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}$ .Así, el protón debe moverse en la dirección positiva del eje Y para no ser desviado.A continuación, se presenta un diagrama que ilustra la relación entre la velocidad (v), el campo magnético (B) y la fuerza magnética (Fm) mediante la regla de la mano derecha para una carga positiva. Se asume que el eje Y está "arriba", el eje X está "derecha" y el eje Z está "saliendo de la página". En este contexto, el diagrama representa la situación donde la velocidad va en la dirección +Y, el campo magnético en la dirección +X (saliendo de la página en la vista del diagrama para mantener la coherencia del producto vectorial), y la fuerza magnética resultante en la dirección -Z (hacia la izquierda en la vista del diagrama).

En el contexto de nuestro problema (con $\vec{B}$ en $+\vec{i}$ , $\vec{E}$ en $+\vec{k}$ ):

\begin{array}{l} \text{Velocidad } \vec{v} \text{ en la dirección } +\vec{j} \text{ (eje Y positivo).} \\ \text{Campo magnético } \vec{B} \text{ en la dirección } +\vec{i} \text{ (eje X positivo).} \\ \text{Fuerza eléctrica } \vec{F}_E \text{ en la dirección } +\vec{k} \text{ (eje Z positivo).} \\ \text{Fuerza magnética } \vec{F}_M \text{ en la dirección } -\vec{k} \text{ (eje Z negativo).} \end{array}

ii) Determinación del vector velocidad:

Para que el protón no se desvíe, la magnitud de la fuerza eléctrica debe ser igual a la magnitud de la fuerza magnética:

|\vec{F}_E| = |\vec{F}_M|

La magnitud de la fuerza eléctrica es:

F_E = qE

La magnitud de la fuerza magnética, dado que $\vec{v}$ y $\vec{B}$ son perpendiculares, es:

F_M = qvB

Igualando ambas magnitudes:

qE = qvB

Simplificando la carga $q$ (ya que es distinta de cero):

E = vB

Despejamos la magnitud de la velocidad $v$ :

v = \frac{E}{B}

Sustituyendo los valores dados:

v = \frac{1000 \text{ N} \cdot \text{C}^{-1}}{2 \cdot 10^{-3} \text{ T}} = 500000 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1} = 5 \cdot 10^5 \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}

Como se justificó en el apartado i), la dirección de la velocidad debe ser en el eje Y positivo.Por lo tanto, el vector velocidad es:

\vec{v} = 5 \cdot 10^5 \vec{j} \text{ m} \cdot \text{s}^{-1}