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T2: Interacción electromagnética
Campo eléctrico
Problema
2024 · Ordinaria · Reserva
B2-b
Examen
b) Considere una carga puntual de 2μC2 \mu\text{C} localizada en un punto A(1,1) mA(1,1) \text{ m}. Determine razonadamente: i) el campo eléctrico creado por la carga puntual en el punto P(2,2) mP(2,2) \text{ m}; ii) el trabajo necesario para trasladar una carga puntual de 3μC3 \mu\text{C} desde el infinito hasta el punto PP, justificando el signo.

Dato: K=9⋅109 N⋅m2/C2K = 9 \cdot 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2

Cargas puntualesTrabajo eléctrico
b) i) Campo eléctrico en el punto P(2,2) m creado por la carga en A(1,1) m

Primero calculamos el vector que va de A a P (vector posición relativo):

r⃗AP=(2−1)i^+(2−1)j^=i^+j^ m\vec{r}_{AP} = (2-1)\hat{i} + (2-1)\hat{j} = \hat{i} + \hat{j} \text{ m}

El módulo de este vector (distancia entre A y P):

r=∣r⃗AP∣=12+12=2 mr = |\vec{r}_{AP}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \text{ m}

El vector unitario en la dirección de A a P:

u^AP=r⃗APr=i^+j^2=22i^+22j^\hat{u}_{AP} = \frac{\vec{r}_{AP}}{r} = \frac{\hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\hat{i} + \frac{\sqrt{2}}{2}\hat{j}

La expresión general del campo eléctrico creado por una carga puntual qq en un punto a distancia rr es:

E⃗=Kqr2u^AP\vec{E} = K \frac{q}{r^2} \hat{u}_{AP}

Sustituyendo los valores: q=2×10−6q = 2 \times 10^{-6} C, r2=2r^2 = 2 m², K=9×109K = 9 \times 10^9 N·m²/C²:

E⃗=9×109⋅2×10−62⋅(22i^+22j^)\vec{E} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{2 \times 10^{-6}}{2} \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\hat{i} + \frac{\sqrt{2}}{2}\hat{j}\right)
E⃗=9×103⋅(22i^+22j^)\vec{E} = 9 \times 10^3 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\hat{i} + \frac{\sqrt{2}}{2}\hat{j}\right)
E⃗=(900022i^+900022j^)≈6364 i^+6364 j^ N/C\vec{E} = \left(\frac{9000\sqrt{2}}{2}\hat{i} + \frac{9000\sqrt{2}}{2}\hat{j}\right) \approx 6364\,\hat{i} + 6364\,\hat{j} \text{ N/C}

El campo apunta en dirección desde A hacia P (diagonal a 45°) porque la carga q=+2 μq = +2\,\muC es positiva, y por tanto el campo se aleja de ella.

XY+q = +2 μC (A)P(2,2)E1
b) ii) Trabajo necesario para trasladar q0=3 μq_0 = 3\,\muC desde el infinito hasta P

El trabajo realizado por la fuerza eléctrica para mover una carga q0q_0 desde el infinito hasta un punto P es igual al negativo de la variación de energía potencial. Equivale a calcular la energía potencial en P, ya que en el infinito la energía potencial es cero:

W∞→P=q0⋅VPW_{\infty \to P} = q_0 \cdot V_P

Donde VPV_P es el potencial eléctrico en P creado por la carga qq:

VP=Kqr=9×109⋅2×10−62=180002≈12728 VV_P = K \frac{q}{r} = 9 \times 10^9 \cdot \frac{2 \times 10^{-6}}{\sqrt{2}} = \frac{18000}{\sqrt{2}} \approx 12728 \text{ V}

Por tanto, el trabajo necesario para trasladar q0=3×10−6q_0 = 3 \times 10^{-6} C desde el infinito hasta P:

W=q0⋅VP=3×10−6⋅180002=0,0542≈3,82×10−2 JW = q_0 \cdot V_P = 3 \times 10^{-6} \cdot \frac{18000}{\sqrt{2}} = \frac{0{,}054}{\sqrt{2}} \approx 3{,}82 \times 10^{-2} \text{ J}

Justificación del signo: El trabajo es positivo porque ambas cargas son positivas (q>0q > 0 y q0>0q_0 > 0), por lo que se repelen. Para acercar q0q_0 desde el infinito hasta P hay que vencer la repulsión eléctrica, lo que requiere realizar trabajo positivo sobre el sistema (un agente externo debe aplicar fuerza en el sentido del desplazamiento). La energía potencial del sistema aumenta.